电磁场与电磁波例题详解

1、第1章矢量分析例11求标量场0二(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x=1,y=0,z=1，则该点的标量场值为0000=(x+y)2-z二0。其等值面方程为：0000=(x+y)2一z=0或z=(x+y)2例12求矢量场A=axy2+ax2y+azy2的矢量线方程。xyz解：矢量线应满足的微分方程为：dx=dy=dzxy2x2yy2z从而有dx=dyxy2x2ydx=dzxy2y2z解之即得矢量方程z=cx1x2一y2=c1和c2是积分常数。30例1.3求函数申=xy2+z2-xyz在点(1,1，2)处沿方向角兀Q兀a=亍卩=亍丫I的方向导数。解：由于学I=y2

2、-yz|dxIm=(1,1,2)M=(1,1,2)QyM=(1,1,2)=2xy一xzM=(1,1,2)QzM=(1,1,2)=2z一xyM=(1,1,2)1,cosB=2cosY=1222所以=apcosa+apcosp+空cosy=1axayaz例1.4求函数p=xyz在点(5,1,2)处沿着点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向导数。解：点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向矢量为xyz1=a(9-5)+a(4-1)+a(19-2)=a4+a3+a17xyz其单位矢量1。=acosa+acosP+acosy=axyzx43,+a+a,<314y衫314z,；314ax(5,

3、1,2)=yz=2,ap(5,1,2)=xzay(5,1,2)=10,ap(5,1,2)=xyaz(5,1,2)=5(5,1,2)所求方向导数ap=竺cos竺cosB+空cosY=Vp.几=a1'maxayaz123/314例1.5已知p=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在点(0,0,0)和点(1,1,1)处的梯度。解：由于Vp=a(2x+y+3)+a(4y+x一2)+a(6z一6)xyz所以Vp=a3一a一2一a6,Vp=a6+a3(0,0,0)xyz(1,1,1)xy例1.6运用散度定理计算下列积分：I=Jaxz2+a(x2y一z3)+a(2xy+y2z)-dSSx

4、yz沁z=0和z=聖所围成的半球区域的外表面。解：设：A=axz2+a(x2y-z3)+a(2xy+y2z)xyz则由散度定理JvAdT=JA-dSTs可得I=JA-dS=fv-AdTJ(z2+x2+y2)dTJr2dTsTTT=J2J2Jar4sinOdrdOd弔000=J2KdJ2sin9d0Jar4dr0002=兀a55(1)例1.7试求VA和VxA:A=axy2z3+ax3z+ax2y2xyz(2)(3)A(r,v,z)=ar2cosv+ar2sinvrzsin0+a1sin0+acos00rA(r,0,v)=arr解：(1)v-A=dAx+dAdxdydA+r=y2z3+VxA=dx

5、dydzAxaaadxdydzxy2z3x3zx2y2(2)=a(2x2y-x3)+a(3xy2z2一2xy2)+a(3x2z-2xyz3)xyz1dA(rA)+rrv-A=1rdrdA1ddzrd(r3cosv)+0+(r2sinv)=3rcosvdrdzaraaaraa1dvd=1ddvgrdvdzrdrdvdzrrAvAzr2cosv0r2sinvVxA=1a(r2cosv-0)+ra(0-2rsinv)+a(0+r2sinv)rrvz=arcosv-a2rsinv+arsinvrvz1Q(3)VA=(r2A)+r2Qrr=(r3sin0、+r2Qrrsin0Q02=3sin0+cos0

6、r21咯(sin0rsin0Q01Q(1.0、(sm20、+r1QA+rsin0如1(丄cos0、rsin0。申r2a*raQ0rsin0aQ申1aQraQ0rsin0aQ申QrQ申r2sin0QrQ申ArrA0rsin0Arsin0sin0isin0cos0rVxA=丄r2sin0=1a(icos20-0)+ra(0+-sin20)+rsin0a(0-rcos0、r2sin0rr02r2申-cos20-1-=a+acos0-acos0rr3sin00r3申例1.8在球坐标中，已知e=仝竺0，其中p、&为常数，试求此标量场的负4K8r2e00梯度构成的矢量场，即E=-vq。解：.在球坐

