必修四 第一章 三角函数(知识点与题型整理)

1、第12页共9页三角函数模块专题复习任意角的三角函数及诱导公式二要点精讲1任意角的概念旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫a的顶点。规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转我们称它形成了一个零角。2终边相同的角、区间角与象限角3弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1（单位可以省略不写）。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分.角a的弧度数的绝对值是：H=-，其中，l是圆心r角所对的弧长，r是半径。角度制与弧度制的换算主要抓住180°二兀rad。弧度与角度

2、互换公式：1rad=180°1°=工（rad）。兀180弧长公式：/=1aIr（a是圆心角的弧度数），扇形面积公式：s=2lr=21a1r24三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么:y叫做a的正弦，记做sina，即sina=y；（2）x叫做a的余弦，记做cosa,即COSa=x；（3）-叫做a的正切，记做tana，即tana=-（x丰0）。xx5三角函数线6同角三角函数关系式1）平方关系：sin2a+cos2a=1,1+tan2a=sec2a,1+cot2a=csc2a2）倒数关系3）商数关系sinacsca=

3、1,cosaseca=1,tanacota=1,sinacosatana=,cota=cosasina几个常用关系式：sina+cosa，sina-cosa，sinacosa；（三式之间可以互相表示）设smQ+coSa=圧匕凭.两边平方,得t2-;l+2sinClcosCL=t二smHcosCl=:,又1-2sin*ct'S'l=2-t=?anCl-ccs<l=±2-t3.7. 诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”诱导公式一：sin(a+2k兀)=sina，cos(a+2k兀)=cosa，其中keZ诱导公式二：sin(180°+a)=-s

4、ina；cos(180°+a)=一cosa诱导公式三：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa诱导公式四：sin(180-a)=sina；cos(180-a)=-cosa诱导公式五：sin(360°-a)=-sina；cos(360°-a)=cosaa兀-a兀+a2兀-a2k兀+a(keZ)兀a2sinsinasinasinasinasinacosacoscosacosacosacosacosasina(1) 要化的角的形式为k-180±a(k为常整数);(2) 记忆方法：“函数名不变，符号看象限”(冗)sinx+=cosx=cosx(4J(

5、4丿k4丿(3)sin(kn+a)=(1)ksina；cos(kn+a)=(1)kcosa(kZ)；(4)cosx+=sinxk4丿k4丿三.思维总结1.几种终边在特殊位置时对应角的集合为:角的终边所在位置角的集合X轴正半轴(XIa=kx360。，keZY轴正半轴xIa=kx360。+90。，keZX轴负半轴xIa=kx360。+180。,keZY轴负半轴xIa=kx360°+270°,kgZX轴xIa=kx180°,kgZY轴Ia=kx180°+90°,kgZ坐标轴xIa=kx90°,kgZa2. a、2a之间的关系。a若a终边在第

6、一象限则乙终边在第一或第三象限；2a终边在第一或第二象限或y轴正半轴。a若a终边在第二象限则-终边在第一或第三象限；2a终边在第三或第四象限或y轴负半轴。a若a终边在第三象限则-终边在第二或第四象限；2a终边在第一或第二象限或y轴正半轴。a若a终边在第四象限则-终边在第二或第四象限；2a终边在第三或第四象限或y轴负半轴。3学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅

7、与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离tana=。xrx2+y2,那么sina=y,cosax2+y2三角函数的图象与性质二要点精讲1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=cosx”-3：0，、乓歹4兀-7兀-2兀-3»-1223兀.7兀.->o套一'3匚；x兀2n5冗222三角函数的单调区间：y=sinx的递增区间是卜砍上，砍+打(keZ),_22_递减区间是2如+巨,如+込(keZ)；_22_y=cosx的递增区间是bk兀-兀,k兀(keZ),递减区间是bk兀,k兀+兀(keZ),y=tanx的递增区间是kK-,kK+-(keZ),I22丿3. 函数y=Asin

8、x+申)+B(其中A>0,®>0)最大值是A+B，最小值是B-A，周期是T=王，频率是f二竺，相位是曲+P，初相是w2P；其图象的对称轴是直线wx+=k-+学keZ)，凡是该图象与直线y二B的交点都是该图象的对称中心。4. 由y=sinx的图象变换出y=sin(®x+p)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y=sinx的图

