大学物理学第3章 力学守恒定律

1、第3章 力学的守恒定律 一一 理解理解动量、冲量，角动量，冲量矩概动量、冲量，角动量，冲量矩概念念, 掌握（角）动量定理和（角）动量守恒定掌握（角）动量定理和（角）动量守恒定律律 . 二二 掌握掌握功的概念功的概念, 能计算变力的功能计算变力的功, 理解理解保守力作功的特点及势能的概念保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有会计算万有引力、重力和弹性力的势能引力、重力和弹性力的势能 . 三三 掌握掌握动能定理动能定理 、功能原理和机械能守、功能原理和机械能守恒定律恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法法 .*力力的的累积累积效应效应EArFIpttF

2、,)( 对对 积累积累对对 积累积累质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理： 力的瞬时作用效应力的瞬时作用效应maF *质点的动量定理质点的动量定理（一）质点的动量定理（一）质点的动量定理牛顿第二定律：牛顿第二定律：maF dtvdmFdtvmd定义：质点动量定义：质点动量 vmp dtvmdFdtpd *动量是描述物体机械运动状态的物理量，动量是描述物体机械运动状态的物理量，是运动状态的单值函数是运动状态的单值函数 动量是矢量，它的方向为速度的方向动量是矢量，它的方向为速度的方向 动量具有瞬时性（某一时刻的动量）动量具有瞬时性（某一时刻的动量） 动量的计算动量的计算 dtrdmvmp

3、对动量的说明对动量的说明* zzyyxxmvdtdzmpmvdtdympmvdtdxmp ppppppzyx coscoscos222zyxppppp 动量的分量式动量的分量式* dtvmdF dtpd 表明：质点动量对时间的变化率等于质点所受的合力。表明：质点动量对时间的变化率等于质点所受的合力。质点的动量质点的动量定理定理*注意：质点动量定理仅适用于惯性系注意：质点动量定理仅适用于惯性系定义：力与其作用时间的乘积叫定义：力与其作用时间的乘积叫力的冲量力的冲量 tFI 恒力的冲量恒力的冲量 （二）力的冲量（二）力的冲量引入：作用力在引入：作用力在一段时间间隔一段时间间隔的作用效果的作用效果变

4、力的冲量变力的冲量 tFI力力 在在 时间内的时间内的元冲量元冲量tF表表示示极极短短的的时时间间间间隔隔t* 21)(ttdttFI 2121ttyyttxxdtFIdtFI的一段较长时间内21tt 力通常非恒矢量。力通常非恒矢量。tFiiti0lim21ttFdt定义：定义：力力F在在 时间间隔时间间隔内对时间变量内对时间变量t的积分的积分21tt *合力的冲量合力的冲量 dtFItti 21 dtFtti21 iII与与F同向吗同向吗？平均力的概念平均力的概念1221dtttFFtt12ttFII与与F不一定同向不一定同向*注意注意力的冲量是矢量，计算力的冲量是矢量，计算冲量要考虑冲量要

5、考虑 性。性。冲量是过程量。冲量是过程量。方向方向 21)(ttdttFI冲量决定于力和时间两个因素。冲量决定于力和时间两个因素。F-t图上曲线下的面积与冲量大小图上曲线下的面积与冲量大小的关系。的关系。*（三）用冲量概念表述动量定理（三）用冲量概念表述动量定理 质点动量定理的积分形式质点动量定理的积分形式 在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，在给定的时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量等于质点在此时间内动量的增量 .0vmvm p 21ttdtFI dtvmdF dtpd 质点动量定理的微分形式质点动量定理的微分形式 dtFpd Fdtpd *在直角坐标系中在直角

6、坐标系中 质点动量定理的分量式质点动量定理的分量式kIjIiIIzyx 分量形式分量形式zzttzzyyttyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI121212212121dddvvvvvv*动量定理为矢量式，可由动量增量的方向动量定理为矢量式，可由动量增量的方向来确定冲量和力的方向来确定冲量和力的方向 物体在某方向上获得冲量，则只能改变该物体在某方向上获得冲量，则只能改变该方向上的动量方向上的动量 冲量为过程量，动量为状态量冲量为过程量，动量为状态量 在实际计算时，常用分量式在实际计算时，常用分量式 对质点动量定理的理解对质点动量定理的理解 *质点系质点系二二 质点系的动量定理质点系的

