工程光学习题解答第十二章光的衍射

1、第十二章光的衍射1.波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹的强度。解：（1）零强度点有asin0=n九（n=±1,±2,±3）中央亮纹的角半宽度为A0=-0a亮纹半宽度ro=f-A6oX_50X10-2X500X10-9a0.025x10-3_0.01m0X兀(2)第一亮纹，有a_asin0_4.493X1.01_0.0286rad4.493九_4.493x500x10-9兀a3.14

2、x0.025x10-3r_f*0_50x10-2x0.0286_0.0143m_14.3mm11同理r_24.6mm2衍射光强1_10兀n其中a_丁asin0X当asin0_nX时为暗纹，tga_a为亮纹对应级数a001212.平行光斜入射到单缝上证明：（1）单缝夫琅和费衍射强度公式为sinin号(sin0-sini)a(sin0-sini)X式中，Iq是中央亮纹中心强度；a是缝宽；0是衍射角，i是入射角（见图12-50）（2）中央亮纹的角半宽度为A0_acosi3.在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm,所用透镜的焦距为30mm，光波波长为632.8nm。问细丝直径是

3、多少九”，解：设直径为a，则有一f=da=0.0126mm632.8x10-9x0.031.5x10-34利用第三节的结果导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图12-51）的夫琅和费衍射强度公式，并求出当b=|时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗环的角半径。同样，图圆屏使P点振幅减6图E(p)=兀b2c2j(kb)_1kb因此圆环在P点产生的振幅为E=E-Eaba2J(ka0)b2J(kbO)"|11kaOkb二4兀2C2a2J(ka0)b2J(kbO)211kaOkbO对于衍射场中心，O=0有I(0)=4兀2C'2=4兀2C2

4、(a2b2)2(1)I(0)=4兀(a2b2¥2c228(、a4=ca2I4丿9ca416I(0)=9HO)=16a2）第一暗纹有a2J(kaO)kaOb2J(kbO)1kbO2aJ(kaO)=aJkO121查表可有kaO=3.144O3.144九九/.O=3.144-=0.51ka2兀aa4.（1）一束直径为2mm的氦氖激光（九=632.8nm）自地面射向月球，已知地面和月球相距3.76xl03km，问在月球上得到的光斑有多大（2）如果用望远镜用作为扩束器将该扩展成直径为4m的光束，该用多大倍数的望远镜将扩束后的光束再射向月球,在月球上的光斑为多大解：（1）圆孔衍射角半宽度为O=-

5、a传到月球上时光斑直径为D=2Ox3.76x108=290.3km0.61-0.61x632.8x109-1=2xxl=2xa1x1032）若用望远镜扩束，则放大倍数为2000倍。直径D'=2O'l=2x2x°61x皿x109x3.76x108=145.2m5.若望远镜能分辨角距离为3X10-7rad的两颗星，它的物镜的最小直径是多少同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率解：d=竽=%1X550X10-9X2=2.24m23X10-7人眼分辨率为1'沁2.9x10-4rad2.9x10-4放大率M>2；9罟B9003X10-76.若要使照

6、相机感光胶片能分辨2卩m的线距，（1）感光胶片的分辨率至少是每毫米当7.时线；照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大（光波波长为550nm）解：（1）胶片分辨率为N=500线/毫米2X10-3DN（2）=1.22X-NB=0.34d1490一台显微镜的数值孔径为0.85，问（1）它用于波长九二400nm时的最小分辨距离是多少（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到，分辨率提高了多少倍（3）显微镜的放大率应设计成多大（设人眼的最小分辨率为1'）。解：“沁=061X400X10-9=0.29x10-6mnsinu0.85提高£'=173）人眼在明视距离处能够分辨的长度为&