7、标戏中，v©=a独+a1牛+a1碇rQr0rQ0申rsin0Q申Q川cos0、-1Qdcos0、-(e、-a(一、-arQr4k8r20rQ04k8r200_pcos01p(-sin0、=-ae(-2)ae0r4k8r30r4k8r200-pcos0-psin0=ae+aer2k8r304k8r300E=V©=1Qrsin0Q申pcos0(e、4k8r20=e(a2cos0+asin0、4k8r3r00例1.9在由r=5，z=0和z=4围成的圆柱形区域上，对矢量A=ar2+a2z验rz证高斯散度定理。解:因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算JvAdx和JA-

8、dS，得到二者结果相同的结论。s在柱坐标系下，有-1d1QABA1ddV-A二(rA)+申+二(r3)+0+(2r)二3r+2rBrrrBqBzrBrBz在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域内取一个小体积兀di，可知di=rdrdqdz，其中0<r<5、0<q<2兀、0<z<4，故Jv-Adi=J5J2J4(3r+2)rdrdqdz=J5(3r+2)rdrJ2ndqJ4dz=150x2兀x4=1200兀i000000而r=5，z=0和z=4围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱上表面S(面兀矢量dS=ardrdq，0<r<5、0&l

9、t;q<2k、z=4)、圆柱下表11z面S(面兀矢量dS=-ardrdq，0<r<5、0<q<2k、z=0)和圆柱侧表面22zS(面兀矢量dS=ardqdz，0<q<2k、0<z<4、r=5)，故有：33rJA-dS=JA-dS+JA-dS+JA-dSSS11S22S33=J5J2k(ar2+a2z)-ardrdq+J5J2k(a00rzzz=400+J4J2k(ar2+a2z)-ardqdz|00rzrr2+a2z)-(-azrdrdq)|zz=0r=5=J5J2k8rdrdq+0+J2kJ4125dqdz0000=4x25x2k+125

10、x2kx4=1200kJv-Adi=JA-dS=1200k，即证。isJ例1.10现有三个矢量场A、B、C，分别为：A=asin0cosq+acosOcosq-asinq，rOqB=az2sinq+az2cosq+a2rzsinq，rqzC=a(3y2-2x)+ax2+a2z。xyz哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行反推。故先分别求出矢量的散度和旋度：w71a(八1a(ift%)1°AVA=(r2A)+(sin0亠)+一r2drrrsi

11、n0a060rsin0a申1a1a1a=(r2sin0cos®)+(sin0cos0cos®)+(-sin®)r2drrsin060rsin0d=011arad0VxA=一r2sin0丽ArA1r01a=1dr2sin0drsin0cos申=01d1dBVB=(rB)+丄+frdrrrd申dzrsin0ad申d申rsin0A申rad0rsin0ad申d申rcos0cos申一rsin0sin申aB=-(rz2sin申)+(z2cos申)+(2rzsin申)rdrrd申dz=2rsin申VC=d£dxdC+斗+dyaC=-2+0+2=0VxC=dxCxdyC

12、ydzCzdx3y2一2xdz2z=az(2x-6y)故B可以由一个标量函数的梯度表示,C可以由一个矢量的旋度表示。araaaraa1dd®g=1dd®grdrd申dzrdrd®dzBrrBBzz2sin®rz2cos®2rzsin®=0VxB=第2章静电场与恒定电场例2.1已知半径为a的球内、外的电场强度为下式所示，求电荷分布。匸a2/、E=aE(r>a)r0r2-_(rr3'E=aE5-3(r<a)r0(2a2a3丿解：由高斯定理的微分形式V-E=#，得电荷密度为p=E0匸+4可得:50rsin0帥用球坐标中的

