医药数理统计习题答案解析

1、精品文档第一章 数据的描述和整理一、学习目的和要求1. 掌握数据的类型及特性；2. 掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；3. 掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量；4. 能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；5. 了解统计图形和统计表的表示及意义；6. 了解用 Excel 软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算内容提要一）数据的分类数据类型定性数据（品质数据）定量数据定类数据（计数数据）定序数据（等级数据）数值数据（计量数据）表现形式类别（无序）类别（有序）数值（×÷ ）对应变量定类变量定序变量数值变量（离散变量、连续变量）主要

2、统计方法计算各组频数， 进行列联表分析、 2 检验等非参数方法计算各种统计量，进行参数估计和检验、回归分析、方差分析等参数方法常用统计图形条形图，圆形图（饼图）直方图，折线图，散点图，茎叶图，箱形图二）常用统计量1、描述集中趋势的统计量名称公 式（原始数据）公 式（分组数据）意义均值x1nx xi n i 1x1 k m fx mi f i ni1反映数据取值的平均水 平，是描述数据分布集中 趋势的最主要测度值 ,中位数Mexn 1， 当n为奇数 (n21)M e 11(xn x n ), 当n为偶数 2 (n2 )(n2 1)中位数所在组： 累积频数超过 n/2 的那 个最低 组是典型的位置

3、平均数， 不受极端值的影响众数Mo数据中出现次数最多的观察值众数所在组 :频数最大的组测度定性数据集中趋势，对于定量数据意义不大2、描述离散程度的统计量名称公 式（原始数据）公 式（分组数据）意义极差RR = 最大值 - 最小值R最高组上限值最低组下限值反映离散程度的最简单测度值，不能反映中间数据的离散性总体方差22 1 N (x x)22 N i 1 (xi x)22 1 k 22(mi x)2 fiN i 1反映每个总体数据偏离其总体均 值的平均程度，是离散程度的最 重要测度值 , 其中标准差具有与 观察值数据相同的量纲总体标准差22N1 i 1(xi x)21NN1 i1(mi x)2

4、fi样本方差S21nS2 1(xi x) 2n 1i 12 1 k 2S2(mi x)2 fin 1i 1反映每个样本数据偏离其样本均值的平均程度，是离散程度的最样本标准差SS S2SS2重要测度值 , 其中标准差具有与观察值数据相同的量纲1n1n2 (xi x)i11 k 2 (mi x) f i n 1 i 1变异系数CV= S100%反映数据偏离其均值的相对偏CV|x|差，是无量纲的相对变异性测度反映样本均值偏离总体均值的平样本标准误SxSSxn均程度，在用样本均值估计总体均值时测度偏差3 、描述分布形状的统计量名称公 式（原始数据）公式（分组数据）意义反映数据分布的非对称性偏度nS(x

5、i x)3k(mi x) 3 fiSk=0 时为对称；Skk(n1)(n 2)S3Ski1Sk >0 时为正偏或右偏；nS3Sk <0 时为负偏或左偏n(n1) (xi x)43 (xi x)22 (n 1)反映数据分布的平峰或尖Ku4(n 1)(n2)(n3)S4峰程度峰度（原始数据）Ku=0 时为标准正态；Kuk4(mi x)4 fiKu >0 时为尖峰分布；K i 13（分组数据）Ku3（分组数据）nSKu <0 时为扁平分布在分组数据公式中， mi， fi 分别为各组的组中值和观察值出现的频数。三、综合例题解析例 1 证明：各数据观察值与其均值之差的平方和（称为

6、离差平方和）最小，即对任意常数 C，有可编辑nn(xi x)2(xi C)2i1证一 ：设由函数极值的求法，对上式求导数， n f (C) 2 (xi i1令 f (C)=0 ，得唯一驻点i1n2f (C)(xi C)2i1得C)n2 xi 2nC, f (C) 2n i11nxi=xCni1x时f (C)y有最小值，其最小值为由于 f (x) 2n 0，故当 Cnf (x)(xi x)2 。i1证二：因为 对任意常数 C 有n n n n n(xi2x)2(xi C)222xi nx( xi2 2C xi nC 2)1i n1i1i 1 i 12 nx2Ci1xi nC2n(x2 2CxC2