7、;-250mm=250x2.9x10-4=7.25x10-2mme放大率至少为M止=7.25x10-2mm=4258'0.29x10-3mmx1.78.在双缝夫琅和费衍射实验中，所用光波波长九二632.8nm，透镜焦距f=50cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离e=1.5mm，并且第四级亮纹缺级。试求（1）双缝的缝距和缝宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。解：（1）双缝衍射亮纹条件为dsin0=m九,m=0,±1,±2取微分有dcos0-A0=XAmc九令Am=1，且cosOu1，则A0Bd1.5X10-3.D二=6迄8X10-9X0.5=0.21X10-3mem

8、=0,±1,±2(2)衍射极小位置为asin0=n九ad.一=,N=±1,±2nm取n=1,m=4a=0.05mm4(3)对于第一级亮纹有sin0=±X2兀即5=sin0=±2兀九又Q=4aasin0=±4/.a=asin0=±4第一级亮纹的相对强度亍=0r222sm5sin'sina24la；.5sml2丿l4丿2=0.81同理厶=0.4,厶=0.09009. 在双缝的一个缝前贴一块厚0.001mm，折射率为的玻璃片。设双缝间距为1.5卩m,缝宽为0.5卩m,用波长500nm的平行光垂直入射。试分析该双缝

9、的夫琅和费衍射图样。解：衍射图样不变，干涉位置变为sin0+（Nn0）=m10. 一块光栅的宽度为10cm，每毫米内有500条缝，光栅后面放置的透镜焦距为500nm。问（1）它产生的波长=632.8nm的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少（2）若入射光是波长为632.8nm和波长之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少1mm1mm解：（1）d一一一2x10-6mN500对于一级主极大有dsin0-kn0-18.43。1kf:.r一一3.34x10-3mm1Ndcos0同理r=4.08x10-3mm2(2)Qdsin0二mk81m-f线色散80=dCOS01,2级衍射

10、线色散为81)500mm_,.-=0.26mm/nm(80丿0.002mm-cos18.43°1-=0.64mm/nm丿2而Ak=0.5nm谱线间距81)Al=Ak=0.26mm/nmx0.5=0.13mm1lA0丿1Al=0.32mm211. 设计一块光栅，要求（1）使波长k=600nm的第2级谱线的衍射角0<30。,色散尽可能大，（3）第3级谱线缺级，（4）在波长k=600nm的2级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线解：为使k=600nm的二级谱线的衍射角0<30。，则光栅常数d应满足mkSiKO、

11、2x600x10-9-sin30。=2.4x10-6md0m色冃攵dkdcos0d越小色散越大d=2.4x10-6m若第三级缺级，应有a=-=0.8x10-6md由条件（4）N=6000.02x2=15000二光栅总长度L=N-d=36mm可看到最高级条纹为m=dsin9T"<d=2.4x】0一6=4九600x10-9可看到0,±1,±2级，±3级缺级，共5条条纹。12. 为在一块每毫米1200条刻线的光栅的1级光谱中分辨波长为632.8nm的一束氦氖激光的模结构(两个模之间的频率差为450MHz)，光栅需要有多宽解：632.8nm对应的频率为4.

12、741x1014Hz.A九Av450x1064.741x1014x632.8=6x10-4nm尢6328光栅总条纹数为N=1.005x106AA-m6x10-4长度为L=Nd=1.005x106x=879mm120013.证明光束斜入射时，(1)光栅衍射强度分布公式为I'sina)2fsinNp)0Ia丿、sinP丿2式中a=(sin9sini),卩=罟(sinGsini)9为衍射角；i为入射角，见图12-53,N为光栅缝数。(2)若光栅常数d>>A，光栅形成主级大的条件可以写为证明:图与蠡入射相题，豐=芋人=芋d(sin9sini)AA.p=(sin9sini)A同理a=

13、犖(sin9sini)A(2)光栅形成主极大有d(sin9sini)=mA2dcos0+i2.0-ism2cos2.0-i沁cosi,sm20-i2有dcosi（0-i）=m九缝数为2N,缝宽为a，缝间不透明部分的宽度这一衍射屏的夫琅和费衍射强度分布公式。14有一多缝衍射屏如图12-54所示，依次为a和3a。试求正入射情况下,多光束产生干涉有1+e/8+ei28+ei38+ei（N-1）5+e«s1+ei（8+82）+ei（8+282）+ei81+（N-1）82E（P）=Aa丿则M-M*=4cos2透射光强1=410(.NQsm028<2丿0C0S412=104兀bsin0Co

