16完全平方公式1

1、教教材材分分析析学学情情教教法法教教学学设设计计教教学学反反思思完全平方公式完全平方公式 教材的地位和作用教材的地位和作用 本节内容是在学生学习了整式的乘法和平方差公式之本节内容是在学生学习了整式的乘法和平方差公式之后，继续学习的一个乘法公式。在熟练掌握多项式的乘法运后，继续学习的一个乘法公式。在熟练掌握多项式的乘法运算后，分析多项式乘法中特殊类型的运算规律，用来简化运算后，分析多项式乘法中特殊类型的运算规律，用来简化运算，对培养学生的求简意识有很大好处；同时，乘法公式是算，对培养学生的求简意识有很大好处；同时，乘法公式是后续学习因式分解、分式运算等内容的重要基础，公式的推后续学习因式分解、分

2、式运算等内容的重要基础，公式的推导又是初中数学中运用推理的方法进行代数式恒等变形的开导又是初中数学中运用推理的方法进行代数式恒等变形的开端；另外，公式的发现与验证过程为学生以后探究新知的学端；另外，公式的发现与验证过程为学生以后探究新知的学习活动积累很好的方式和方法。习活动积累很好的方式和方法。地位与作用地位与作用教学目标教学目标重点与难点重点与难点 数学公式是数学中重要的基础知识，利用公式数学公式是数学中重要的基础知识，利用公式进行计算是重要的基本技能。怎样让学生经历公式进行计算是重要的基本技能。怎样让学生经历公式发现和提炼的过程，感悟其作为公式的合理性，使发现和提炼的过程，感悟其作为公式的

3、合理性，使学生进一步感受数形结合的魅力，从代数推理和几学生进一步感受数形结合的魅力，从代数推理和几何背景等多角度探索公式，在深入理解的基础上灵何背景等多角度探索公式，在深入理解的基础上灵活运用公式，是我这节课教学研究的重点。所以我活运用公式，是我这节课教学研究的重点。所以我确定以下教学目标：确定以下教学目标： 教学目标教学目标1、知识与技能：、知识与技能：会会推导推导完全平方公式，并能完全平方公式，并能运用运用公式公式进行简单的计算进行简单的计算,进一步进一步发展发展符号感和推理能力；符号感和推理能力；了解了解完完全平方公式的几何背景，全平方公式的几何背景，感受感受数与形之间的联系，数与形之间

4、的联系，培养培养学生用图形解释数的学生用图形解释数的能力能力及创造性思维和表达及创造性思维和表达能力能力。2、过程与方法：、过程与方法：经历经历探索完全平方公式的探索完全平方公式的全过程全过程， 培养培养学生观察、发现、猜想、验证、推理等多种探学生观察、发现、猜想、验证、推理等多种探 索知识的索知识的方法方法，从中，从中渗透渗透转化、化归、数形结合转化、化归、数形结合思想思想，培养学生求简意识，应用意识及辩证统一观念培养学生求简意识，应用意识及辩证统一观念。3、情感态度与价值观、情感态度与价值观：通过反思问题情境的创设，：通过反思问题情境的创设， 体体验验数学活动充满探索与发现，数学活动充满探

5、索与发现，激发激发学生探索的热情，并学生探索的热情，并鼓励鼓励学生探索算法的多样化，学生探索算法的多样化，体会体会到解决问题策略的多到解决问题策略的多样性，样性，积累积累探索数学公式的学习经验，从中探索数学公式的学习经验，从中感受感受数学公数学公式的简洁美，进一步式的简洁美，进一步提高提高学生的参与意识和合作精神。学生的参与意识和合作精神。地位与作用地位与作用教学目标教学目标重点与难点重点与难点 教学重难点教学重难点 抽象的数学公式的教学，不仅要抽象的数学公式的教学，不仅要重视重视它的运用，更要关注它的实际背景与形成过它的运用，更要关注它的实际背景与形成过程程，才能有效地帮助学生克服机械地记忆

6、、，才能有效地帮助学生克服机械地记忆、模仿和套用公式。只有让学生经历公式的发模仿和套用公式。只有让学生经历公式的发现和验证的过程，才能更好地现和验证的过程，才能更好地理解、掌握和理解、掌握和运用公式。运用公式。重点：经历完全平方公式的探索过程重点：经历完全平方公式的探索过程, 理解公式的理解公式的 结构特点、语言描述和几何背景，并会运用结构特点、语言描述和几何背景，并会运用 公式进行简单计算。公式进行简单计算。七年级的学生对于抽象的数学推理和七年级的学生对于抽象的数学推理和用图形解释数的方法还只是初步的认识，用图形解释数的方法还只是初步的认识，所以难点之一是所以难点之一是理解公式的推理过程和几

7、理解公式的推理过程和几何背景何背景；另外由于受到平方差公式和积的；另外由于受到平方差公式和积的乘方法则的负面迁移的影响，学生容易把乘方法则的负面迁移的影响，学生容易把几个公式混淆，所以几个公式混淆，所以掌握公式的结构特点掌握公式的结构特点及其灵活运用公式又是一大难点。及其灵活运用公式又是一大难点。难点：难点：理解公式的推导过程和几何背景；理解公式的推导过程和几何背景； 掌握公式的结构特点及其灵活运用公式掌握公式的结构特点及其灵活运用公式。地位与作用地位与作用教学目标教学目标重点与难点重点与难点 于是，我决定改变教学思路，从学生的错误于是，我决定改变教学思路，从学生的错误猜想中切入，提出问题猜想