7、)n(xC)20nn 22 故有(xi x)2(xi C)2i 1 i 1四、习题一解答1 在某药合成过程中，测得的转化率( %)如下：94.392.892.792.693.392.991.892.493.492.692.293.092.992.292.492.292.892.493.992.091.890.893.593.693.093.093.494.292.893.292.292.593.693.992.491.893.893.692.192.0（1）取组距为 0.5 ，最低组下限为 90.5 ，试作出频数分布表；（2）作频数直方图和频率折线图；（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均

8、值和样本标准差。 解：（1）所求频数分布表：转化率的频数分布表转化率分组频数频率累积频率90.5 10.0250.02591.0 00.000.02591.5 30.0750.1092.0 110.2750.37592.5 90.2250.6093.0 70.1750.77593.5 70.1750.9594.0 94.520.051.002 ）频数直方图：直方图精品文档81可编辑频率折线图：转化率频率折线图3 ）由频数分布表可得mifini190 .75 1 91.25 094 .25 24037134092 .825转化率分组组中值频数mi90.5 90.75191.0 91.25091.

9、5 91.75392.0 92.251192.5 92.75993.0 93.25793.5 93.75794.0 94.594.252S2 n11 (mi x)2 fi n 1i 1 i i= 1 (90.75 92.825) 2×1+(91.25 92.825) 2×0+ +(94.25 3992.825) 2 ×2=0.584或者 S2n11(imi 2 finx2)1 2 22294.252 2 40 92.762 ) 0.584319(90.752 1 91.252 0SS2 = 0.584 0.76422测得 10 名接触某种病毒的工人的白细胞（ 10

10、 9/L ）如下：7.1 ， 6.5 ，7.4 ，6.35 ，6.8 ，7.25 ，6.6 ，7.8 ，6.0 ，5.95（1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数（2 ）求出该组数据对应的标准化值；（3 ）计算其偏度。10解：（1） xi 7.1 6.5 5.95 67.75 ，n=10标准误 Sx0.60940i110xi2 7.12i16.525.952462.351n67 .75样本均值 xxi6.775ni11021方差 Sn1( xi 22 nx )1(462.3510 6.7752 ) 0.371n1 i 19标准差 S S2 = 0.371 0.6090.193变异系

11、数 CV= S 100%= 0.609 100%=8.99% ；|x | 6.775（2 ）对应的标准化值公式为xi x xi 6.775 uii S 0.609对应的标准化值为0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.355n (xi x)3(n 1)(n 2)S3=0.2043. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示按月人均支出分组（元）200 以下家庭户数占总户数的比例（ % ）1.520018.250046.8800 1000 以上25.38.2合计100试计算（ 1 ）该市平均每户月人均支出的

12、均值和标准差；（2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。解：（1）由原分组数据表可得支出分组（元）组中值比例（ % ）200 以下1001.5200 35018.2500 65046.8800 90025.31000 以上11008.2精品文档则x15mini1fi1(100100 1.5 35018.21100 8.2) 687 .321522S2(mi finx2)n 1 i11(10021.52350 2 18.221100 228.2 5 687.32)99 52468 .39SS252468.39 229.06 ；2) 由原分组数据表可得支出分组（元）比例（ % ）累积比例（ %

13、 ）200 以下1.51.5200 18.219.7500 46.866.5800 25.391.81000 以上8.2100中位数所在组，即累积比例超过 50 的那个最低组，即为 500 组众数所在组是频数即比例最大的组，也是 500 组4设 x1, x2, ，xn和 y1, y2, ，yn为两组样本观察值，它们有下列关系：yixi abi=1,2, ,n可编辑其中 a、b 为常数且 b 0，求样本均值 x 与 y及样本方差 Sx2和Sy2之间的关系解： yyii1ni1xib1b(1ni1xin1(yii1y)n1i1n1i1naxab2 n 1i 1(xix)2b2 Sx 。五、思考与练

