一元二次方程难题解析

1、一元二次方程难题解答（一）2221 1.已知 m m 是方程xx20的一个根，则代数式（mm）（m1）的值是m解：m m 是方程x2x20的一个根r22-即m2m2m0方程两边除以m得：m10m(m2m)(m1)2(11)4m22016a0的一个根，求代数式2a4031a12的值a13 3,关于 m m 的方程7nm2n2m20的一个根为 2,2,求n2n2的值。解：由题意得：m2把m2代入方程得：4j7n2n220整理得：n22j7n10方程两边除以n得：n2 曰-0n-2v17nn1cc方程两边平方得：n22J228n2n226n一一，21.、21,4 4.已知(m24)36,求m的值。m

2、m2121m10或m2(舍去)mm.一、一2一_2 2.已知xa是方程x2016x1解:xa是方程x22016x10的一个根2_4a2016a102_.2_a2016a1或a12016a2a24031a1_22016aa21= =2a24032aa1_22016a2016a-2-2(a2016a)a1a解：(m2-r4)236m2446mm(m)2210即(m)28mm5 5,用换元法解下列方程：原方程的解为x11x21x32x42时，该式的最小值为 1 129 9,解含绝对值的方程：解方程：x2x110解：当x10时，即x1,x1x1Ix1原方程化为x2(x1)10即x2x0解得：x0 x2

3、1解：设X21y,则原方程为y23y0y(y3)oyi0y23当yo时，x21ox1当y3时，x2136 6.设x、y为实数，求x222xy2y4y5的最小值，并求出此时x与y的值。解：x22xy2y24y5(x22xyy2)(y24y4)127 7.关于x的方程m(xh)k0(m、h、k均为常数，m0)的解是x1x22,求方程m(xh3)2k0的解。22k,k斛：m(xh)k0(xh)xh.mm8 8.对于*,我们作如下规定:a*ba2b22,试求满足(2x1)*x10的x的值。解:由题意得：(2x1)2x22102,24x4x1x20X21是原方程的解原方程化为X2(1x)1即X2x20解

4、得:x11x2X22是原方程的解综上所述，原方程的解为X11,X2211010.解万程：x2(xx解：配方得:121(X-)22(x-)3时,当y2经检验:,原方程可化为X13、521,X2“巾2121111.解万程：x xx22x解：Xc12d2x1x22x设X22x2xy,则原方程可化为24时，x2x3x3y20,方程无实数解55、十是原方程的解。222一一.一0,yy120,解得：y140,此方程无实数解4y23m2102(m1)0解得m1经检验：x13,x21是原方程的解。21717.已知关于x的一兀二次万程(ac)x2bx(ac)0,其中a、b、c分别为ABCABC三边的长。(1)(

5、1)如果x1是方程的根，试判断ABCABC 的形状，并说明理由；(2)(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABCABC 的形状，并说明理由；(3)(3)如果ABCABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。解：(1)把x1代入方程得：ac2bac02a2b0即abABCABC 为等腰三角形又方程有两个相等的实数根222_-2224b4a4c0即bca2_当abc时，原万程化为xx01818,已知关于x的方程的方程(mJ3)xm1(1)(1)m为何值时，原方程是一元二次方程？(2)(2)m m 为何值时，原方程是一元一次方程？m.30解:(1):(1)由题意得：m212解得m(2)(2)

6、当原方程是一元一次方程时，m m 的值应分三种情况讨论：m211m32(m1)0ABCABC 为直角三角形0 x21解得：x12(m1)xm302(m1)0解得m-3综上所述：当m51,$2或J2时，原方程是一元一次方程。1919 .用配方法求二次三项式的最大值与最小值(1)当x为何值时，代数式2x22x1有最小值？并求出最小值r1r,2,当x1时，代数式2x22x1有最小值2当x1时，代数式有最大值 7.7.2a1112020 .若a满足不等式组1a，则关于x的万程(a2)x2(2a1)xa-0的根的a022情况是解：解不等式组得a3a2则方程为一元二次方程21(2a1)24(a2)(a-)

