概率论与数理统计前三章

1、概率论与数理统计知识点第一章随机事件及其糠率1. 1随机事件1.2概率1. 3条件概率与全概公式1.4事件的独立性与伯努利概型第二章随机变量及其分布2.1随机变量与分布函数2.2离散型随机变量及其分布2.3连续型随机变量及其分布2.4二维随机变量2.5随机变量函数的分布第三章随机变量的数字特征3.1数学期望3.2方差3.3几种常见分布的数学期望与方差3.4随机变量矩、协方差与相关系数第四章大数定律与中心极限定理4.1切比雪夫不等式4.2大数定律4.3中心极限定理第五章抽样分布5.1总体与样本5.2样本函数与样本分布函数5.3抽样分布第六章参数估计点估计6.2估计量的评价标准6.3区间估计6.4

2、正态总体均值与方差的区间估计6.5非正态总体参数的区间估计第七章假设检验7.1假设检验的基本概念7.2单个正态总体参数的假设检验7.3两个正态总体参数的假设检验7.4非正态总体参数的假设检验7.5总体分布的假设检验第八章方差分析8.1问题的提出8.2单因素试验方差分析8.3单因素方差分析举例第九章回归分析9.1问题的提出9.2 元正态线性回归9.3 元非线性回归简介9.4多元线性回归9.5多元回归应用举例16第一章随机事件及其概率知识要点及更要例题一、知识要点。 重要公式(1)A+辰Q(2)A+B=A-Ba7b=A+B(德摩根定理)(3)P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)(加法公式)

3、(4)P(A-B)=P(A)-P(AB)(减法公式)(5)P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)(乘法公式)(6) P(B)=2XoP(£：)P(B|儿)(全概率公式)由因求果(7) =(叶贝斯公式)由果索因 概率定义(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率；(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率；(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它

4、的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算；(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到0,1的映射 随机事件(1)事件的三种运算：并U(和,交C(积差；注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容X对立、相互独立。不可能事件 概率的性质(1)不可能事件的概率为零。(2) 概率具有可加性。(3)对任意事件A,有尺&)胡.尺方)。(4)若A=)B,则P(A-B)=P(A)-P(B)O(5)加法公式。®条件概率P(B|A)指的是A发生的条件下事件B发生的概率。事物

5、的独立性对于事件A、B,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立。相互独立的充要条件:P(B|A)=P(B)O二、更要例题。P283,43.停车场有10车位排成1行，现在停着7辆车。求恰有3个连接的车位空着的概率。答：设A=“恰有3个连接的车位空着”.因为这个实验样本空间共有0爲个样本点，事件A包含8个样本点，这可由车位号123,234,345，8910得到.所以P（A）="4某产品50件，其中有次品5件。现从中任取3件，求其中恰有1件次品的概率。答：这是一个古典概型问题，设A=其中恰有1件次品nCjo,tn=C5C45P(A)=-=苹=ncso99392第二章随机变及

6、其分布及第三章随机变的数字特征知识要点及重要例题一、知识要点。分布参数分布律或概率密度数学期望(E)方差(D)0-1分布/伯努利分布xB(l,p)0<p<1P(X=k)=pk(l-p)1_fc,k=0,1PP(l-P)二项分布X皿n,p)n>10<p<1P(X=fc)=cHpkqnk,k=0,1,nnPnp(l一p)泊松分布XP")A>0AkeP(X=k)=k/Zc=0,1,2,n,AA几何分布XG(p)0<p<1P(X=k)=/C1,2,yyq=i-p1p1-PP2趙几何分布MSNn<Nzfc厂n-lcP(X=k)=%,GZnM

7、NnMMNnN(1N)N-1常见的随机变量及其分布,数学期望及方差。常见的连续型随机变量及其分布,数学期望及方差。分布参数分布律或概率密度数学期望(E)方差(D)19fa<x<bp(x)=ba均勻分布/等概率分布0,其他a+ba)2a<bro.x<aX,b)xa212F(%)=<ba"a<x<bx>b指数分pM=脳一忙%>0%<011A>0F(x)=)je%,0,%>0%<0I/、1(x-n)2)小扇吩I2a2k00<x<+oo正态分布XN(u,o2)CJ>0(t-n)22a2f(x)=L

8、it,oo<x<+oo概率密度函数的性质(1)p(x)>0z-CO<%<+8(2)p(x)dx=P(-co<X<4-co)=P(/)=1(归一性)(3)对任意实数a,b(tzVb),有P(a<X<b)=F(b)-F(a)=fp(x)dx丿a(4)对任意实数尢，P(X=%)=0.(5)F(E是连续函数，且在pd)的连续点x处有F(Z)=p(x)正态分布XN(“,(t2)性质(1)PQO的图像关于x=卩对称。(2)P(%)在尢=“处达到最大，最大值为=o(3)P(x)在点一°,務e气)和点急e气)处有拐点。(4)兀离“越远,p(%)值