14、习（一）填充题1 统计数据可以分为数据、 数据、 数据、据等三类，其中 数据、 数据属于定性数据。2 常用于表示定性数据整理结果的统计图有、 ；而 、 、 、 等是专用于表示定量数据 的特征和规律的统计图。3. 用于数据整理和统计分析的常用统计软件有 等。4. 描述数据集中趋势的常用测度值主要有 、 、 和 等，其中最重要的是 ；描述数据离散程度的常用测度值主要 有 、 、 、 等，其中最重要的二）选择题1. 各样本观察值均加同一常数 c 后 （）A样本均值不变，样本标准差改变B 样本均值改变，样本标准差不变C 两者均不变D. 两者均改变2 关于样本标准差，以下哪项是错误的（ ）。A反映样本观

15、察值的离散程度B 度量了数据偏离样本均值的大小C 反映了均值代表性的好坏D 不会小于样本均值3 比较腰围和体重两组数据变异度大小宜采用（ ）A变异系数（ CV ）C极差（ R）B 方差（ S2）D 标准差（ S ）三）计算题1. 在某次实验中，用洋地黄溶液分别注入 10 只家鸽内，直至动物死亡。将致死 量折算至原来洋地黄叶粉的重量。其数据记录为（单位： mg/kg ）97.3 ，91.3 ， 102 ，129 ，92.8 ，98.4 ，96.3 ，99.0 ，89.2 ，90.1 试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。六、思考与练习参考答案（一）填充题1. 定类，定序，数值

16、，定类，定序2. 条形图、圆形图；直方图、频数折线图、 茎叶图、箱形图3. SAS 、SPSS 、Excel4. 均值、众数、中位数，均值，极差、方差、标准差、变异系数，方差、标准 差（二）选择题1. B ； 2.D ；3.A（三）计算题1均值 98.54 、方差 132.27 、标准差 11.501 、标准误 3.637 、变异系数 11.67%精品文档第二章 随机事件与概率、学习目的和要求1. 掌握事件等的基本概念及运算关系；2. 熟练掌握古典概率及计算；3. 理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；4. 熟练掌握 概率 的加法公式、乘法公式及计算；5. 理解并掌握条件概率与事件独立性的

17、概念并进行计算；6. 掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。、内容提要一）基本概念概念符号概率论的定义集合论的含义随机试验（试验）E具有以下特征的观测或试验：1 试验在相同的条件下可重复地进行2 试验的所有结果事先已知， 且不止一个3 每次试验恰好出现其中之一， 但试验前 无法预知到底出现哪一个结果。样本空间试验所有可能结果组成的集合，即所有基全集本事件的全体基本事件（样本点）试验的每个不可再分的可能结果，即样本空间的元素元素随机事件（事件）A试验中可能发生也可能不发生的结果，是由基本事件组成的样本空间的子集子集必然事件在试验中一定发生的事件全集不可能事件在试验中一定不发生的事件，不含任何

18、基本事件空集二）事件间的关系关系符号概率论的定义集合论的含义包含AB事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生A是B 的子集相等A=BA B 而且 B AA与B 相等和（并）A+B(AB)事件 A 与 B 中至少有一个事件发生A与B 的并积（交）AB(AB)事件 A 与 B 同时发生A与B 的交差AB事件 A 发生同时 B 不发生A与B 的差互不相容AB=事件 A 与 B 不可能同时发生A与B 不相交对立A事件 A 不发生A 的补集 （余集 ）三）事件的运算规律运算律公式交换律A+B =B+A ， AB = BA结合律(A+B )+C=A+(B+C )，(AB)C=A(BC)分配律(A+B )C

19、=AC+ BC， A+(BC )=( A+B )(A+C )差积转换律A B AB A AB对立律A A= ，A+ A=德·摩根对偶律A B AB ， AB A B四) 概率的定义类型定义公式古典概率P(A)= m A所含的基本事件数P(A)= n基本事件总数统计概率P(A) = p ( f n A nA )n公理化定义(基本性质 )对样本空间中任意事件 A 对应的一个实数 P(A)，满足公理 1(非负性)：0 P(A)1公理 2(规范性)：P( )1 ， P( )0公理 3(可加性)：若 A1,A2, A,n,两两互不相容，P(A1+A2+An+ )= P(A1)+ P(A2)+