14、s2P)2(sin6NP15.块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为77012'。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长九二500nm的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围有多大（3）试问空气间隔为1cm,精细度为25的法布里-珀罗标准具的分辨本领和自由光谱范围作一比较。解：（1）光栅刻痕数为N=-y=7.8x104dp2xmmxsin77O12'500x10-6mm闪耀级数为m=一严=300-B13九“分辨本领为丸=mN106A入九500(2)自由光谱范围为AX=38.5nmm13(3)F-P标准具的分辨为A=0.97ms=0.97x丝-sB106九“九25

15、002_比光栅小得多自由光谱范围为AX=刃=时=0.0125nm16.一透射式阶梯光栅由20块折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成,厚板t二1cm，玻璃折射率n二1.5，阶梯高度d二0.1cm。以波长九二500nm的单色光垂直照射,试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级次；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。解：（1）由于阶梯高度d与九相比极大，所以衍射角极小，此时相邻两阶梯的光程差为A=nl一cos01+dsin0=（n一l）l+d0对应0=0处,(n-1)1九(2)Q(n1)1+d-0=m九设n与九相比变化很小，即=0.黑=10-2rad/nm5九d.九分

16、辨本领A=入方=mN=104x20=2x105兀17. 设光栅的振幅透射系数为t(x)=t+1cos2kfx+1cos(2兀fx+)，这块光栅010102的夫琅和费衍射场中将出现几个衍射斑各斑的中心强度与零级的比值是多少18. 在宽度为b的狭缝上放一折射率为n、折射角为a的小光楔，由平面单色波垂直照射(见图12-55)，求夫琅和费衍射图样的光强分布以及中央零级极大和极小的方向。19. 图12-56为一透射型闪耀光栅，周期为d，闪耀角为a，由平面波垂直入射(1)求夫琅和费衍射图样的光强分布。(2)求光栅对m=1级光谱闪耀时a应满足的条件。(3)试分析对m=1级闪耀时，光谱强度分布的特点。图12-

17、56习题24图20. 如图12-58所示，单色点光源（波长九二500nm）安放在离光阑lm远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环。考察点P离光阑lm（SP连线通过圆环中心并垂直于圆环平面），问在P点的光强和没有光阑时的光强之比是多P图12-58习题28图解：半径为1mm的圆孔包含波带数为p2（R+r）（1mm）2（1000mm+1000mm）J4rR九1000mmx1000mmx500x10-6mm0半径为0.5mm的圆屏挡住的J'1圆环通过波带数为3,由于相邻波带相消，所以只有一个波带的光在P点产生振幅，无光阑时P点振幅为第一波带产生振幅的j，所以放置光阑前

18、后光强变化4倍。21.波长九二563.3nm的平行光正入射直径D二2.6mm的圆孔，与孔相距丨二lm处放一屏幕。问（1）屏幕上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕向前（同时求出向后）移动多少距离解：在P点包含的波带数为-）2-3（R"）rR九r九lx563.3x10-900中心为亮点p2（R+r）o2G.3x10一3J二0p2G.3X10-3丄令J二2r=1.5moJ九2x563.3X10-9p21.3X10-32J=4ro=J=4X563.3X10-9=0.75m22试写出图中双狭缝衍射屏的复振幅透射系数的表达式(设缝宽为a,缝距为b,且b=4a)。(2) .用单位振幅单色平面光波正入射照明时，试求在透镜L后焦面内沿x轴的复振幅分布。(3) .求在透镜L后焦面内沿x轴的光强度分布。(4) .指明光强度分布的特征(单缝衍射中央亮区的半角宽度；干涉主亮纹间距)。nL1b、f-9-f*解(1)双狭缝衍射屏的复振幅透射系数为：t忆)=1，-(彳-勺金(2+2)及t忆