复变函数05吉大PPT学习教案

1、会计学1复变函数复变函数05吉大吉大2 本章主要内容 复级数； 泰勒级数； 洛朗级数.级数是研究函数的重要工具. 本章我们将 介绍复数项级数; 讨论解析函数的级数表 示泰勒级数和洛朗级数; 然后研究把函 数展开为泰勒级数和洛朗级数.第1页/共35页3复数项级数复数列的极限 设zn为一复数列, 其中zn= xn+ iyn，又设z0= x0+iy0为一确定常数. 若对任意给定的 0，存在正整数N，使当n N时, 总有 znz0 成立.则称zn以z0 为极限, 也称复数列zn收敛于z0，记为 第2页/共35页4)(lim00 nzzzznnn或或定理 设z0=x0+iy0 , zn=xn+iyn (

2、n=1,2,)则 000lim,limlimyyxxzznnnnnn 关于两个实数列相应项之和、差、积、 商所成序列的极限的结果, 可以推广到复 数序列.第3页/共35页5 .lim,lim, , .0lim. 00000000yyxxzzyyzzxxzzNnNzznnnnnnnnnnn 即即有有从从而而有有有有时时，当当，有有正正整整数数给给定定的的，对对于于任任意意由由必必要要性性证证明明 第4页/共35页6.lim22 ,2,2 0lim,lim. 00000000zzyyxxzzyyxxNnNyyxxnnnnnnnnnnn 即即有有于于是是时时，有有，当当有有正正整整数数对对于于任任意

3、意给给定定的的，由由于于充充分分性性 第5页/共35页7复数项级数 设zn = xn+ iyn (n = 1,2,)为一复数列, 表达式 nnnzzzz211称为复数项级数，其前n项的和 nnzzzS 21称为复数项级数的部分和数列. 若部分和数列Sn收敛于S，则称级数收敛. S称为级数的和.若 Sn不收敛，称级数发散. 第6页/共35页8定理 设 zn=xn+iyn (n = 1,2,) 级数 收 敛的充要条件是级数 收敛. 1nnz 11nnnnyx 和和级数收敛的必要条件0lim1 nnnnxx 收收敛敛0lim1 nnnnyy 收收敛敛0lim1 nnnnzz 收收敛敛所所以以第7页/

4、共35页9定理收收敛敛收收敛敛 11nnnnzz证明 1221nnnnnyxz由于由于2222,nnnnnnyxyyxx 而而根据实正项级数的比较判别法, 可知级数 .11收收敛敛和和 nnnnyx 11nnnnyx 与与从从而而收敛, 进一步可知级数 收敛. 1nnz第8页/共35页10绝对收敛与条件收敛若级数 绝对收敛. 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛. 11nnnnzz 收收敛敛则则称称级级数数因为是 正项级数, 其收敛性可用正 项级数的判别法来判定. 1nnz例 判断级数的收敛性 )i1(1)1(12 nnn)i1(13 nnn第9页/共35页11 11nn由于实部 发散，故原级数发

5、散. 1!) i 8()2(nnn 由正项级数的比值判别法知原级数收敛, 且绝对收敛.,!8!) i 8(nnnn 因为因为2i)1()3(1 nnnn第10页/共35页12又级数 为条件收敛，所以原级数为条件收敛. 1)1(nnn因 ， 收敛，故原级数收敛. 121nn 1)1(nnn复变函数项级数复变函数项级数 设fn(z) (n=1,2,)是定义在区域D上的复 变函数列，则表达式 第11页/共35页13 )()()(211zfzfzfzfnnn）称为复变函数项级数，其前n项和为)()()(21zfzfzfzSnn ）若对于D内的一点z0，存在, 则称z0是级数的收敛点, 而S(z0)称为

6、它的和.若级数 在D内处处收)()(lim00zSzSnn 1)(nnzf 1)()(nnzfzS敛, 则 称为级数的和函数.第12页/共35页14幂级数在复函数项级数中，称形如为幂级数. 设z0 = 0, 这时可得常用的幂级数形式 00)(nnnzzc 0nnnzc nnzczczcc2210幂级数的收敛定理 同高等数学中的实变幂级数一样，复变函数的幂级数也相似的收敛定理。 第13页/共35页15阿贝尔Abel定理 若幂级数 在点z = z0处收敛，则级 数在圆域 | z | | z0|上发散. 0nnnzc证明 因为幂级数 收敛，由收敛的必要条件，有 ， 所以存在正数M，使对所有的n，有

7、00nnnzc0lim0 nnnzcMzcnn 0第14页/共35页16当|z|z0|时，则 10 qzznnnnnnMqzzzczc 00因此因此由于级数 收敛, 从而根据正项级数的比较审敛法知级数 绝对收敛. 1nnMq 0nnnzc利用反证法根据上述结论可得定理另一部分的证明. 利用阿贝尔定理, 可以确定幂级数的收敛范围. 第15页/共35页17对于幂级数 来说, 它的收敛情况可 以分为下述三种： 0nnnzc幂级数的收敛半径 在原点收敛，除原点外发散. (R0) 在全平面上处处绝对收敛. (R+ )除上述两种极端情形之外, 由阿贝尔定 理可知, 对于一般级数, 必有一个圆域 |z|R的