8、中切入，提出问题:(a+b)2=a2+b2?引导学生引导学生先先(a+b)2=a2+b2+2ab发现与验证的过程，发现与验证的过程，再再(ab)2=? 然后进行然后进行运用公式。在错误的反思中学习新知。运用公式。在错误的反思中学习新知。 学学会会评评价价布布置置作作业业创创设设情情景景引引新新设设疑疑合合作作交交流流探探索索新新知知参参与与其其中中体体验验特特征征类类比比猜猜想想继继续续探探索索变变式式训训练练感感悟悟应应用用因为(ab)2 = a2b2 所以，我猜想： (a+b)2 = a2+b2请问他的猜想对吗？请问他的猜想对吗？请你帮助他验证。请你帮助他验证。我们小组是用举例子的方法验证

9、的，即对a、b取不同的数代入检验。观察发现： (a + b)2 a2 + b2我们小组认为我们小组认为(a + b)2 a2 + b2，因为，因为(a + b)2表示表示a与与b和的平方和的平方而而a2 + b2表示表示a与与b平方的和平方的和，意义不同，所以不相等。，意义不同，所以不相等。 ab(a + b)2a2 + b22195322512458141如何用图形来验证公式如何用图形来验证公式:S大大=(a + b)2=?S小小= a 2S S大大=2S=2S =2=2 (a + b)(a (a + b)(a + b) + b) = a = a2 2 + ab+ ab + ab+ ab+

10、b+ b2 2 = a = a2 2 + 2ab+ b + 2ab+ b2 2 S S大大= S= S小小+ S+ S长长1 1+S+S长长2 2 = a = a2 2+(a+b)b+(a+b)b+ab = a = a2 2 + 2ab+ b + 2ab+ b2 212S S大大=S=S小小+2S+2S梯梯 = a= a2 2+2+2 (a+a+b)b (a+a+b)b = a = a2 2+ 2ab+ b+ 2ab+ b2 221S S大大= S= S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+S4 4 = a= a2 2+ab+ab+b+ab+ab+b2 2 = a= a2 2+2ab+b+2

11、ab+b2 224312121说说公式的特点说说公式的特点左边是两项，和的平方，右边是三项，左边是两项，和的平方，右边是三项， 平方的和，再加上积的平方的和，再加上积的2倍；倍； a加加b的和的平方等于的和的平方等于a2加加b2再加再加2个个ab；两数和的平方等于这两数的平方和，两数和的平方等于这两数的平方和， 再加上它们积的再加上它们积的2倍。倍。运用公式计算：运用公式计算： (x + 1)2 (2x +3)2 (mn + a)2 在小组内交流计算结果在小组内交流计算结果你做对了吗你做对了吗?需要帮助吗需要帮助吗?公式可以写成：公式可以写成：请你猜猜请你猜猜能验证你的猜想吗？能验证你的猜想吗

12、？我猜：我猜：(ab)2 = a2b2 我猜：我猜：(ab)2 = a22abb2 我猜：我猜：(ab)2 = a22ab+b2 我来告诉你：我来告诉你：(ab)2 =(ab) (ab) = a2abab+ b2 = a22ab+ b2我会用图形验证，你会吗？我会用图形验证，你会吗？我还会用折纸的办法来说明呢！我还会用折纸的办法来说明呢！(我对了！我对了！)你能运用公式你能运用公式 计算计算(a b)2=? 两数和两数和(或差或差)的完全平方公式的完全平方公式： 和平方、差平方等于首平方、尾平方，和平方、差平方等于首平方、尾平方， 首尾乘积的首尾乘积的2倍在中央倍在中央。 (ab)2=a+（b

13、)2 = a2 + 2a(-b)+(- b)2 = a22ab+ b2 ( 首首尾尾)2 = 首首2 2首尾首尾 +尾尾2都有都有a2 + b2，只是，只是2ab符号不同，和符号不同，和(差差)平方取正平方取正(负负)； (a+b)2=(ab)2 +4ab、 (ab)2=(ab)2 4ab 口决：口决：区别区别联系联系 例例1：计算：计算 (2x +3y)2 ( 3x2y)2 (2t+1)2 (2t1)2( + )2=( )2+2 +( )2 =4x2+12xy+9y2学生做出了如下多种解法：学生做出了如下多种解法：( -2t1)2=( -2t)+(-1)2 =( -2t)2+2( -2t)(

14、-1)+(-1)2=4t2+4t+1( -2t1)2=( -2t)(+1)2=( -2t)22( -2t)1+12 =4t2+4t+1( -2t1)2=- (2t + 1)2 = (2t+1)2 =(2t)2+22t1+12=4t2+4t+1(a+b)2 = a2 +2 a b +b22x 3y2x2x 3y3y环节五、变式训练环节五、变式训练 体验特征体验特征例例2、明辨是非，知错能改。、明辨是非，知错能改。(a + 1)2 = a2 + 1 （ ） (a1)2 = a2 1 （ ） (a + 2)2 = a2 + 2a +4 （ ） (2a1)2 =2a22a + 1 （ ） (a2)2