7、动量定理1m2m12F21F1F2FniiiiniittmmtF101ex21dvv)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFtt因为内力因为内力 ，故，故02112 FF0ppI*PPddtF2121PPttex积分形式积分形式微分形式微分形式PddtF 质点系动量定理质点系动量定理 作用于系统的作用于系统的合外力合外力的冲量等于的冲量等于系统动量的增量系统动量的增量.*注意注意内力不改变质点系的动量内力不改变质点系的动量gbm2m000bgvv初始速度初始速度则则00pbgvv20

8、p推开后速度推开后速度 且方向相反且方向相反 则则推开前后系统动量不变推开前后系统动量不变0pp*1vm2vmvm1221dtttFFtt动量定理常应用于碰撞问题动量定理常应用于碰撞问题F1tFmF2tFto 越小，则越小，则 越大越大 .例如人从高处跳下、飞例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很撞事件中，作用时间很短，冲力很大短，冲力很大 .注意注意tF在在 一定时一定时p1212ttmmvv*确定研究对象确定研究对象 进行受力分析进行受力分析 建立坐标系或规定正方向建立坐标系或规定正方向 确定冲量的方向、初动量和末动量确定冲量的方向、初动量和末动量

9、 根据动量定理列方程求解根据动量定理列方程求解 运用动量定理解题时的步骤运用动量定理解题时的步骤 * 例例 1 一质量为一质量为0.05kg、速率为、速率为10ms-1的刚球的刚球,以与以与钢板法线呈钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率并以相同的速率和角度弹回来和角度弹回来 .设碰撞时间为设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所求在此时间内钢板所受到的平均冲力受到的平均冲力 .1vm2vmxy解解 建立如图坐标系建立如图坐标系, 由动量定理得由动量定理得cos2 vm0sinsinvvmmFN1 .14cos2tmFFxv方向沿方向沿 轴反向轴反向xxxxm

10、mtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv* 例例 2 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为 .链条放链条放在桌上在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下链条一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周围堆在小孔周围.由于某种扰动由于某种扰动,链条因自身重量开始落下链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的设链与各处的摩擦均略去不计摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开且认为链条软得可以自由伸开 . 解解 以竖直悬挂的链条以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统和

11、桌面上的链条为一系统,建立如图坐标建立如图坐标由质点系动量定理得由质点系动量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex则则*则则tddvyyg 两边同乘以两边同乘以 则则 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddex*一质量均匀分布的柔软细一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着绳铅直地悬挂着， 绳的下绳的下端刚好触到水平桌面上端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明将落在桌面上。试证明:在在绳下落的过程中，任意

12、时绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量于已落到桌面上的绳重量的三倍。的三倍。ox*证明：取如图坐标，设证明：取如图坐标，设t时刻时刻已有已有x长的柔绳落至桌面，随长的柔绳落至桌面，随后的后的dt时间内将有质量为时间内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳以的柔绳以dx/dt的速的速率碰到桌面而停止，它的动率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：量变化率为：dtdtdxdxdtdP 一维运动可用一维运动可用标量标量ox*根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：dtdPF 柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF 即：即： 2v

13、F 而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg2v dtdtdxdx 2vLM LMgxF/2 22gxv *练习、一长为练习、一长为L，密度均匀的柔软链条，其单位长，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为度的质量为。将其卷成一堆放在地面上，如图，。将其卷成一堆放在地面上，如图，若手握链条的一端，以匀速若手握链条的一端，以匀速v将其上提。当链条一端将其上提。当链条一端被提离地面高度为被提离地面高度为y时，求手的提力。时，求手的提力。解：建立坐标如图。以整个链条为一系统。解：建立坐标如图。以整个链条为一系统。