20、+ P(An)+ 则称 P(A)为随机事件 A 的概率。五) 概率的计算公式名称计算公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)若 A、B 互不相容( AB= )：P(A+B)=P(A)+P(B)对立事件公式P(A)=1P(A)；P(A ) =1P(A)事件之差公式P(AB)= P(A)P(AB)若 B A, P(A B)= P(A) P(B)条件概率公式P(B| A) P(AB), (P(A)>0) P(A)乘法公式若 P(A)>0, P(AB)=P(A)P(B| A) 若 P(B )>0, P(AB)=P(B)P(A|B )当 P(A1A2An-1 )>0

21、 时，有P(A1A2An )=P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) P(An| A1A2 An-1 )独立事件公式A、B 相互独立： P(AB)=P(A)P(B)A1, A2, , An 相 互 独 立 ： P(A1A2 An)= P(A1)P(A2) P(An)全概率公式若 A1, A2, , An 为完备事件组 *，对事件 B nP BP(Ai)P(B| Ai )i1逆概率公式（贝叶斯公式）若A1, A2, , An为完备事件组 *，P(B)>0P(Aj )P(B|Aj)P(Aj |B) n j jP(Ai)P(B| Ai)i1*完备事件组A1, A2, , An 1.

22、 A1, A2, , An互不相容且 P(Ai)>0(i=1, 2, , n)；2. A1+A2+An=三、综合例题解析例 1 从某鱼池中取 100 条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉 来 50 条鱼，发现其中有两条有记号，问池内大约有多少条鱼？解 ：设池内大约有 n 条鱼，令A=从池中捉到有记号鱼 则从池中捉到有记号鱼的概率100P(A)=n由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率 fn (A) = 2 ，即50100 2n 50解之得 n =2500 ，故池内大约有 2500 条鱼。例 2 口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的

23、概率。解一： 令 A=总值超过一角 ，现将从 10 个硬币中任取 5 个的每种取法作为每个 基本事件，显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。所取 5 个硬币总值超 过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有 2 个伍分、有 1 个伍分和没有伍分来考虑。则P(A)2 3 1 2 2 1 3 2C2C8 C2C3 C5 C2C3C5C150126=0.5252解二 ：本例也可以先计算其对立事件A= 总值不超过一角 考察 5 个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬 币的不同个数来计算其有利情形的组合数。则C55 C54C15 C53(C32 C31C 12 ) C52

24、C33126P(A) 1 P(A) 1 5 5 5 5 53 3 2 5 3 1 =0.5C10252或 P(A) 1 P(A) 1 C8 C(2 C55 C3C5) 1 126 =0.5C150252例3 将 n个人等可能地分配到 N(nN)间房中去，试求下列事件的概率：(1 )A=某指定的 n 间房中各有一人 ；(2 )B=恰有 n 间房，其中各有一人 ；（3）C=某指定的房中恰有 m （mn）个人。解： 把 n 个人等可能地分配到 N 间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数， 故是一可重复的排列问题，这样的分法共有 Nn 种。（1 ）对事件 A ，对指定的 n 间房，第一个人可分配到该

25、 n 间房的任一间，有 n 种分法；第二个人可分配到余下的 n1 间房中的任一间，有n1 种分法，以此类推， 得到 A 共含有 n !个基本事件，故P(A)n!2 ）对事件 B ，因为 n 间房没有指定，所以可先在 N 间房中任意选出 n 间房（共可编辑有 CNn 种选法），然后对于选出的某 n 间房，按照上面的分析，可知 B 共含有 CNn · n ！ 个基本事件，从而P(B) CNN nn!3 ）对于事件 C，由于 m 个人可从n 个人中任意选出，故有 Cnm 种选法，而其余n m 个人可任意地分配到其余的 N 1间房中，共有 （N1）n-m种分配法，故 C 中共含有 Cnm&#