13、散度公式v-A=込A2d(血)+_竺r2drrsin0-1(r2E巴)=0(r>a)V-A=Jr2dr0r2(r<a)1drr315r2E(5-3)=eE(a2-r2)、r2dr02a2a3o02a3例2.2一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是aP，求极化电荷分布。z0解:建立球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷体密度为p=-v-P=-v-aP=0pz0极化电荷面密度为p=P-n=aP-a=Pcos0psz0r0例2.3一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度。图2.1解：由

14、介质中的高斯定律可知,在r>a区域内:由本构方程D=SE+P=SSE=SE得:0r0人一1-介质内(avrvb):E=D=aS,P=D-sE=4兀Sr20S-1QrSr4兀Sr21-介质外(bvr)：E=D=aS0介质内表面束缚电荷面密度分别为:pIpsr=aS1Q=P-n=P-a=十rSr，pI4兀a2psr=bS1Qrs4Kb2r例2.4若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算球内，外的电场强度以及电场能量。解：由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。在球外(r>a)，取半径为r的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：jD

15、-dS=D-4kr2=qsr故有D=-，E=丄D=q一r4兀r2rsr4兀Sr200对球内(r<a)，也取球面作为高斯面，同样利用高斯定理计算:4q兀r3-34k兀a33故有D=-r4兀a3rq1f1电场能量W=JsE2dT=se2v02f14兀r2dr+J“4兀r2drar43q220兀Sa0例2.5计算图2.2所示深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。已知土壤的电导率为b。图2.2解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为C=4兀as所以导体球的接地电导为G=4励所以导体球的接地电阻为R=丄=G4兀ab例2.

16、6半径分别为a,b(a>b)，球心距为c(c<a-b)的两球面之间有密度为p的均匀体电荷分布，如图2.3所示，求半径为b的球面内任一点的电场强度。图2.3解：为了使用高斯定理，在半径为b的空腔内分别加上密度为+p和-p的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。正电荷在空腔内产生的电场为Ei二3°arl'3£0负电荷在空腔内产生的电场为E2=磐a3b0r2其中单位向量ar1，ar2分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。r2"x考虑到rara=ca，最后得到空腔内的电场

17、为:1rl-2例2.7一个半径为a的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是P,求圆柱体内、外的电场强度。解:因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。在半径为r的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。计算柱内电场时，取半径为r,高度为1的圆柱面为高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有E2兀rl0rrP2&0计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r，高度为1的圆柱面为高斯面。对此柱面使用高斯定理，有LD-dS=£E2兀rl二q,q=pa21,E0rrspa22r£0例2.8一个半径为a的均匀带电圆盘，电荷面密度是P，如图2.4所示。求轴s0图2.4解：由电荷

18、的电荷强度计算公式E(r)=1JPs(r)(-')dS4兀s|r-r|3及其电荷的对称关系，可知电场仅有z的分量。代入场点源点r=zaxr'二ar'cos申+ar'sin申dS=r'dr'd申电场的z向分量为E=竺2W也上i-zz4ks0(z2+r'2)3/22sJ(a2+z2)1/2I0000上述结果适用于场点位于z>0时。但场点位于z<0时，电场的z向量为(a2+z2)1/2aa例2.9已知半径为a的球内,外电场分布为E0E=<E0求电荷密度。解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式:用球坐标中的散度

19、公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出r<a时:1a)3Ep-sr2Eo-0r2arrar>a时:p-s1aQe)-00r2arr例2.10电荷分布如图2.5所示。试证明，在r»l处的电场为E=旦二r2兀sr40证明：用点电荷电场强度的公式及叠加原理，有E二q-如+q4兀£(r+1)2r2(r一l)20当r>>l时,1(r+l)2r2(1+L)2r1_11(r-l)2r2(1-L)2r3ql2将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量，得出Er图2.52兀£r40例2.11真空中有两个点电荷，一个电荷-q位于原点，另一个电荷q/2位于(

20、a,0,0)处，求电位为零的等位面方程。解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为一q+24兀£r4兀£r001其中1r=(x2+y2+z2)2，等位面方程简化为1r二(x一a)2+y2+z2212r1二r4（x一a）2+y2+z2=x2+y2+z2此方程可以改写为（2a丫<了丿这是球心在（丁,0,0）,半径为丁的球面。例2.12如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L,半径为a,且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。图2.6解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，P=p0ax如图示,由于均匀极化,束缚体电荷为P