14、设设t时刻，链端的高度为时刻，链端的高度为y，则此时动量为：，则此时动量为：yvpygFF合dtdp2vdtyvdygF2vygFOyy* iiiittiipptFI0ex0d质点系动量定理质点系动量定理 若质点系所受的若质点系所受的合外力为零合外力为零 则系统的总动量则系统的总动量守恒守恒，即，即 保持保持不变不变 .0exexiiFFiipp动量守恒定律动量守恒定律CPFtpF,0,ddexex力的瞬时作用规律力的瞬时作用规律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律是自然界最普遍，最基本的定律之一动量守恒定律是自然界最普遍，最基本的定律之一 .*注意注意（1）适用条件：）适用条件：a、b、惯性

15、参考惯性参考系系 0exexiiFF(2)质点速度：同一参考系（各质点）质点速度：同一参考系（各质点） 同一时刻（任一端）同一时刻（任一端）思考：一辆滑车以速度思考：一辆滑车以速度v0作匀速直线运动的过程中，作匀速直线运动的过程中，向后抛出一质量为向后抛出一质量为m的物体，物体相对于滑车的速度的物体，物体相对于滑车的速度为为u,车和人的质量为车和人的质量为M.求抛物后滑车的速度求抛物后滑车的速度V.(1) (M+m)v0=MV+mu(2) (M+m)v0=MV+m(v0-u)(3) (M+m)v0=MV+m(V-u)谁对谁对*（4）瞬时特征：）瞬时特征：（3）矢量性质：）矢量性质：若若某一某一

16、方向方向合外力为零合外力为零, 则则此此方向动量方向动量守恒守恒 .zizizzyiyiyyxixixxCmpFCmpFCmpFvvv,0,0,0exexex系统各质点的系统各质点的动量的矢量和不变；动量的矢量和不变；任意任意两个瞬时，动量的大小和方向都相同。两个瞬时，动量的大小和方向都相同。* 例例 1 一枚返回式火箭以一枚返回式火箭以 2.5 103 ms-1 的速率相对地的速率相对地面沿水平方向飞行面沿水平方向飞行 . 设空气阻力不计设空气阻力不计. 现由控制系统使现由控制系统使火箭分离为两部分火箭分离为两部分, 前方部分是质量为前方部分是质量为100kg 的仪器舱的仪器舱, 后方部分是

17、质量为后方部分是质量为 200kg 的火箭容器的火箭容器 . 若仪器舱相对火若仪器舱相对火箭容器的水平速率为箭容器的水平速率为1.0 103 ms-1 . 求求 仪器舱和火箭容仪器舱和火箭容器相对地面的速度器相对地面的速度 .xzyo x z ys s ovv*xzyo x zys s ovv1m2m已知已知13sm1052 .v13sm100 . 1v求求 ,1v2vkg2002mkg1001m解解 vvv210exixF221121)(vvvmmmm131sm10173 .v132sm10172.vvvv2112mmm则则 力力 F=12ti（SI）作用在质量）作用在质量m=2kg的物体上

18、，的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在使物体由原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量秒末的动量为：为： (A)-54 i kg.m/s (B)54i kg.m/s (C)-108 i kg.m/s (D)108 i kg.m/s (B)03pppi54解：以物体为研究对象，由质点的动量定理，解：以物体为研究对象，由质点的动量定理，idtt3012dtF30)(543, 0130smkgipp秒末物体的动量为：所以由于故选故选B 粒子粒子B的质量是粒子的质量是粒子A的质量的的质量的4倍，开始时粒子倍，开始时粒子A的速度为的速度为 ，粒子，粒子B的速度为的速度为 ，由，由于两者的相互作用，

19、粒子于两者的相互作用，粒子A的速度为的速度为 ，此，此时粒子时粒子B的速度等于的速度等于 (A) (B) (C) 0 (D) (A)j4i 3j7i 2j4i 7j5ij7i2 j3i5 )72(43jimjimBAA故选解：以两粒子为研究对象，当其不受外力作用时解：以两粒子为研究对象，当其不受外力作用时动量守恒，即动量守恒，即jivB5可得代入上式，将4ABmmBABABvmmjijimmji477243BBAvmjim47 如图所示，沙子从如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以高处下落到以3m/s的速率水平向右运动的传送带上。取的速率水平向右运动的传送带上。取重力加速度为重力加速度为g=