26、183;（N1）n-m 个基本事件，因此P(C)Cnm( N 1) nNnmCnm(N1)m(1 N1)n m注意：可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如：1）生日问题： n 个人的生日的可能情形，这时 N=365 天（n365 ）；2 ）乘客下车问题：一客车上有 n 名乘客，它在 N 个站上都停，乘客下车的各种可能情形；3 ）印刷错误问题： n 个印刷错误在一本有 N 页的书中的一切可能的分布（ n 不超过每一页的字符数） ；(4 )放球问题：将 n 个球放入 N 个盒子的可能情形。 值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人” ，什么是“房” ，一般不 能颠倒。

27、例 4(1994 年考研题)设 A，B 为两事件，且 P(A)=p，P(AB)=P(AB)，求 P(B)。 解：由于P( AB) P( A B) 1 P( A B) 1 P( A) P(B) P( AB),现因为 P(AB )= P(AB)，则P( AB) 1 P(A) P(B) P(AB)又 P(A)=p ，故P(B) 1 P(A) 1 p 。 注意：事件运算的德·摩根律及对立事件公式的恰当应用。例 5 设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。 已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为 0.2 和 0.3 ，又当河流甲泛滥时，“引起”河 流乙泛滥的概率为 0.

28、4 ，求(1) 当河流乙泛滥时，“引起”河流甲泛滥的概率；(2) 该时期内该地区被淹没的概率。解：令 A=河流甲泛滥 ，B =河流乙泛滥 由题意知P(A)=0.2 ，P(B)=0.3 ，P(B | A)=0.4再由乘法公式P(AB)=P(A)P(B | A)=0.2 ×0.4=0.08 ，则( 1 )所求概率为P( AB) 0.08P(A |B) 0.267P( B)0.32 )所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) =0.2+0.3 0.08=0.42 。例 6 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9 ， A 发生 B 不发生 的概率与 B 发生

29、A 不发生的概率相等，求 P(A)。解： 由题设可知因为 A 和 B 相互独立，则P(AB) = P(A)P(B)，再由题设可知1P(AB) P(A)P(B) 9 ，P(AB) P(AB)又因为P(AB) P(AB)，即P(AB) = P(BA)，由事件之差公式得P(A) P(AB) P(B) P(AB)则有 P(A) = P(B)，从而有P(A) P(B)故有2 1 1(P(A)即 P(A) 1 P(A) 。 例 7( 1988 年考研题) 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0， 1， 2 只 残次品的概率相应为 0，0.8，0.1 和 0.1 ，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售

30、货 员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则 9, P(A) 3退回。试求1）顾客买下该箱的概率；2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含 0， 1， 2 只残次品。而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买下这一箱 是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。首先令A=顾客买下所查看一箱 ；B =售货员取的箱中恰好有 i 件残次品 ，i=0，1，2。显然，B0，B1，B2 构成一组完备事件组。且P(B0)

31、 0.8, P( B1) 0.1,P(B2) 0.1,4,P(AB2)5P(AB0 ) 1,P(AB1) C149C204C148 12C240 191）由全概率公式，有2P(A)P(Bi)P(ABi) 0.8 1 0.1i00.112 0.94192）由逆概率公式，得P(B0 A) P(B0)P(AB0)P(A)0.80.940.85注意 ：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。例 8 （小概率事件原理）设随机试验中某事件 A 发生的概率为 ，试证明，不论 >0如何小，只要不断独立重复地做此试验，事件 A 迟早会发生的概率为 1 。证：令Ai=第 i 次试验中事件 A 发生, i

32、=1,2,3, 由题意知，事件 A1, A2, ,An, 相互独立且P(Ai)= ，i=1,2,3,则在 n 次试验中事件 A 发生的概率P( A1 A2An )=1 P( A1A2 An)n=1 P(A1)P(A2) P(An) 1 (1 )n当 n+, 即为事件 A 迟早会发生的概率P( A1 A2An)= lim 1 (1 )n =1 。四、习题二解答 1考察随机试验：“掷一枚骰子，观察其出现的点数” 。如果设 i= 掷一枚骰子所出现的点数为 i , i=1,2, ,6试用 i 来表示该试验的基本事件、样本空间和事件 A =出现奇数点 和事件 B=点数 至少是 4 。解：基本事件： 0