21、=V-P=0°在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向n=ar，极化强度在z方向，故P=P-a=0r在顶面，外法向为n=a,故Xsp=P-a=Pox0在底面，外法向为n=-a，故Xsp=p（一a丿=例2.13假设xvO的区域为空气,x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为3s,0如果空气中的电场强度E=a+4a+5a（V/m）,求电介质中的电场强度爲。1xyz2解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量E1t=4a+5a，可以得出介质中电场强度的切向分量E2t=4a+5a；对于法向分1tyx2ty

22、x量，用D1n二D2n，即s0E1x=sE2x，并注意E1x=3,3s0，得出E2x二1。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为E=a+4a+5a（V/m）2xyz例2.14一个半径为a的导体球面套一层厚度为b-a的电解质，电解质的介电常数为£，假设导体球带电q，求任意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由ID-dS=4兀r2D=q得出D=-rr4nr2s电场为电位为E=r4nsr2q在介质中（a<r<b）；E=q在空气中（r>b）。r4ns0r2申=卜Edr=卜纟dr+

23、Jb纟dr=纟+旦（丄-丄）（avrvb）rb4ns0r2r4nsr24ns0b4nsrb申Edr=卜纟dr=J（r>b）rr4ns0r24ns0r例2.15真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且d>>a，试计算两个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得11p=p=，p=p=12224nsa12214nsd00让第一个导体带电q,第二个导体带电-q，则qqqq甲二pq-pq二-，甲二pq-pq二-iii124K8a4k8d22i224k8d4k8a0000由c二纟二UQ甲12化简得C=汇理d-

24、a例2.16球形电容器内，外极板的半径分别为a,b，其间媒质的电导率为b，当外加电压为U时，计算功率损耗并求电阻。0解：设内,外极板之间的总电流为I，由对称性，可以得到极板间的电流密0度为J=a2兀rrE=1a4兀br2r从而单位体积内功率损耗为总功率耗损为U2由P=0，得U=JaEdr0b4兀bUE'bU0()r2ababJabdr4兀bU2e-11abR=4兀b例2.17一个半径为a的导体球作为作为电极深埋地下，土壤的电导率为b。略去地面的影响，求电极的接地电阻。解：当不考虑地面影响时，这个问题就相当于计算位于无限大均匀点媒质中的导体球的恒定电流问题。设导体球的电流为I，则任意点的

25、电流密度为-I-Ij=a，e=a4兀r2r4兀br2r导体球面的电位为（去无穷远处为电位零点）U=J8dr=a4兀b24兀ba接地电阻为R=例2.18如图2.7所示，平板电容器间由两种媒质完全填充，厚度分别为d和d，12介电常数分别为£和£，电导率分别为b和b，当外加电压U时，求分界面12120上的自由电荷面密度。解：设电容器极板之间的电流密度为J,则J=bE=b11E22J芦JE-,E:1b2b12于是JdJdU1+20bb12即1+2bb12分界面上的自由面电荷密度为(££)(££)p=DD=£E£E=2-J=

26、2s2n1n2211GGG,J21丿J21丿U0dd1+2GG12例2.19在电场强度E=ay+ax的电场中把带电量为-2q(C)的点电荷从点xy(2,1,-1)移到点(8,2,-1)，试计算电场沿下列路径移动电荷所做的功。沿曲线x=2y2；(2)沿连接该两点的直线。解：本题要求电场力移动电荷所做的功，最直接的办法就是根据功=作用力X作用距离，由给出的电场强度确定电荷所受电场力，再在对应的移动路径C上进行线积分，即W=JF-d=J-2qE-dl。但注意到题目给出的场强为静电场CC的电场强度，则可根据静电场为保守场，由静电力所做的功与电荷移动路径无关，至于电荷运动起止点的电位差有关这一特点进行计