20、10m/s2,传送带给予沙子传送带给予沙子的作用力的方向为的作用力的方向为 (A)与水平夹角与水平夹角53向下向下 (B)与水平夹角与水平夹角53向上向上 (C)与水平夹角与水平夹角37向上向上 (D)与水平夹角与水平夹角37向下向下 (B)解：设单位时间落到带上的砂子的质量为解：设单位时间落到带上的砂子的质量为w。tt+dt时间内，时间内，dm=wdt.dtFId0vdmvdm )/(48 . 0102smghv20,/3smv dmhdtFIdvdm0vdmB故选533401tgvvtg与水平方向夹角为：由矢量图， F)(0vvwF 力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与力对质点所作的

21、功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）功是标量，过程量）0A900d,sFrFAdddcoscos0A18090d,rFAdd一一 功功 力的力的空间累积空间累积效应效应: ArF ，动能定理动能定理.0ArF90ddFrdiF1drirdB*i1A1F对对 积累积累动能定理动能定理BABArFrFAddcos 合力的功合力的功 = 分力的功的代数和分力的功的代数和iiiiArFrFAddzFyFxFAzyxdddzyxAAAAcosFArBrrdro 变力的功变力的功rFAddkzjyixrddddkFjFiFFzyx 例、质量为质量为5kg的木块

22、，受一水平方向的的木块，受一水平方向的变力作用，在光滑水平面上作直线运动，变力作用，在光滑水平面上作直线运动，力随位置的变化如图所示。试求：力随位置的变化如图所示。试求： 当木块从原点运动到当木块从原点运动到x=8m处时，作用于处时，作用于木块上的力所作的功。木块上的力所作的功。2468X(m)F(N)-50102468X(m)F(N)-5010解：)86.(155 . 2)64.(.0)42.(205)20.10 xxxxxxF（)()().()(J25501020dx15x52dx0dx20 x5dx10FdxsdFA8664422080 例、一人从例、一人从10m深的井中提水。起始时桶中

23、装有深的井中提水。起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为的水，桶的质量为1kg。由于水桶漏水，每升高。由于水桶漏水，每升高1m要漏要漏去去0.2kg的水。求水桶以的水。求水桶以2m/s匀速从井中提到井口，人匀速从井中提到井口，人所作的功。所作的功。 解：如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为解：如图所示，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为y轴正方向。轴正方向。 因为匀速，所以在高为因为匀速，所以在高为y处，拉力为处，拉力为2kvkgymgFmkg20kkg11110m/.,)(式中OyyhdykvkgymgFdyA02)(人作功为人作功为Jdyy972)8 . 08 . 92 . 08

24、. 911(100二二 质点的动能定理质点的动能定理2122m21m21mstmA2121vvvvvvvvvdddd 动能（动能（状态状态函数函数）mpmE22122kvtmFddtvsFrFrFAdddtt 动能定理动能定理k1k2EEA 合合外力对外力对质点质点所作的功所作的功,等于质点动能的等于质点动能的增量增量 . 功和动能都与功和动能都与 参考系参考系有关；动能定理有关；动能定理仅适用于仅适用于惯性系惯性系 .注意注意 练习、一匀质链条总长为练习、一匀质链条总长为L，质量为，质量为m，放在桌，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为面上，并使其下垂，下垂一端的长度为a，如图，如图所示

25、。设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为所示。设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为 ，令链条由静止开始运动，求：令链条由静止开始运动，求： （1）在链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条）在链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是多）链条离开桌面时的速率是多少？少？解解 （1 1）当链条下落）当链条下落x时，摩擦力为时，摩擦力为 NfLmgxL/摩擦力的功为摩擦力的功为fdxAfLmgdxxLLa/)(LaLmg2/)(2al-a xO （2）下落过程中重力）下落过程中重力P做功为做功为 由动能定理由动能定理 因为因为 ，所以，所以PdxAPLxmxgdLa/