33、，1，2，3，4， 5， 6。样本空间 = 0 ，1，2，3，4，5，6。事件 A=1 ，3，5；B=4 ，5，6。2用事件 A、B 、C 表示下列各事件：(1) A 出现，但 B、C 不出现；(2 )A、B 出现，但 C 不出现；(3) 三个都出现；(4) 三个中至少有一个出现；(5) 三个中至少有两个出现；(6) 三个都不出现；(7) 只有一个出现；(8) 不多于一个出现；（ 9 ）不多于两个出现。解：（1） ABC （2） ABC （3） ABC（4）ABC A BC A BC ABC ABC ABC ABC 或 A+B+C 或A BC（5）ABC AB C ABC ABC（ 6 ） A

34、BC 或 （A+B+C）或 A B C（ 7 ） ABC + ABC + ABC（ 8 ） ABC + ABC + ABC + ABC（9）ABC ABC A BC ABC ABC ABC ABC 或 ABC 或 ABC3从 52 张扑克牌中，任取 4 张，求这四张花色不同的概率。解：现将从 52 张扑克牌中任取 4 张的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺 序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。m C13 C13C13 C1313P 4 0.1055 。nC54252 51 50 49/ 4!4在一本标准英语词典中共有 55 个由两个不同字母组成的单词， 现从 26 个英 文字母中任取两

35、个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率。解：现将从 26 个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件，其 结果与顺序有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。m 55 n A2265526 250.0846 。5某产品共 20 件，其中有 4 件次品。从中任取 3 件，求下列事件的概率。（ 1 ）3 件中恰有 2 件次品；（ 2 ） 3 件中至少有 1 件次品；（ 3） 3 件全是次品；（4 ） 3 件全 是正品。解：现将从 20 件产品中任取 3 件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序（1）P(A)m n21C4C1160.0842 ；C3C20（2）P(B)1P(B

36、)mC1361 1136nC230或 P(B) m12C14C126C 2C1C 3C0C4C16C4C163nC20（3）P(C)mC4330.0035；nC230（4）P(D)mC13630.4912。nC2306房间里有10个人，分别佩戴着 1记录其纪念章号码，试求： （1 ）最小号码为无关，故可用组合数来解决该古典概型问题1 0.4912 0.50880.5088 ；10 号的纪念章，现等可能地任选三人，5 的概率；（2 ）最大号码为 5 的概率P(B)C11C3101200.05。解：设 A=任选三人中最小号码为 5， B =任选三人中最大号码为 51 ）对事件 A，所选的三人只能从

37、 510 中选取，而且 5 号必定被选中12m C11C52 1P（A）1 3 50.0833 ；n C130 127 某大学学生中近视眼学生占 22% ，色盲学生占 2% ，其中既是近视眼又是色 盲的学生占 1% 。现从该校学生中随机抽查一人，试求： （1）被抽查的学生是近视眼 或色盲的概率；（2 ）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。解 ：设A=被抽查者是近视眼 ，B=被抽查者是色盲 ；由题意知， P（A）=0.22 ，P（B ）= 0.02 ，P（AB ）= 0.01 ，则1) 利用加法公式，所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.22+0.02 0.01=0.23

38、；( 2 )所求概率为P( AB )=P(A B)=1P(A+B)=10.23 =0.77 。注意：上述计算利用了德·摩根对偶律、对立事件公式和(1 )的结果。8设 P(A)=0.5 ，P(B )=0.3 且 P(AB )=0.l 。求：(1)P(A+B)；(2)P(A +B)。 解：(1)P(A+B )=P(A)+P(B)P(AB)=0.5+0.3 0.1=0.7 ；(2) P(A+B)= P(A)+P(B)P(AB)=1P(A)+P(B)P(BA)=1P(A) +P(B)P(B) P(AB )= 1 P(A) + P(AB)=1 0.5+0.1=0.6 。 注意：上述计算利用了加