27、算。方法一：VxE=0，此电场为静电场，电场力所做的功与电荷移动路径无关。由E=-Vp=ay+ax可得，电位申(x,y,z)=-xy+C，其中C为常数。xy点(2,1,-1)到点(8,2,-1)之间的电位差U=申(2,1,-1)-申(8,2,-1)=14故无论是沿曲线x=2y2还是沿连接该两点的直线，电场力移动电荷-2q(C)所做的功W=-2qU=-28q(J)。方法二：电场力F=-2qE=a(-2qy)+a(-2qx)，xy点(2,1,-1)移到点(8,2,-1)变化的只是x和y,故有dl=adx+ady,F-dl=-2qydx一2qxdyxy(1)曲线C：x=2y2有dx=4ydy:.W=

28、JF-dl=f2(-2qy-4ydy一2qdy-2y2)=J2-12qy2dy=-28q(J)C11(2)曲线C：=，即x=6y一4，有dx=6dyx一26:.W=JF-dl=J2-2qy-6dy一2qdy-(6y一4)=J2(-24qy+8q)dy=-28q(J)C11例2.20球形电容器内外导体球半径分别为a和b,如果保持内外导体间电位差U不变，试证明当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小，并求此最小电场强度。解：要求得内导体球表面的最小电场强度,需先求出空间各点电场强度的分布,再根据高等数学中函数最小值出现在函数一阶导数零点的知识,求出内导体球表面的电场强度最小值,

29、并得到此时内外导体球半径之间的关系。由于内外导体球间存在电位差,故内导体球表面存在电荷,可设在内导体球面上均匀分布有总量为Q的电荷,因此以导体球球心为坐标原点建立球坐标系,内导体球面为r=a，外导体球面为r=b。在a<r<b的区间包围原点做一个半径为r的闭合球面S,由于电荷和电场的分布满足球对称,在S上应用高斯定理,有=JKJ20E-r2sin0d0dp=4兀r2E00rrQ4k8r20Q4k8r20U=JbE-dl=JbQa设外导体电位为0,则内导体电位为U,将点电荷从内导体表面搬到外导体上所需要的电场力所做功为：bdr=2(丄-丄)=2口a4k8r24k8ab4k8ab000故

30、可反解出Q=呱竺U,b一a匸_abU/八E=a(a<r<b)rb一ar2bU在内导体球表面r=a，有E=E(a,b)rab-a2r.辽=bU(2a-b),.辽=o,即-2a=0,a=b/2时有E的最值。da(ab一a2)2dar力EdE又a>b/2时，一>0；a<b/2时，一<0；故a=b/2时E有最小值。dadar.当内外导体球半径满足关系a=b/2时，内导体球表面的电场最小。此最小值为E=a=a-minrarb例2.21电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分布为:8-8cos0,r>ar2-38r=a时，Q=一Eacos0+1oaEco

31、s0=o8+28o8+28o00Ercos0=Q=Ercos0,28+28o0验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度解:题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向a，切向则为a°和a方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面r0Q入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面r=a上E=E；也可以直接根据电位的边界条件，在r=a的分界面上，得到Q=Q的1t2t12结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据p=P-n来计算。ps1)验证边界条件:方法一:直接利用电位的边界条件，有:.Q=Q，边界条件成立。12方法二:.E=Vq.E=-V

32、Q11-n8-8=a(Ecos0+ro2cos0-*8-84a3E)+a(-Esin0+8+28or30004a3E8+28or3oSin0),r>aE=-Vq=o(aEcos0-aEsin0),r<a22£+2&r0000分界面r=a上，n=arE=a(-Esin0+1t00£+2£0Esin0)=-3£0a00£+2eo0Esin0=E2t.E=E，1t2t2)计算球表面的束缚电荷密度：边界条件成立。由上面可得E=a(Ecos0+£-£oa3E2c°s01r0£+2£0r

33、30)+%(-Esin0+£-£4a3E£+2£0魁),r>ar3E=o(aEcos02£+2£r0o-aEsin0),0or<a/D=£E+P=£Eo.P=(£-£)E0P=(££)E=(££)a(1+1o1o£-£or£+2£0込)Ecos0+r30-£-£a(1+o0£+2£r3oa')Esin0,r>a01233r<aP=(£-