26、LaLmg2/ )(222mv2mvAA202Pf/22)(2)(2222mvLaLmgLaLmg2/12222/1)()()/(aLaLLgv00val-a xO 第二章的练习：第二章的练习： 一质量为一质量为10kg的物体沿的物体沿x轴无轴无摩擦地运动，摩擦地运动， 设设t=0时，物体位于原点，速度为零（即初始条时，物体位于原点，速度为零（即初始条件：件：x0=0，v0=0），问：），问： （2）物体在力）物体在力F=3+4x（SI）的作用下移动了）的作用下移动了3m，它的速度、加速度为多大？，它的速度、加速度为多大？解法二：由动能定理，有解法二：由动能定理，有30302)43(21dxx

27、Fdxmv2703)23(2xx得 1sm3 . 210272vrrmmGF3BA3rrrmmGrFAdd1 1） 万有引力作功万有引力作功以以 为参考系，为参考系， 的的位置矢量为位置矢量为 . rmm)(tr)d(ttr rdmOmAB一一 万有引力、重力、弹性力作功的特点万有引力、重力、弹性力作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为mmm由由 点移动到点移动到 点时点时 作功为作功为 FAB保守力与非保守力保守力与非保守力)(tr)d(ttr rdmOmAB)()(ABrmmGrmmGABArr2rrmmGAd)(tr)d(ttrrdBA3rrrmmGrFAddrrrrrrdcosdd

28、0rmmGA2dr0zmgAdkzj yi xrdddd)(ABmgzmgz kmgPzmgrPABAzzBAdd ABAzBzmgoxyz2 ） 重力作功重力作功0 xkxAdikxFBABAxxxxxkxxFAdd)(2A2Bkx21kx21AAxBxFxo3 ） 弹性力作功弹性力作功)kxkx(AAB222121 )rmmG()rmmG(AAB)mgzmgz(AAB 重力功重力功弹力功弹力功引力功引力功非保守力非保守力: 力所作的功与路径有关力所作的功与路径有关 .（例如（例如摩擦摩擦力）力）物体沿物体沿闭合闭合路径运动路径运动 一周时一周时, 保守力对它所作的功保守力对它所作的功等于零

29、等于零 . 保守力保守力: 力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅决定于相，仅决定于相互作用质点的互作用质点的始末始末相对相对位置位置 .二二 保守力和非保守力保守力和非保守力三三 势能势能 势能势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . PppEEEA12)( 保守力的功保守力的功弹性弹性势能势能2p21kxE引力引力势能势能rmmGEp重力重力势能势能mgzE p)(2A2Bkx21kx21A弹力弹力功功)()(ABrmmGrmmGA引力引力功功)(ABmgzmgzA重力重力功功 势能具有势能具有相对相对性，势能性，势能大小大小与势能与势能零点

30、零点的选取的选取有关有关 .),(ppzyxEE 势能是势能是状态状态函数函数0),(pp0d),(EzyxrFzyxE00pE令令 势能是属于势能是属于系统系统的的 .结论结论 势能计算势能计算pp0pEEEA)( 一质量为一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力的质点在指向圆心的平方反比力 的作用下，作半径为的作用下，作半径为r的圆周运动，此质点的速度的圆周运动，此质点的速度v= .若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机械能械能E= . mrkrk2例题例题rrkF3一一 质点系的动能定理质点系的动能定理 质点系质点系动能定理动能定理 0EEAAkkinex

31、1m2mimexiFiniF内力可以改变质点系的动能内力可以改变质点系的动能注意注意内力功内力功外力功外力功0i0iiiiiiiEEEEAAkkkkinex 对质点系，有对质点系，有0iiiiEEAAkkinex 对第对第 个质点，有个质点，有i功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律0 inA一般说来，一般说来，)()(00EEEEAApkpkinncex机械能机械能pkEEE质点系动能定理质点系动能定理 0EEAAkkinex非保守非保守力的功力的功inncincininAAAAii0pp0ppinc)(EEEEAiiii0EEAAinncex二二 质点系的功能原理质点系的功能原理

32、质点系的功能原理质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和外力和非保守内力作功之和 . pkEE)(0pp0kkEEEE当当0AAinncex0EE 时，时，有有)()(00EEEEAApkpkinncex 功能原理功能原理三三 机械能守恒定律机械能守恒定律 机械能守恒定律机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变质点系的机械能保持不变 . 守恒定律的守恒定律的意义意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点各个守恒定律的特点和优点 .例