8、范围内级数发散.第16页/共35页18圆周|z|=R称为级数的收敛圆. R称为幂级数的收敛半径. 幂级数在收敛圆周上的收敛性，不能作出 一般的结论，要对具体级数具体分析. 例 nnnzzzz201求级数的收敛范围与和函数. 解 级数的部分和121 nnzzzS)1( ,11 zzzn第17页/共35页19zzS 11)(zSnn 11lim当|z|1时， ，所以当|z|1时, 级数收敛，和函数为 当|z|1时，由于n时幂级数的一般项zn不趋于零，级数发散. 因此级数收敛范围为|z|1, 在此范围内，级数绝对收敛. 收敛半径R = 1. 第18页/共35页20关于幂级数的收敛半径的求法, 有以下

9、两个方法. 幂级数的收敛半径 0nnnzc定理 若 满足下列条件之一 nnncc1lim比值法比值法 nnnclim根值法根值法则幂级数的收敛半径 1 R第19页/共35页21若 =0，则幂级数在整个复平面上解析,即R = +. 若 = +，则除z = 0外幂级数处处发散，即R = 0. 例 求下列幂级数的收敛半径 03)1(nnnz, 并讨论在收敛圆周上的情形. 1)1()2(nnnz, 并讨论z = 0, 2时的情形. 解 (1)因为 1)1(limlim31 nnccnnnn第20页/共35页22所以收敛半径 R = 1. 收敛圆为|z|=1.10303收收敛敛 nnnnnz在|z|=1

10、上，级数原级数收敛范围是|z|1. 11limlim)2(1 nnccnnnn所以收敛半径R = 1，收敛圆为| z1| = 1. 在| z1 | = 1上，当z = 0时，原级数成为 1)1(nnn，该级数收敛；第21页/共35页23 11nn当z=2时, 原级数为 ，该级数发散. 例 把函数 表示成形如 的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数. bz 1nnnazc)(0 解)()(11abazbz .111abazab 第22页/共35页241 abaz当当, 即|za|ba|时，有 32)()()(111abazabazabazabaz)( )()()()()()(111322abaz

11、abazabazabazabbznn 第23页/共35页25)( )()(1101abazazabbznnn 复变幂级数和函数的性质 nnnzzc)(00 定理 设幂级数 的收敛半径为R，则(1) 级数的和函数是收敛圆内的解析函数. )()(00nnnzzczf 第24页/共35页26 )()(101 nnnzznczf100)(1)(0 nnnzzzzncdf (2) f(z)在收敛圆内可逐项求导，即 (3) f(z)在收敛圆内可逐项积分，即 第25页/共35页27解析函数展开成幂级数 定理 设f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点，d为z0 到D的边界上各点的最短距离，则当| zz0|

12、 d 时, 则f(z)能展成幂级数 nnnzzczf)()(00 .!)(0)(nzfcnn 其中其中并且展开式是唯一的.第26页/共35页28这个展开式称为函数f(z)在z0的泰勒展式.它的右端的级数称为f(z)在z0的泰勒级数. 证明 以下证明此展开唯一性.设f(z)在z0处又可以展开成则对上式求各阶导数，得nnnzzczf)()(00 )()!1(!)(01(zzcncnzfnnn）当z = z0时，得 nncnzf !)(0( ）第27页/共35页29 nnncnzfc !)(0即即所以这个展开式是唯一的. 关于定理我们作如下两点说明(1) 若f(z)在z0解析, 则f(z)在z0的泰

13、勒级数的收敛半径R等于从z0到f(z)的距离z0最近的一个奇点 之间的距离, 即R =| z0 |.(2) 由本定理与和函数的性质有, 函数在一点解析的充要条件是它在该点邻域内可以展成幂级数.第28页/共35页30利用泰勒级数展开的唯一性, 我们可以用 比较简便的方法将一个函数展开为泰勒 级数即幂级数. 展开的方法有两种. 一种 是由泰勒展开式，直接通过计算系数 !)(0)(nzfcnn 把f(z)在z0展开为幂级数，称为直接法； 另一种是利用幂级数的运算与性质, 以唯一性为依据把函数展开成幂级数, 称为间接法. 第29页/共35页31例 求函数f(z) = ez在z = 0的泰勒展开式解 由

14、于ez的各阶导数为ez, 且ez|z=0=1 所以 !1!)0()(nnfcnn ! 21e)(2nzzzzfnzf(z) = ez在复平面内处处解析, 上面的等式在复平面内处处成立, 收敛半径为+. 用直接法可以求得sinz与cosz在z = 0处的 泰勒展开式:第30页/共35页32)()!12()1(sin120 znzznnn)()!2()1(cos20 znzznnn函数sinz与cosz在复平面内处处解析，上面的等式在复平面内处处成立,收敛半径为+.例 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的泰 勒展开式.而z=1是它距z=0最近的奇点. 第31页/共35页33所以它在|z|1内可以展开成z的幂级数. zz 11)1ln()1()1(0 zznnn所以在|z|1内, 任取一条从0到z的积分路线C，将上式两边沿C逐项积分，得 zzzzd11)1ln(0 z