安徽师范大学20062007学年第1学期近世代数考试答案

1、安徽师范大学2006-2007学年第学期数学与应用数学专业近世代数期末考试答案(A)(时间120分钟)答案及评分细则得分评卷人复核人填空题(每空2分，共20分).题号一四总分得分题答要不1 .设有集合A,B,|A|=3,|B|=2,则可以定义8个从A到B的映身寸,其中有6个是满射,0个是单射.2 .设群G的阶是pm,其中p是素数，m是正整数，则G的真子群的一切可能的阶是1,p,p(X)规定实数集R的元素间的关系R为:？a,bCR,aRb当且仅当ab>0,则R是R的元素间的等价关系.(X)任何集合与它的一个真子集之间皆不能有一一映射存在,.,pm-1.3 .设G=(a)是循环群，则G与模n

2、的剩余类加群同构的充要条件是?(a)=n(或|G|=n).4 .设H是群G的子群,a,bG,则Ha=Hb的充要条件是ba-1CH(或ab-1CH等)5 .一个有限非可换群至少含有6个元素.n6 .设G是阶为n的交换群e是6的m(0n)阶元，则群G/(a)的阶等千.7 .实数域R的理想有2个.错打8 .剩余类环Z6的子环S=0,2,4,则S的单位元是4.得分评卷人复核人判断题(每小题2分，共20分).(对打C,.、什M一人一4、入TL3 .()若群G的每个兀素都适合方程X2=e,则G是交换群.V、r口/L口MLr口/L4 .()设G是循环群,N是G的子群，则G/N是循环群.5 .(x)群G的阶为

3、n,d是n的一个因子，则G一定有阶为d的子群.6 .()模47的剩余类环Z47没有零因子."口人-k，、小口乙j人工r尸r7 .()设R是一个有单位元1的环，1是R的一个理想且1I,则I=R.8 .()如果环R满足左消去律，则R必定没有右零因子.9 .(X)设I和S都是环R的理想且I?S?R,如果I是R的最大理想，则S/=0.VH一日-Lt一日一10 .()若R是唯一分解环，则Rx也是唯一分解环.得分评卷人复核人计算题(每小题10分共30分).1.找出模12的剩余类加群的所有子群解.由千模12的剩余类加群Z12子群的阶为12的因数，所以1112的剩余类加群的子群的阶只可能为1,2,3

4、,4,6,12(4分)Z12的1阶子群为0;(1分)Z12的2阶子群为0,6;(1分)Z12的3阶子群为0,4,8;(1分)Z12的4阶子群为0,3,6,9;(1分)Z12的6阶子群为0,2,4,6,8,10;(1分)Z12的2阶子群为Z12(1分)2.设f(x)=3x3+5x-4,g(x)=4x2-x+3均为Z8x中的多项式，在Z8x中计算f(x)+g(x),f(x)-g(x)与f(x)g(x)并求出它们的次数.解.f(x)+g(x)=3x3+4x2+4x-1,其次数为3;(3分)f(x)-g(x)=3x3-4x2+6x-7,其次数为3;(3分)f(x)g(x)=4x5-3x4+5x3-5x

5、2+3x-4,其次数为5(4分)3.求Zi6x中的方程x2=0的根.解.a为方程x2=0的根的充要条件是41a（5分）所以，方程x2=0的根为0,4,8,12（5分）得分评卷人复核人证明题（每小题10分共30分）.1.设a,/别是群G的3阶和5阶元，且ab=ba,证明ab的阶是15.证.设|ab|=k,由千（ab）15=a15b15=e所以k|15（3分）由a5k=a5kb5k=（ab）5k=e,得3|5k,而（3,5）=1，所以31k（4分）同理可得5|k,再由（3,5）=1得（35）|k（2分）综上所得,k=15，即ab的阶是15（1分）订线内V不要答题V内线订2.证明：有理数域Q是所有复

6、数a+bi(a,bQ)件成的域Q的唯一真子域.证.Q显然是Q的一个真子域(1分)设F是Q的任一子域，则0,1CF,千是对？p,c(/=0)Z,<p,q,pqF,即Q?F(4分)若F/=Q,则有a+biF,其中a,b(/=0)QQ,千是bi=(a+bi)-aF,i=b-1biCF,即F=Q(i)(4分)所以Q是Q(i)的惟一真子域(1分)3.设R是主理想环,a（/=0）R,证明：在R中有且仅有有限个理想包含a.证.如果a是R的单位，则对R的任一理想I,若a口I,则1=a-1aI,所以I=R,即只有R包含a,纠论成立（2分）若a（/=0）不是单位，则由主理想环是惟一分解环可知a有分解a=P1P2-pn,其中pi为素元（4分）所以,b|a?b=