33、一条均匀的金属链条，质量为例一条均匀的金属链条，质量为m，挂在一个光滑，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为的钉子上，一边长度为a，另一边长度为，另一边长度为b，且，且ab，试证链条从静止开始到滑离钉子所花的时间为：试证链条从静止开始到滑离钉子所花的时间为：baabgbatln2ab解：以钉子处的重力势能为零。解：以钉子处的重力势能为零。静止时及滑离前任意时刻的机械静止时及滑离前任意时刻的机械能分别为能分别为220bmgbabamgbaaExxba22122)( mxmgbaxxbamgbaxbaE 由机械能守恒定律由机械能守恒定律E=E0得得)(2bxaxbag 由速度定义得由速度定义得baat

34、xtdd0baabxaxbagxt)(2dbabagbaln2 如图的系统，物体如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，置于光滑的桌面上，物体物体 A 和和 C, B 和和 D 之间摩擦因数均不为零，首之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压先用外力沿水平方向相向推压 A 和和 B， 使弹簧压使弹簧压缩，后拆除外力，缩，后拆除外力， 则则 A 和和 B 弹开过程中，弹开过程中， 对对 A、B、C、D 组成的系统组成的系统 例题例题（A）动量守恒，机械能守恒）动量守恒，机械能守恒 . （B）动量不守恒，机械能守恒）动量不守恒，机械能守恒 . （C）动量不守恒，机械能不守恒）动量不守

35、恒，机械能不守恒 . （D）动量守恒，机械能不一定守恒）动量守恒，机械能不一定守恒 .DBCADBCA 质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律 角动量描述质点运动的另一个重要物理量。角动量描述质点运动的另一个重要物理量。 引入：引入：与平动相联系的守恒量与平动相联系的守恒量动量动量与转动相联系的物理量：与转动相联系的物理量：（1）非零值表示质点相对于某空间点作转动）非零值表示质点相对于某空间点作转动（2）对于孤立系保持守恒）对于孤立系保持守恒1、单质点孤立体系：、单质点孤立体系： sinrvs21 vrs 212、两质点孤立体系：、两质点孤立体系：111vrs 212

36、22vrs 210 dtsd 021 ssdtd 02212211 frrsmsmdtd-21 质点的角动量质点的角动量rxyzomvrL质量为质量为 m 的质点以速度的质点以速度 在在空间运动，某时刻相对原点空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于，质点相对于原点的角动量原点的角动量vrvmrprL方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定sinvrmL 大小大小:moprP PL Lrpmo 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量大小角动量大小r2mrL 角动量的几何含义：角动量的几何含义：sinmvrL sinli

37、m0rtrmtdtdStSt0lim称为称为面积速度面积速度角动量的大小与面积速度成正比角动量的大小与面积速度成正比tSmtrrmtt00lim2sin21lim2prL )(ttr)(trMNPrO?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddFrtprtLdddd0,ddptrvv2 质点的角动量定理质点的角动量定理prLFrM为为力矩力矩MdtLd则则:称为称为角动量定律角动量定律L单位：单位： kg m2/s 或或 J s令令3 3、质点作匀速率圆周运动时，质、质点作匀速率圆周运动时，质点对圆心的角动点对圆心的角动 量的大小、方向量的大小、方向均不变均不变L L =

38、m= mvRvR2 2、同一质点相对于、同一质点相对于不同的点不同的点，角动量可以不同。，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，在说明质点的角动量时，必须指明必须指明是对哪个点而是对哪个点而言的言的说明说明1 1、力矩和角动量都是对于、力矩和角动量都是对于惯性系中同一固定点惯性系中同一固定点而言而言的的OrvFrMprL 4 4、rmmrLrm 质点所受对质点所受对参考点参考点 O 的合力矩为零时，质点对的合力矩为零时，质点对该该参考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩tMttd21 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参

39、考点 O ，质点所受，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.12d21LLtMtt3 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律tLMdd 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、冲量矩、角动量、角动量定理角动量定理.0M-常常矢矢量量LLm Lvr开普勒第二定律：开普勒第二定律：行星对恒星的矢径的掠面速度不变行星对恒星的矢径的掠面速度不变例：行星受力方向与矢径在一条例：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），故角动量守恒直线（中心力），故角动量守恒dtLdMvmr sinmv