9、越小，当尢趋向无穷大时,卩(町趋于零，即卩(尢)以兀轴为渐近线。(5)当“固定,o愈大,贝Ijp(x)最大值愈小,即曲线越平坦；o愈小,贝iJpO)最大值愈大，即曲纟(6)当。固定而改变“时，即将pd)的图形沿尢轴平移。*PS当“=0,。=1时，称X服从标准正态分布,记作XN(0,1)1xz其分布函数为：<#>(%)=其概率密度：(p(x)=-ef-00<%<+oo；yJ2nedtz-oo<%<+ooco标准化：只要令s=口就可得：G$2eds0(s)=e(,)=f(x)=®二维随机变畳P(X,Y)=(竝)=Pij(i/J=1/2,.)为f=(X,

10、Y)的分布率或称为X和Y的联合分布率。(二维离散型)P(XK)eD=DHp(x,y)dxdyD=(兀,ya<x<b,c<y<d=(X,Y)的概率密度或称X和Y的联合概率密度。(二维连续塑)p(xdxy9a<y<pp(y)=JDy0，其他随机变的独立性X和丫相互独立的充要条件：p(Xy)=pO)p(y)如果X和丫相互独立,则cov(XK)=EX-E(X)Y一E(F)=0数学期望（E）,方差（D）协方差8相关系»P/PXY(1)数学期望:E(Y)=ZHiXiPi（离散型）（连续型）方差：D(X)=EX-E(X)F=E(X2)_(E(X)y=o(X)2.

11、(3) 协方差:cov(Xfy)=E(XY)一E(X)E(Y)（4）相关系数：P=Pxy=3(X，Y)_EX-E(X)Y-E(F)v*D(x)D(y)-v*D(X)D(y)数学期望（E）,方差（D）,协方差8*相关系数p/pw的重要性质（1）数学期望：I. E(C)=C.II. E(CX)=CE(X).IILE(X+7)=E(X)+F(H=E(器=器E(X)IV.E(XY)=E(X)E(Y)(X*相互独立)nE(H角&)=口二疋(心).方差：I. D(C)=0.II. D(X+C)=D(X).HI.D(CX)=C2D(X).IV. D(X+Y)=D(X)+D(Y)(X,Y相互独立)=&

12、gt;DQJXJ=£JD(XJ.V. D(X±y)=D(X)+D(Y)土2E(X-E(X)(Y-E(F).协方差：.cov(X,Y)=cov(Y,X).II. 若a,b为常数,则cov(aX,bY)=abcov(X,Y).III. cou(X4-X2tY)=cov(XltY)4-cov(X2,Y).(4)相关系数:l-IPxyl】II. |pxr|=1的充要条件是存在常数a工0,b,使P(Y=aX+B)=1,即Pay=1或Pxy=-1的充要条件是随机变量X与丫以概率1存在线性关系。III. 若随机变量X与丫相互独立，则X与丫不相关。(相互独立=COV(X,y)=0PPxY=

13、°=不相关)F(x)=P(X兰x)=2口"=尢k)=Y.xk<xk(8<X<+8)二、重要例题。P7Q4,6,10,11,9P952,4P704.设X泊松分布，且已知P(X=1)=P(X=2),求P(X=4).答：由题意，先求出参数入根据P(X=1)=学-=£e-P(X=2),得到入=2.因此久424P(X=4)=e-2u0.09024!4!(kx+1,0<x<2求系数斤及分0,其他，布函数F(x),并计算P15<X<2.5.答：(kx4-l)dx=kx24-x121=2k+2=1,k=-O2+-t24-117=_7%+尢

14、，o40,%<0,19-x2+x,0<x<2,41,XN2,P1.5<X<2.5=F(2.5)一F(1.5)(1.5)2+1.54所求分布函数：F(x)=0.062540设随机变量X的分布函数为：fl-(l+x)e-x,%>0F(x)=,(0,x<0试求相应的概率密度函数，并求P(X<1),P(X>2),P(1<X<2).分析：分布函数与概率密度函数有如下关系：F(x)=Ip(u)dufp(x)=Fx).丿一8答：概率密度函数pd)=严=-ex+(1+Xex=xex，心°0,%<02PX<1=F(l)=1-

15、,3PX>2=1PX<2=1-F(2)=1-1-3e"2=,e£P(1<XS2)=JpMdx=F(2)-F(l)=1-(14-2)e2(1e一兀%>o0,x<0,(1)求x的概率密度函数p(E；(2)求PX<2,PX>3.(ex,x>0,答:(1)p(x)=F(%)=(0,让0,(2)PX<2=F(2)=l-e20.8647,PX>3=1-P(X<3)=1一F(3)=1-(1-e3)$0.049799.假设随机变量X与Y都服从正态分布"(。，沪)，且PX<1,Y<-1=则PX>1,Y>1=().123不W-(C)-(D)l答案是:).分析：记力=XS1,B=YS-1,已知PAB)=要计算PX>1,Y>-1=P(丽)=PQ4UB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)其中PS)=P(XS1)=(耳,P(B)=P(Y<-!)=<#>(弓)=1_0G)所以PX>1,Y>1=1-(耳一1+(寺)+扌=&2(1-%),0<x<1,P952