34、£)E=0,2002例2.22有一半径为a,带电荷量为q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为£和£，分界面可视为无限大的平面，求：12(1) 球的电容量；(2)储存的总静电能。解:此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由C=Q求出，其中Q为导体球所带电荷量，即q；为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。图2.8由图2.8所示，以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系，电荷和电场分布具有球对称特性。在r&g

35、t;a处做同心的高斯闭合球面，有r21：D-dS=D-2兀r2+D-2兀r2=qSr11r在e和e的介质分界面上，有E=E，21t2t故有D=eE=eE，D=eE2r22r1r11r1r=eE2r.Dr1r2-2兀r2+D-2兀r2=(eE1.E=r2兀(e+e)r212(1)=1+8Ea-dr=1+8qdr2兀(e+e)r22ra=2na(sq22兀(e+e)r121+e2)+8a2兀a(e+e)12(2)W=1qO=e24a(e+e)12注：也可计算为：W=1A2dTet2=l+j/212K1eE2r2sin9drd0d+1+8卜12KeE2r2sinOdrdOda0021a冗/2022=

36、q24兀a(e+e)第4章恒定磁场例4.1半径为a、高为L的磁化介质柱，如图4.1所示，磁化强度为M(M为常00矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流J和磁化面电流J。mms图4.1解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=aM，磁化电流为z0J=vxM=vx(ma)=om0z在界面z=0上，n=-a，J=Mxn=Max(-a)=ozmS0zz在界面z=L上，n=a，J=Mxn=Maxa=0zmS0zz在界面r=a上，n=a，J=Mxn=Maxa=marmS0zr0申例4.2内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流

37、I，求柱内、外的磁感应强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为0,r<aJ=<a,a<r<bz兀(b2-a2)0,r>b由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当r<a时，磁场为0。当a<r<b时，选取安培回路为半径等于r且与)IC2a2)b2a2)导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为pIC2一a2由j，B-dl=2兀rB=pI'，得B=亠c申0申2兀rvb2a2当rvb时，回路内包围的总电流为I,于是B=邛。e2兀r例4.3半径为a的长圆柱面上有密度为J的面电流，电流方向分别为沿圆周方s0

38、向和沿轴线方向，分别求两种情况下柱内、外的B。解：(1)当面电流沿圆周方向时，由问题的对称性可以知道，磁感应强度仅仅是半径r的函数，而且只有轴向方向的分量，即B=aB(r)zz由于电流仅仅分布在圆柱面上，所以在柱内或柱外VxB=0。将B二aB(r)代入VxB=a竺二0，即磁场是与r无关的常量。zz申de在离面无穷远处的观察点，由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流元之和，所以磁场为零。由于B与r无关，所以，在柱外的任一点处，磁场恒为0。为了计算柱内的磁场，选取安培回路为图4.2所示的矩形回路。图4.2=hpJ因而柱内任0s0点处，B=apJz0s0(2) 当面电流沿轴线方向时候，由对

39、称性可知，空间的磁场仅仅有圆分量，且只是半径的函数。在柱内，选取安培回路为圆心在轴线并且为于圆周方向的圆。可以得出，柱内任一点的磁场为零。在柱外，选取圆形回路，FB-dl=rI,与该c0.a回路交链的电流为2zJ，FB-dl=2兀rB，所以B=a卩J。soc申申osor例4.4如图4.3所示，一对无限长平行导线，相距2a，线上载有大小相等，方向相反的电流I，求磁矢位A，并求B。解：将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加。对单个导线，先计算有限长度产生的磁矢位。设导线的长度为1，导线1的磁矢位为(场点选在xoy平面)=a打inl2+(l2)2z2兀+r2i21ri卩I(ldzoJ