39、法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。 9假设接受一批药品时，检验其中一半，若不合格品不超过2 ，则接收，否则拒收。假设该批药品共 100 件，其中有 5 件不合格，试求 该批药品被接收 的概率。 解：设 A=50 件抽检药品中不合格品不超过 1 件 ，据题意，仅当事件 A 发生时，该批药品才被接收，故所求概率为50 1 49m C95 C5C95P(A) 95 505 95 0.1811。nC10010 设 A,B 为任意两个事件，且 P(A)>0，P(B)>0 。证明：(1) 若 A与 B 互不相容，则 A 和 B 不独立；(2) 若 P(B|A )=P(B| A)，

40、则 A 和 B 相互独立。证明：(1)用反证法。假定 A和 B 独立，因为已知 A 与 B 互不相容，则AB= ，P(AB )= P( )=0故 P(A) P(B)= P(AB)=0但由已知条件 P(A)>0，P(B)>0 得 P(A) P(B )>0 ，由此导出矛盾，所以若 A 与 B 互不相容，则 A和B 不独立2) 由已知 P(B|A )=P(B| A)，又P(B |A)P(AB)P(A)P(B| A)P(AB)P(A)P(AB) P(AB)P(A) P(A)P(B A) P(B) P(AB)1 P(A) 1 P(A)即P(AB)1P(A) = P(A)P(B)P(AB

41、)P(AB)P(AB)P(A)= P(A)P(B)P(A)P(AB)P(AB) = P(A)P(B)这即 A 和 B 相互独立2）又证：由已知P(B|A )=P(B| A) P(AB) P(B A) P(B) P(AB)P(A) 1 P(A) 1 P(A)P(B| A)1P(A) = P(B)P(AB )P(B| A)P(B| A)P(A) = P(B)P(AB)P(B|A)P(AB) = P(B)P(AB)P(B| A) = P(B)这即 A 和 B 相互独立11 已知 P(A)=0.1 ，P(B)=0.3 ，P(A | B)=0.2 ，求：(1)P(AB)；(2)P(AB)；3) P(B|

42、 A)；(4)P( AB )；(5)P( A | B )。解：(1)P(AB)= P(B) P(A | B)=0.3 × 0.2=0.062)P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.1+0.3 0.06=0.34 ；3)P(B| A)P(AB)P(A)0.060.10.6；4) P(AB)=P(AB)=P(A)P(AB)=0.1 0.06=0.04 ；(5) P(A|B) P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 0.34 0.9429 。P(B) 1 P(B) 1 P(B) 1 0.312 某种动物活到 12 岁的概率为 0.8 ，活到 20 岁的概率为 0.4 ，问

43、现年 12 岁 的这种动物活到 20 岁的概率为多少？解：设 A=该动物活到 12 岁，B=该动物活到 20 岁；由题意知P(A)=0.8 ， P(B )=0.4显然该动物“活到 20 岁”一定要先“活到 12 岁”，即有B A，且 AB=B，则所求概率是条件概率P(B |A) P(AB) P(B) 0.4 0.5。P(A) P(A) 0.813 甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5 ，2/3 ，1/4 ，求该密码被破译的概率。解：设 A=甲译出该密码 ，B=乙译出该密码 ，C=丙译出该密码 . 由题意知， A，B，C 相互独立，而且P(A)=1/5 ，P(

44、B)=2/3 ，P(C)=1/4则密码被破译的概率为413P(A+B +C)=1 P( A BC ) =1 P(A)P(B)P(C)=1=0.8534或 P(A+B+C )=P(A)+P(B)+ P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC )=P(A)+P(B)+ P(C)P(A) P(B)P(A) P(C)P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C)1211211211214=0.8 。5 3 4 5 3 5 4 3 4 5 3 4 514 有甲乙两批种籽， 发芽率分别为 0.8 和0.7 ，在两批种籽中各任意抽取一粒， 求下列事件的概率：(1)两粒种籽都能发芽；(2)至少有