15、= a24a 4 （ ） (a2b)2 = a22ab +2b2 （ ） 畅谈解题心得畅谈解题心得：要认准要认准a、b； 注意乘积时添括号注意乘积时添括号(2b)2； 小心别漏了小心别漏了2ab项；项；别忘了中间项乘别忘了中间项乘2； 要先确定是要先确定是和和平方还是平方还是差差平方；平方；结果有三项，别犯结果有三项，别犯(a+b)2a2 + b2 ，(ab)2a2b2错误错误课堂练习课堂练习: 计算计算:a2+1+2aa2+12aa2+22a+4(2a)222a+1a24a+4a222ab+(2b)22y)2x21(1)2x)51xy(2(2) 22n1)(n(3) 畅谈本节课你学到哪些知识

16、和方法？畅谈本节课你学到哪些知识和方法？ 评价你自己的学习表现有哪些长处和不足？评价你自己的学习表现有哪些长处和不足？在小组活动中，你的同伴谁最优秀，他有在小组活动中，你的同伴谁最优秀，他有 哪些优点值得你学习？并填写成长记录卡。哪些优点值得你学习？并填写成长记录卡。作业作业 A、必做作业：课本、必做作业：课本P43习题中习题中“知识技能知识技能”1、2；B、选做作业：课本、选做作业：课本P43习题中习题中“联系拓展联系拓展”1、2；C、提高作业：思考、提高作业：思考(a+b)3=？(a+b)4 =？D、阅读作业：课本、阅读作业：课本P41读一读读一读“杨辉三角杨辉三角”。让让“的人在数学上得

17、到不同的发展的人在数学上得到不同的发展”. 符合评价方式采用定性和定量相结合的原则符合评价方式采用定性和定量相结合的原则猜想：猜想：(a + b)2 a2 + b2 ?猜想：猜想：(a b)2 a2b2 ?(a + b)2 = a2 +2ab + b2(ab)2 = a22ab + b2验证方法验证方法：例例1：例例2：作业：作业：两数和两数和(或差或差)的完全平方公式的完全平方公式 让反思贯穿于数学学习的始终，是本节课的特让反思贯穿于数学学习的始终，是本节课的特色。色。一开始通过学生对错误的类比猜想的式子进行一开始通过学生对错误的类比猜想的式子进行反思、验证，明确了问题，激发了探究热情；在找

18、反思、验证，明确了问题，激发了探究热情；在找到结论后，又通过对结论的反思，初步感受到将结到结论后，又通过对结论的反思，初步感受到将结论固化为公式的合理性；在运用公式解题时，又及论固化为公式的合理性；在运用公式解题时，又及时反思其特点和运用方法，概括为口诀；最后又让时反思其特点和运用方法，概括为口诀；最后又让学生在找错误中反思其错误原因，畅谈解题心得。学生在找错误中反思其错误原因，畅谈解题心得。整个学习从反思中开始，在反思中结束。整个学习从反思中开始，在反思中结束。 通过本节课的教学实践，我再次体会到：通过本节课的教学实践，我再次体会到：教师是教师是用教材教，而不是教教材，要注重挖掘教材中知识与

19、用教材教，而不是教教材，要注重挖掘教材中知识与能力的生长点和切入点。能力的生长点和切入点。本节课教学中我没有将重点本节课教学中我没有将重点放在公式的大量练习上，而是更多地放在公式的大量练习上，而是更多地关注关注公式的发现公式的发现和探索过程，让学生充分经历了知识形成过程，和探索过程，让学生充分经历了知识形成过程，转变转变了学生的学习方式，了学生的学习方式，培养培养了学生的学习能力，这正是了学生的学习能力，这正是新课程标准提倡的教学方法。新课程标准提倡的教学方法。本节课以本节课以提高学生的学习能力和数学素养提高学生的学习能力和数学素养为指导思为指导思想，以想，以学生积极参与数学活动学生积极参与数

20、学活动为目标，以为目标，以公式探索公式探索为为载体，以载体，以猜想、验证与反思猜想、验证与反思为主线，让学生在轻松愉为主线，让学生在轻松愉悦的气氛中获取知识、掌握方法！整个教学既突出了悦的气氛中获取知识、掌握方法！整个教学既突出了学生的主体学生的主体地位，又发挥了地位，又发挥了教师的指导教师的指导作用。作用。两个班完成调查作业情况对比表人数全对错了符号或中间项 (ab)2=a2b2能写出公式推导过程 我班62人48人12人2人54人对比班58人21人21人16人25人班级人数类型 调调 查查 作作 业业 老师发现同学们在学完老师发现同学们在学完整式乘法整式乘法这一章的各种这一章的各种公式后，在作业中总是出现各种各样的错误，不知是不公式后，在作业中总是出现各种各样的错误，不知是不是我们在公