40、2-.4兀(r2+z2)2i卩ILlLn2兀r1同理，导线2产生的磁矢位为卩ILliLn2兀r246由两个导线产生的磁矢位为a=a(a+a)=az12zrl)In二-Inr1卩ILoinrz4兀i(x+a)2+y2(x-a)2+y2相应的磁场为b=vxA=a竺-a竺xdyydx-卩I二aax2兀x-aGyya卩I(x+a)2+y2(x-a)2+y2y2兀G+aT2+y2Kx-aT2+y2图4.3例4.5已知内，外半径分别为a,b的无限长铁质圆柱壳（磁道率为卩）沿轴向有恒定的传导电流I,求磁感应强度和磁化电流。解：考虑到问题的对称性，用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度当r<a时，B

41、=0当a<r<b时,B=当r>b时，B=上乂a2兀r申当a<r<b时，M=（卩-1）H=（卩-1）丄b=-1）#：72）、arr卩r2兀r（b2a2）91=azrqCm）.=adrz（卩1）Ir兀（b2a2）当r>b时，J=0m在r=a处，磁化强度M=0，所以J=Mxn=Mx（a）=0mSr在r=b处，磁化强度M=a，所以2兀b0J=Mxn=Mxa=mSr（卩-i）i-ra2兀bz例4.6已知在半径为a的无限长圆柱导体内有恒定电流I沿轴方向。设导体的磁导率为卩，其外充满磁导率为卩的均匀磁介质，求导体内外的磁场强度、磁感12应强度、磁化电流分布。解：考虑到问题

42、的对称性，在导体内外分别选取与导体圆柱同轴的圆环作为安培回路，并注意电流在导体内是均匀分布的。可以求出磁场强度如下一Irr<a时，H=a-92兀a2r>a时，磁感应强度如下：r>a时，为了计算磁化电流，要求磁化强度：,-_pIrr<a日寸，M=a（耳1）-9p2兀a20卅nI（11）p兀a20pI-M=aG-21)，J=VxM=09p2兀rm0在r=a的界面上计算磁化面电流时，可以理解为在两个磁介质之间有一个r>a时，很薄的真空层。这样，其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和，即J=Mxn+Mxnms1122这里的n和n分别是从磁介质到真空中的单位法向。12如

43、果设从介质1到介质2的单位法向是n，贝惰J=MxnMxn1ms代入界面两侧的磁化强度，并注意n=a，得J=a（生1）mszp01）=ap2na0卅p、Ipp2兀a00例4.7空气绝缘的同轴线，内导体的半径为a,外导体的半径为b,通过的电流为I。设外导体壳的厚度很薄，因而其储蓄的能量可以忽略不计。计算同轴线单位长度的储能，并有此求单位长度的自感。解：设内导体的电流均匀分布，用安培环路定律可求出磁场。r<a时,a<r<b时,单位长度的磁场能量为W=Jam0H22兀rdr+1 Ll12卩H22兀rdr=e2 e16兀lI2beIn4兀a故得单位长度的自感为L=生+比Inb，其中的第

44、一项是内导体的内自感。8兀2兀a例4.8一个长直导线和一个圆环(半径为a)在同一平面内，圆心与导线的距离是d，证明它们之间互感为M=l(dd2a2)。0证明：设直导线位于z轴上，由其产生的磁场B二11二即一2兀x2兀(d+rcos0)其中各量的含义如图4.4所示。磁通量为=JBds=JaJ2兀erdrdOee2兀(d+rcos0)上式先对0积分，并用公式d0d+acos0lIJaeerdrd2一r2所以互感为M=l(dpd2a2)e图4.4例4.9一根通有电流I的长直导线埋在不导电的均匀磁性介质中。(1) 求出H,B,M及磁化电流分布；(2) 若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在z

45、<0的半无穷空间中充满导磁率为卩的均匀介质，在z>0的半无穷空间为真空，求出H，B，M及磁化电流分布；(3) 若将导线埋在介质分界面间，电流I沿z方向流动，在x<0的半无穷空间中充满导磁率为卩的均匀介质，在X>0的半无穷空间为真空，求出H，B，M及磁化电流分布。解：由安培环路定律，以导线为中心做闭合积分曲线，有:JH-dl=H-2兀r=Ic申h=，即h=a-申2兀r申2兀r故:b=yH=a巴，M二B-H=(上一1)H二a(卩厂1，J二M=0。92兀rpp92兀rm00(2)如图4.5(a)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C，由安培环路定律有：JH-dl=H-2兀r=Ic