45、一粒种籽能发芽； (3)恰好 有一粒种籽能发芽。解 ：设A=甲种籽能发芽 , B =乙种籽能发芽 则由题意知， A 与 B 相互独立，且有P(A)=0.8 ，P(B )=0.7 ，则所求概率为(1) P(AB)=P(A)P(B)=0.8 ×0.7=0.56 ；(2) P(A+B ) =1P(A B)=1P(AB )=1 P( A)P(B ) =1 0.2 ×0.3=0.96 ；(3) P(AB AB)=P(A)P(B) P(A)P(B)=0.8 ×0.3+0.2 ×0.7=0.38 。15 设甲、乙两城的通讯线路间有 n 个相互独立的中继站，每个中继站中

46、断的 概率均为 p ，试求：(1)甲、乙两城间通讯中断的概率； (2 )若已知 p=0.005 ，问在 甲、乙两城间至多只能设多少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于 0.95 ？解：设 Ak=第 k 个中继站通讯中断 , k =1,2, ,n，则 A1, A2, , An 相互独立， 而且有 P(Ak)=p, k =1,2, ,n。( 1 )所求概率为P(A1+ A2+ An)=1P(A1 A2An )=1 P( A1A2 An)=1P(A1)P(A2) P(An)=1(P(A1)n 1(1p)n；( 2 )设甲、乙两城间至多只能设 n 个中继站，由题意，应满足P( A1 A2 A

47、n)=(1p)n0.95 ，即(10.005) n 0.950.995 n 0.95n log 0.995 0.95=ln0.95/ln0.995=10.233故 n =10 ，即甲、乙两城间至多只能设 10 个中继站。16 在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率是 0.6 ，现有若干门这样的 炮独立地同时发射一发炮弹， 问欲以 99% 的把握击中飞机， 至少需要配置多少门这样 的炮？解：设至少需要配置 n 门炮。再设Ak=第 k 门炮击中飞机 , k =1,2, ,n，则 A1, A2, , An 相互独立，而且有P(Ak)=0.6, k =1,2, ,n 。由题意，应有P(A1+ A2

48、+ An)= 1 P( A1A2 An )=1 P(A1)P(A2) P(An) =1 (P(A1)n 10.4 n0.99即0.4 n 0.01 ，则有n log 0.4 0.01=ln0.01/ln0.4=5.026故 n=6 ，因此至少需要配置 6 门炮。17 甲袋中有 3只白球， 7只红球， 15 只黑球；乙袋中 10 只白球，6 只红球， 9 只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。解：设以 A1、A2、A3 分别表示从甲袋中任取一球为白球、红球、黑球；以 B1、B2、B3 分别表示从乙袋中任取一球为白球、红球、黑球。 则所求两球颜色相同的概率为P(A1B1+ A2B2+

49、A3 B3)= P(A1)P(B1)+ P( A2)P(B2)+ P(A3)P( B3)3 10 7 6 15 9 20725 25 25 25 25 25 6250.3312。65% 、35% ，且甲、乙两18 在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占 厂的该药品合格率分别为 90% 、80% ，现用 A1、A2分别表示甲、乙两厂的药品， B 表示合格品，试求： P(A1)、P(A2)、P(B| A1)、P(B|A 2)、P(A1B)和 P(B)。 解：由题中已知条件可得P(A1)=0.65 ，P(A2)=0.35 ，P(B| A1)=0.9 ，P(B|A 2)=0.8 ，P(A1B)=

50、P(A1 )P(B | A1)= 0.65 × 0.9=0.585 ，P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =0.65 × 0.9+0.35 × 0.8=0.865 。19 某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区A1，A2，A3 的人口比例为9 7 4，据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为 4， 2， 5，求 该地甲种疾病的发病率。解：设以 A1、A2、A3表示病人分别来自小区 A1、A2、A3，以B 表示患甲种疾病。 则由题意知974P(A1)= 9 ，P(A2)= 7 ，P(A3)= 4 ，20 20 20P(B| A1)=0.004 ，P(B|A 2)=0.002 ，P(B|A 3)=0.005 ， 则该地甲种疾病的发病概率为P(B)= P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) 974= 0.004 0.002 0.005 0.0035=3.5 。20 20 2020 若某地成年人中肥胖者 (A1)占有 10 ，中等者(A 2)占 82 ，瘦小者(A3) 占 8，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为 20 ，10 ，5。(1) 求该地成年人患高血压的概率； ( 2 )若知某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？解