40、rsinrtrm0tlimtrr21m20sintlimtSm2dd=常数常数r )/(, 0FrOFF点点过过FrM1) 对固定点对固定点O，质点，质点m所受合外力矩所受合外力矩:cosTRmgR oM sinTRmgR 则对则对O 点角动量守恒点角动量守恒(大小、方向均不变大小、方向均不变) LvmR RmvL mgToOmlR.L+L+ 2) 对固定点对固定点O，质点，质点m 所受合外力矩所受合外力矩: oM sinmgl对对O点角动量点角动量L+ .L+方向随时间变化方向随时间变化*合外力矩、角动量均对同一点而言合外力矩、角动量均对同一点而言)(TgmRM 大小大小 Lo=mvlvml

41、Lo 0 sinmvl 0 例：摆球对例：摆球对O和和O点的角点的角动量是否守恒？动量是否守恒？不守恒不守恒以以逆时针逆时针为正为正 例：长为例：长为l的轻杆，其两端分别固定有质量为的轻杆，其两端分别固定有质量为m和和3m的物体，的物体，取与杆垂直的固定轴取与杆垂直的固定轴O，重物，重物m与与O轴的距离为轴的距离为 ，绕轴，绕轴l43转动的线速度为转动的线速度为 。求它们对转轴的总角动量。求它们对转轴的总角动量。vOl43m3m解：两球的角速度相等解：两球的角速度相等4344lvllv故故3m质点线速度为：质点线速度为：3v总角动量为：总角动量为：vmlmvlL344333443vmlmvll

42、mv方向：沿转轴方向方向：沿转轴方向43lv v 例例 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质量一质量为为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动. 小球开始时小球开始时静止于圆环上的点静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然然后从后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小求小球滑到点球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用, 支持力的力矩为零支持

43、力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcostLmgRddcos考虑到考虑到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 练习、质量为练习、质量为3kg的质点位于的质点位于x=3m，y=8m处时速度处时速度为为 。作用在质点上的力大小为。作用在质点上的力大小为7N,沿沿负负X方向。求：以原点为参考点时，质点对原点的角方向。求：以原点为参考点时，质点对原点的角动量和所受的力矩。动量和所受的力

44、矩。)/(smj6i5vmj8i 3rNi7F)/(smj6i5v解：由题意：解：由题意：由定义：由定义： smkgk174j6i5j8i 33vmrL2/ mNk56i7j8i 3FrM例、小球例、小球M重重G,连在细绳的一端，绳的另一端穿过连在细绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔光滑水平面上的小孔O，令小球，令小球M在水平面上沿半径在水平面上沿半径为为r的圆周作匀速运动，其速度为的圆周作匀速运动，其速度为v0。如将细绳向下。如将细绳向下拉，使圆周的半径缩小为拉，使圆周的半径缩小为r/2，问这时小球的速度和，问这时小球的速度和细绳的拉力各为多少？细绳的拉力各为多少？，有：，所以小球角

45、动量守恒的力矩解：对小孔0MO2rmvrmv00v2v 2222nvmvTmamrr0v2vgGm，其中gGv8T20dtLdfFrMijiijiii)(i、j 相互作用的力矩之和为相互作用的力矩之和为iijjiifr0jijijifrfr iiiiiLdtdFrM)(质点系所受的质点系所受的合外力矩合外力矩等于该质点系的角动量等于该质点系的角动量对时间的变化率对时间的变化率i jFiPi fi j fj iorjriijjifrr)(0无外力矩，质点系总角动量守恒无外力矩，质点系总角动量守恒jirr如图所示，两个同样重的小孩如图所示，两个同样重的小孩,各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力往上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上孩子用力往上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？又：两个小孩重量不的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？又：两个小孩重量不等时情况如何？用角动量定理分析等时情况如何？用角动量定理分析解：以滑轮轴为参考点，把小孩解：以滑轮轴为参考点，把小孩, 滑轮和绳看作一系统滑轮和绳看作一系统12gmRRA BMA: MB: 系统角动量守恒系统角动量守恒合外力矩为零合外力矩为零