46、9H=，即H申2兀r=a，则有:®2兀rBh(pi)H(p1)1pp申2兀r00J=Mxn=Mxa=arzms(P1)Ir2兀rz>0：B2=ph=a，m=0，j=0，j=0。0申2兀r2mms如图4.5(b)所示，以导线为中心做闭合积分曲线C,由安培环路定律有:!Hdl=H兀r+H兀r=IC1®2®对于分界面，x=0处气为法向，根据边界条件B1n=B2n有B=B=B，即:1(p2®Hl(pBH=72®p0代入安培环路定律，I，解得B呻I0卩+卩兀r0B-pI=a0，p®p+p兀r0寿ppI1)H=a亠_1®p+p兀r

47、0J=Mxn=Mxa=o.ms图4.5(b)B-H=o,p02J=0，m20:5图4.5(a).z0J=0。ms例4.10半径为a的无限长直圆柱形导线沿轴向通过电流I。如图4.6所示，取图中a=2兀处为参考点，用拉普拉斯方程求导线外部的标量磁位。图4.6解：对磁标位来讲，它是和磁力线垂直的，而通电长直导线的磁力线是以电流为圆心的同心圆，因此磁标位就应该是r方向的射线，所以申应该与r和zm无关，拉普拉斯方程应该是：1阿-0mUr2如2解出来甲二內+Dm代入已知条件a=2兀为参考点，有甲二2兀C+Dm再以导线为轴心在导线外做一个近似闭合的回路l，起点A和终点B在申=2兀的两侧，由于H=-V申，比照

48、静电场中电场强度和电位之间的关系,m有甲一甲=J“H-dl=I，申=0,mAmBAmA这样始终有两个未知量不能确定。甲=2兀C+D，则2兀C+D=ImB于是又考虑申=2兀和申=0是同一点,那么参考点也可以看作是申=2兀，代入甲=Cq+D中，申=2兀时甲=D=0，mm故甲=C®，这就只有一个未知量了。m再做参考积分回路，则甲-甲=02兀C=JBH-dl=ImAmBA解得C=-，故申=C=-申2兀m2兀例4.11一横截面为正方形的环形铁心上开有一空气隙，长度6二1mm，铁心内半径a二8cm，横截面边长b二2cm，相对磁导率卩=500。铁心上均有紧密绕有r线圈1000匝，如图4.6所示。忽

49、略气隙附近的漏磁通，求此线圈的自感。图4.665解：由于卩>>匕，忽略气隙附近的漏磁通，根据磁通连续性方程，可视将磁感应线只在磁环内流动，且垂直磁环截面，磁感应线穿过空气隙时仍均匀分布在截面上。设磁环上磁感应强度为气，磁场强度为H卩；气隙中磁感应强度为B，磁场强度为H°，由安培环路定律有:Bi（pbH-dl=H-（2兀r6）+H6=NI，c艸04对于空气与铁心的分界面，a为法向，其中r=a+=9cm2根据边界条件B二B，有1n2nBB=B=B，可得H=4，H=42申4U4U°4U0BB故有一-（2兀r6）+4§=NI，解得BoNI2兀r66+一NI通过铁心截面的磁通里=JB-dS=B-S=2兀r66S+-uu0线圈的自感L代入数据5=10-3m,L_Nb2I2兀r-55+-0b_0.02m,r_0.09mp_500卩。,N_1000，得Nb2_沁200卩_0.251(mH)I2兀r-550+0第5章时变电磁场例5.1证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。解：将J=aE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有v-qE)+空=(v-E)+空=0由于：V-D=p,V-(&E)=p,eV-E=p所以：孚+f-P=0，P"例5.2设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，zvO侧为理想导体，分界面处的磁场强度为H(x,