方差和标准差 知识讲解

1、方差和标准差一一知识讲解【学习目标】1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义;2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题【要点梳理】要点一、方差和标准差1. 方差在一组数据X,兀2,，X中，设它们的平均数是x，各数据与平均数的差的平方的平均数S2=丄1-X+（x-X）2+.+（x-X"叫做这组数据的方差.n12n方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好.（2

2、）组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变（3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的k2倍.2. 标准差一般地，一组数据的方差的算术平方根E=J-（心-无十（牝-1-（兀-x）2称为这组数据的标准差.要点诠释：（1）标准差的数量单位与原数据一致.（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定要点二、方差和标准差的联系与区别联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要

3、反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同【典型例题】类型一、方差和标准差1. 一组数据一2，-1,0，1,2的方差是（）A.1B.2C.3D.4【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式:S2=xX+(xX)2+.+(xX)2计算.n12n【答案】B1r-|【解析】该组数据的平均数是0,所以s2(2)2+(1)2+12+22=2.5L【

4、总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式举一反三：【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为1715171615，其方差为0.8，则3年后这五名队员年龄的方差为.【答案】0.8.2. 已知某样本的标准差是2,则这个样本的方差是()A.1B.72C.2D.4【思路点拨】根据标准差的概念计算.标准差是方差的算术平方根.【答案】D；【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=22=4.故选D.【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键标准差是方差的算术平方根.举一反三：【变式】下列说法：其中正确的个数有()(1) 方差越小，波动性越小，说明稳定性越好；(2) 组数

5、据的众数只有一个；(3) 数据2,2，3，2，2，5的众数为4；(4) 一组数据的标准差一定是正数.A.0个B.1个C.2个D.4个【答案】B.提示：(1)正确.类型二、方差和标准差的实际应用3. 甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲55149191135乙55151110135分析此表得出如下结论：()(1) 甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；(2) 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字150个为优秀)(3) 甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(2)(3)D

6、.(1)(3)【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.【答案】B【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，(1)(2)(3) 都正确，选B.【总结升华此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.举一反三：【变式】(2015崇左)甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是x=85,x=85，x=85，x=85，方差是S2=3.8，S

7、2=2.3，S2=6.2，S2=5.2，则甲乙丙丁甲乙丙丁成绩最稳定的是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B.解：S2=3.8，S2=2.3，S2=6.2，S2=5.2，甲乙丙丁S2VS2VS2VS2，乙甲丁丙成绩最稳定的是乙.故选B.4. (2016春商水县期末)甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：(单位：吨/公顷)品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8(1) 哪种水稻的平均单位面积产量比较高？(2) 哪种水稻的产量比较稳定.【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定.【答案与解析】解：

8、(1)x=-(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10，甲5X=-(9.4+10.3+10.8+9.7+98)=10，乙5所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高；(2)甲中水稻产量的方差是：(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2=0.02，5乙种水稻产量的方差是：(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2=0.244.5A0.02V0.244,产量比较稳定的水稻品种是甲.【总结升华】此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，它反映了一组数据的波动大小，方差越

9、大，波动性越大，反之也成立.举一反三：【变式】为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株,将测得的苗高数据绘制成下图：苗高统计图请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势.【答案】植株编号12345甲种苗咼75458乙种苗咼64565Tx=5.&，=5.2，甲乙:甲种水稻比乙种水稻长得更高一些.S2=2.16,S2=0.56，甲乙:乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些.5. (2015春安达市期末)甲、乙两台机床同时加工直径为10mm的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取5件进行检测，结果如下

10、(单位：mm)：甲109.81010.210乙9.9101010.110(1) 分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；(2) 根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由.【思路点拨(1)根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可.(2)根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些.【答案与解析】解：(1)T甲机床所加工零件直径的平均数是：(10+9.8+10+10.2+10)三5=10,乙机床所加工零件直径的平均数是：(9.9+10+10+10.1+10)三5=10,甲机床所加工零件直径的方差(10

11、-10)2+(9.8-10)2+(10-10)2+(10.2510)2+(10-10)2=0.013,乙机床所加工零件直径的方差誌(9.9-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(10.1-10)52+(10-10)2=0.004,(2)S2S2,甲乙乙机床生产零件的稳定性更好一些._【总结升华】本题考查了平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，X的平均数为匚，12n则方差S2=(x-x)2+(x-k)2+(x-k)2，它反映了一组数据的波动大小，方12n差越大，波动性越大.举一反三：【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取

12、8次，数据如下(单位：分)甲9582888193798478乙8375808090859295(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数;(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适?请说明理由.【答案】-1解:X=(95+82+88+81+93+79+84+78)=85(分)，甲8-1兀乙=(83+75+80+80+90+85+92+95)=85(分).8甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分.(2)由(1)知兀甲=兀乙=85分，所以s2=(95-85)2+(82-85)2+(78-85)2=35.5，甲8先=8(83-85)2+(75-85)2+(95-85)2=41- 从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； 从中位数看，乙的中位数