7、2a5a32a51即02关于x的一元二次方程没有实数根。k10解由题意得：(.k1)402222.关于x的方程mx2xm10有以下三个结论：当m0时，方程只有一个实数根;当m0时，方程有两个不相等的实数根；无论m取何值时，方程都有一个负数解；其中正确的是(2)当x为何值时，代数式3x26x4有最大值？并求出最大值解：3x26x43(x22x11)43(x1)272121.关于x的一元二次方程x2vkx10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。当m0时，14m(m1)4m24m1(2m1)20方程有两个实数根当m0时，x1当m0时，x2”(2m1)1(2m2m2m,1X1X21无论m取何值时，方

8、程都有一个负数解m22323.关于x的方程(a6)x28x60有实数根，则整数a的最大值是,一,一，一、一3斛：当a6时，原方程为8x60 x4八八，八八3当a6时，6424(a6)24a2080a84整数a的最大值是 824824,已知关于x的一元二次方程(x3)(x2)m,求证：对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根；(2)(2)若方程的一个根是 1,1,求 m m 的值及方程的另一个根。解：(1)(1)(x3)(x2)mx25x6m0(5)24(6m)4m10对于任意实数 m,m,方程总有两个不相等的实数根(2)(2)把x1代入原方程得：(13)(12)mm2原方程为(x3)(x2)

9、2x25x40 x11x24m2,方程的另一根为x42525.已知关于x的方程x2(3k1)x2k22k0,(1)1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；(2)(2)若等腰三角形 ABCABC 的一边长a6,另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。解：1)1)(3k1)24(2k22k)9k26k18k28kk22k1(k1)202a2160第一个方程有两个不相等的实数根解：当m0时，原方程为x10 x1方程只有一个实数根无论k取何实数值，方程总有实数根gp2kk1k1bc2226k14CABC66416CABC6610224m恰好有 3 3 个实数根，则实数m方程恰好有 3

10、 3 个实数根x10 x20a0有实数根，则实数a的取值范围方程有解x04a28a84a28a8a1Y2k1x10有两个不相等的实数根，则k的取值1,1-斛得：一k且k0228k02929.设方程x2ax4只有 3 3 个不相等的实数根，求“2222斛:xax4或xax4xax40或xax401当bc时，方程有两个相等的实数根,不能构成三角形。当腰长为 6 6 时，2k6k3或k16k52k10综上所述：CABC16或 22222626.若关于x的方程X2(m5)x-2_解：x(m5)x4m02727.若关于x的方程ax22(a2)x解：当a0时，原方程为4x0当a0时，2(a2)24a2方程

11、有实数根8a80综上所述：a12828.如果关于x的一元二次方程kx2范围k0解：由题意得：2k10(2k1)2a的值和相应的 3 3 个根。2a316原方程只有 3 3 个不相等的实数根，20当a4时，x24x40或x24x40 x1222x24时，x24x40或x24x40 x1222x2222综上所述：a4,当a4时，x12272x2当a4时，x1222x2222x32一2一3030.已知函数y一和ykx1(k0),(1)若这两个函数图象都经过点(1,a),求a和k的x值。(2)当k取何值时，这两个函数总有公共点？2解：(1)函数y经过点(1,a)a2该点为(1,2)x2、y,2(2)(

12、2),x,xkxx20两个函数总有公共点方程有实数解ykx1,1八323131.已知关于x的一兀二次万程x(2k1)xk20的两根为x1和x2,且(x12)(x1x2)0,求k的值。解：(x12)(x1x2)0 x120 x1x20当x12时，把x12代入原方程得：42(2k1)k220整理得：k24k40解得：k2当xx20时，方程有两个相等的实数根，即(2k1)24(k22)0即a2160a4222x32x32222x32k018k0解得：k且k08，,9综上所述：k2或一4.2.22m5m10与2n5n151mnmn-数k的取值范围；（2）若方程两实数根x1,x2满足x1解：（1 1）（2k1）44（k21）4k34231.31.已知:0,1,求凶的值。q解：由P2o,q0又Pq0可化为（q）2120与2q0是同解方程1-P和一是方程xq0的两个不相等的实数根11m110且一