矩与协方差矩阵

1、,mina be).()1(2YDxy )(200XbaYE (); 0,1o XYYX不相关不相关; 0),Cov(,2o YXYX不相关不相关).()()(,3oYEXEXYEYX 不相关不相关2() =E YabX均方误差：第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第第4节节 矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵一、协方差矩阵的定义一、协方差矩阵的定义二、二、n维正态变量的概率密度维正态变量的概率密度三、总体矩三、总体矩四、四、n维正态变量的性质维正态变量的性质一、协方差矩阵的定义一、协方差矩阵的定义中心矩中心矩的二阶混合的二阶混合维随机变量维随机变量设设),(21nXXXn, 2 ,

2、1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij 则称矩阵则称矩阵 nnnnnncccccccccC212222111211.协方差矩阵协方差矩阵维随机变量的维随机变量的为为 nC对称对称.),(21为例为例以二维随机变量以二维随机变量XX.)()(2)()1(21exp121),(2222221221121211222121 xxxxxxf由于由于引入矩阵引入矩阵,21 xxX.21 12(,)XX的协方差矩阵11122122ccCcc二、二、n维正态变量的概率密度维正态变量的概率密度,22212121 212121221det1CC.)1(12121212

3、222221 )()(1XCXT.)()(2)(1122222212211212112 xxxx 2211212121222211),(det1xxxxC由于由于的概率密度可写成的概率密度可写成于是于是),(21XX.)()(21exp)(det)2(1 ),(1212221 XCXCxxfT.)()(2)()1(21exp121),(2222221221121211222121 xxxxxxf推广：推广：示为示为的概率密度可表的概率密度可表维随机变量维随机变量),(21nXXXn,)()()(2121 nnXEXEXE.212222111211 nnnnnncccccccccC,),(21T

4、nxxxX 其中其中),(21nxxxf.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn“总体总体” X 一般地一般地, 我们所研究的总体我们所研究的总体, 即研究对象的某项数即研究对象的某项数量指标量指标 X , 其取值在客观上有一定的分布其取值在客观上有一定的分布, 称为称为总体的总体的分布分布. 以后不区分总体与相应的随机变量，统称为以后不区分总体与相应的随机变量，统称为总体总体X。., 2 , 1),(,阶矩阶矩阶原点矩阶原点矩kkXkXEYXk简称简称的的称它为称它为存在存在若若是随机变量是随机变量和和设设 ., 3 , 2,)(阶中心矩阶中心矩kXkXEXEk的的称它为

5、称它为存在存在若若 ., 2 , 1,),(阶混合矩阶混合矩lkYXlkYXElk 的的和和称它为称它为存在存在若若., 2 , 1, ,)()( 阶混合中心矩阶混合中心矩lkYXlkYEYXEXElk 的的和和称它为称它为存在存在若若三、矩三、矩（总体矩总体矩）的定义的定义,4.在实际应用中 高于阶的矩很少使用.)(3机变量的分布是否有偏机变量的分布是否有偏主要用来衡量随主要用来衡量随三阶中心矩三阶中心矩XEXE . )( 4近近的的陡陡峭峭程程度度如如何何机机变变量量的的分分布布在在均均值值附附主主要要用用来来衡衡量量随随四四阶阶中中心心矩矩XEXE “样本样本” X1 ,X2, , Xn

6、（带目的）加工为统计量（带目的）加工为统计量:g(X1 ,X2, , Xn)样本均值样本均值 niiXnX11反映了总体均值反映了总体均值 E(X)的信息的信息“样本矩样本矩” P136,11 nikikXnA反映了总体反映了总体K阶矩阶矩E(Xk)的信息的信息, 2 , 1 k,)(11 nikikXXnB反映反映总体总体K阶阶中心矩中心矩的信息的信息, 3 , 2 k)(11122 niiXnXn反映了总体方差反映了总体方差的信息的信息 niiXXnS122)(11 niiXXnS1211 niiXnXn12211;11 niixnx;, 2 , 1 ,11 kxnanikik., 3 ,

7、 2 ,)(11 kxxnbnikik niixxns122)(11;11122 niixnxn niixxns12)(11; )(11122 niixnxn12, , , , (),nXXXiid XE X设且111nPPkkXn1则： X=，即A辛钦大数定理辛钦大数定理:四、四、 n维正态变量的性质维正态变量的性质(P51,73,77,78,112,138)例例1),9 , 2(),4 , 1 (,) 1 (NYNXYX独立，设的分布；求：YX 2解：解：的分布；求：YX 202)2() 1 (EYEXYXE259444)2(DYDXYXD)25, 0(2NYX 则：13 32214254

8、-25 ),(224)2()2(XYDYDXYXCOVDYDXYXD)13, 0(2NYX 则：)5 . 0 ; 9 , 4 ; 2 , 1 (),()2(NYX解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求其它其它函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,79 例例2yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)(

9、2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因为因为,78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 YD故故xyxyxxyXYEdd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 ),( 的协方差矩阵为的协方差矩阵为于是于是YX.147461471147149023 的相关系数的相关系数与与YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 作业：作业： P116 26(2)，28,32,33， 36三、小结 2.正态变量是最重要的随机变量正态变量是最重要的随机变量