9、象向左(p>0)或向右(p<0=平移|p丨个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的一做3>0),便得y=sin(3x+申)的图象。w途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的丄倍(3>0),再沿x轴向左(P>0)或向右(Pw|p|V0=平移个单位，便得y=sin(3x+申)的图象。w5. 由y=Asin（3x+9）的图象求其函数式：给出图象确定解析式匚Asin（3兀+9）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（竺，0）作为突破口，要从图象的升降情况找.准.第一个零点的位置。6. 对称轴与对称中心：y=sinx的对称轴为

10、x二k兀+旳，对称中心为（k兀,0）kgZ；2y=cosx的对称轴为x=k兀，对称中心为（k兀+矢,0）；2对于y二Asingx+©）和y二Acosgx+©）来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7. 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、®的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数，并且在同一单调区间；8. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成"y二Asin（wx+©）、y二Acos（wx+©）”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9. 五点法作y=Asin（3

11、x+9）的简图：五点取法是设x=3x+9，由x取0、仝、n、2n来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。22三.思维总结1. 数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。2. 作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。3. 对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。4. 求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。5. 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。6. 函数的单

12、调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。7. 判断y=Asin（3兀+弔）（3>0）的单调区间，只需求j=Asin（3x+9）的相反区间即可，一般常用数形结合而求尸Asin（3x+9）（3<0=单调区间时，贝懦要先将x的系数变为正的，再设法求之。三角恒等变形及应用二.要点精讲1.两角和与差的三角函数sin（a±P）=sinacosP土cosasinP；cos(a±B)=cosacosPsinasinP；tana±tanPtan（a±p）十1 +t

13、anatanP2二倍角公式sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；2tanatan2a=一1-tan2a3三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式.1.宀.1-cos2a1+cos2asinacosa=sin2a；sin2a=:cos2a=2 22（2）辅助角公式（万能公式）asinx+bcosx=.'a2+b2-sin（

14、x+申），ba其中smQ=.,cosQ=a2+b2a2+b24三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于"变角”如a=（a+卩丿-卩,2a=（a+卩丿+（a-卩丿等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征

15、，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法消参法或分析法进行证明。三思维总结1两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如a=（a+卩）一卩，2a=（a+卩）+（a-卩）2a+卩=G+卩）+a等；（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如cos(a+sin(a+P)sinP=cosa-tanP，(a+P)otan(a+P)(-tanatanP)=t

16、ana+tanP，tan(a+P)tanatanP=tan(a+P)-tanatana+tanP+tan(a+P)tanatanP=tan（4）注意倍角的相对性（5）要时时注意角的范围（6）化简要求熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。2证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。第三讲：三角函数单元部分易错题解析（1）a终边与e终边共线（a的终边在9终边所在直线上）oa=0+k兀

17、（keZ）.（2）a终边与9终边关于x轴对称oa=-0+2k兀（keZ）.（3）a终边与9终边关于y轴对称oa=兀-0+2k兀（keZ）.（4）a终边与9终边关于原点对称oa=兀+0+2k兀（keZ）.（5）a终边在x轴上的角可表示为：a=k兀,keZ；a终边在y轴上的角可表示为：,兀，"k兀，"兀a=k+,keZ；a终边在坐标轴上的角可表示为：a=,keZ.如a的终边与：的终边226兀关于直线y=x对称，则a=2如+,keZ1特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°

18、;75°(1)平方关系:sin2a+cos2a=1,1+tan2a=sec2a,1+cot2a=csc2a2) 倒数关系3) 商数关系sinacsca=1,cosaseca=1,tanacota=1,sinacosatana=,cota=cosasina3、正切函数y=tanx的图象和性质:兀(1) 定义域：xIx丰-+k兀,keZ。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？(2) 值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；(3) 周期性：是周期函数且周期是兀，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期兀。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数

19、解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，,兀其它不定。如y=sin2x,y=|sinx|的周期都是兀，但y=|sinx|+cosx的周期为込,y=I2sin(3x-y=I2sin(3x-)+21,6y=|tanx|的周期不变；(4) 奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k0(keZ)，特别提醒：正(余)切型函数的I2，0丿对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。(5) 单调性：正切函数在开区间+刼+刼丿(keZ)内都是增函数。但要注意在整个4.定I22丿三角函数图象几何性质y=Atan(®x+p)义域上三具有函数图如下图何性质i=ssin(nx+E)p)X片'/邻中心Ix3-x4I=TH无穷对称中心：由丁=0或y无意义确定邻渐近线Xx2l=T12无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交，且相邻两交点的距离为一个周期！邻中心轴相距空12；，'4邻中心x-xl=