对称-到角公式-夹角公式专题

1、直线方程补充材料一一“到角”公式，“夹角”公式，直线对称、翻折问题一、“到角”公式，“夹角”公式及其应用. “到角”的概念：l围绕l,l的交点按逆时针方向转动，第一次和l重合时扫过的最小正角，称作l到11221l的角e。0的范围：0<0<180°“到角”只研究两直线相交的情况，e丰0且e丰180°)2 到角公式：Vkk设l,l的斜率分别是k,k，l到l的角0，则tan0=戸(0工90。)1212121+kk21 l与l的夹角0:规定形成角中不大于的90角叫两条直线的夹角。l与l相交不垂直时的解锐角,12120<0<90；l与l相交垂直时：0=90；所

2、以0的范围：0<0<90；12夹角公式：tan0=(0工90) “到角”公式，“夹角”公式使用范围：0,a均不等于90不适于使用公式的情形，常用数形结合12解决。如求l:X=3与l:y=2x+6的夹角12 若告诉两相交直线方程为一般式即l:Ax+By+C=0,l:Ax+By+C=0,其中11112222BAB丰丰茁求-与J夹角可以利用方向向量或法向量的刻画两条直线的夹角.22的方向向量为a=(B，一A)，a-baIibI方向向量COS0=l的方向向量为b=(B,A)，l与l的夹角为0，222BB+(A)(A)-1212pB2+(A)2B2+(A)22-:.COS0=a卩AA+BB1

3、212iaiipinJB2+A2JB2+A2¥1122l的方向向量为a=(A9B)，l的方向向量为P=1112l与l夹角为0，12例1已知三角形ABC三点的坐标分别为A(1,2),B(0,3),C(3,6)，求厶角平分线的直线方程.例2等腰三角形一腰所在直线l:x2y2=0，底边所在直线l:x+y1=0，点(2,0)在另12腰上，求这腰所在直线l的方程.3例3求直线xy2=0关于直线x+2y+1=0对称的直线方程.例4直线l过点(1,0)且被两条平行直线3x+y一6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9,求直线l的方程.二、直线上两点的距离公式.已知直线y=kx+b上有两点A(x,

4、y),B(x,y)，那么1122x)2+kx+b-(kx+b)2212x)2+(kx-kx)2212AB=xi一兀2)2+(yi-J?)2=(xi-=J(x-x)2+kx+b-(kx+b)2=j(x一=J(1+k2)(x】一兀2)2=：(1+k2)|兀-兀2I即AB=；(1+k2)IxxIy一by-b.x=-1,x=ik2kAB=、；：(1+k2)Ix-x1=*(1+k2)I片一b-y2-bI=；：(1+丄)1y-yI(k主0)12kkyk212即AB=J(1+kL)|y-yI(k工0)例5已知直线y=kx+4(kn2)与曲线y=x2-x+3有交点吗，若有交点，交点距离的取值范围是多少？三、点

5、关于点的对称问题方法：解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解.另外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A,B,C三点共线的性质去列方程来求解.点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.例6求点A(2,4)关于点B(3,5)对称的点C的坐标.四、点关于直线的对称问题方法：点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，两点的中点在已知直线上.例7求点A(1,3)关于直线I:x+2j-3=0的对称点A的坐标.五、直线关于某点对称的问题方法一：利用所求的对

6、称直线肯定与已知直线平行，再由点(对称中心)到此两直线距离相等，而求出常数项.方法二：转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.，使问题解决.例8求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程.六、直线关于直线的对称问题方法：直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交.对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解或利用平行直线间的距离公式求解；对于，

7、其一般解法为先求交点，再用“到角”公式求出斜率，或是转化为点关于直线对称问题.例9求直线l:x-y-1=0关于直线l:x-y+1=0对称的直线l的方程.12例10试求直线l:X一y-2=0关于直线l：3x一y+3=0对称的直线l的方程.12直线对称特殊情况方法提炼：(1) 一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a对称的直线方程，先写成a(2a-x)+by+c=0的形00式，再写成-ax+by+2aa+c=0形式，即是所求值.0(2) 般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b对称的直线方程，先写成ax+b(2b-y)+c=0的形00式，再写ax-by+2bb+c=0成形式，化简后即是的求值.0(3) 一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求，即ax+by-c=0.(4) 一般地直(曲)线f(x,y)=0关于直线y=x+c的对称直(曲)线为f(y-c,x+c)=0即把f(x，刃=0中的x换成y-c,y换成x+c即可.(5) 一般地直(曲)线f(x,y)=0关于直线y=-x+c的对称直(曲)线为f(-y-c,-x+c)=0.即把f(x)=0中的x换成一y+c,y换成一x+c.注：1、直线的平移参照高一上函数图象的平移方法.(左右平移满足对“一个x”“左加右减”上下平移满足