趋势外推预测法

1、预测与决策分析技术主讲: 安小会天津理工大学管理学院5趋势外推预测法n5.1趋势外推法概述n5.2多项式曲线趋势外推法n5.3指数曲线趋势外推法n5.4生长曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.1趋势外推法概述n1趋势外推法概述 （1）趋势外推法概念和假定条件 趋势外推法概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 趋势外推法的两个假定：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件不变或变化不大。 天津理工大学管理学院5.1趋势外推法概述（2）常

2、见的趋势预测模型多项式曲线外推模型：一次（线性）预测模型：二次（二次抛物线）预测模型：三次（三次抛物线）预测模型：一般形式：01tybb t2012tybb tb t230123tybbt btbt2012ktkybb tb tb t 天津理工大学管理学院 指数曲线预测模型：一般形式 ：修正的指数曲线预测模型 ：bttyaettyabc5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院对数曲线预测模型：生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：龚珀兹曲线预测模型 ： lntyabt1tbtLyaetbtyka5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院模型库模型识别参数估计预测确定模型属何种类型类型、特征（

3、3）基本思想5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征1.一次（线性）预测模型： 一阶差分：特征：增长曲线为一次曲线，则其一阶差分增长曲线为一次曲线，则其一阶差分为常数。为常数。适用于时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。1tttyyytbbyt10天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征2.多项式非线性曲线预测模型： 一阶差分：特征：若若增长曲线为二次抛物线，则其二阶增长曲线为二次抛物线，则其二阶差分为常数。差分为常数。适用于时间序列观察值数据随时间变动呈现一种由高到低再到高（或由低到高再到低）趋势变化。12tttyyy22102210tbtbbytbtbtbbytn

4、nt天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征3.简单指数曲线预测模型： 或 特征： 线性依赖时间t， 的增长速率与 成正比。若对象增长速度越来越快，其趋势若对象增长速度越来越快，其趋势近似指数函数曲线，且判断其在预近似指数函数曲线，且判断其在预测期限内不会出现突然变化，可考测期限内不会出现突然变化，可考虑采用。虑采用。ttabybttaey tInytyty天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征4.修正指数曲线预测模型： 描述对象在发展的初期和中期增长速度较快，随后增长速度逐渐下降，其图形接近于渐近线。其中k为饱和值。特征： 线性变化。 ttabkytyIn 天津理工大学管理学院ykty的渐

5、近线0a 0a 下方渐近线上方渐近线-10123-12-10-8-6-4-202-5-4-3-2-1012-10-8-6-4-2020,01ab0,1ab特征：特征：lnty 线性地变化。模型的基本类型和特征天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征5.皮尔曲线预测模型：特征： 是t的线性函数。 bttaeKy1ttyyIny=k, y=0, 上、下两条渐近线上、下两条渐近线天津理工大学管理学院模型的基本类型和特征6.龚珀兹曲线预测模型：取对数： 修正指数曲线。特征： 线性变化。 tbtkayttyyttbInaInkIny)(天津理工大学管理学院-6-4-20246800.511.52ln0

6、01ab-3-2-10123400.250.50.7511.251.51.75ln0 1ab模型的基本类型和特征天津理工大学管理学院-0.500.511.52025507510012515002460510152025ln0 01abln0 1ab-0.500.511.52025507510012515002460510152025ln0 01abln0 1ab天津理工大学管理学院 3趋势模型的选择 （1）图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。5

7、.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院5.1趋势外推法概述（2）差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。一阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为： 1tttyyy21122ttttttyyyyyy天津理工大学管理学院 4 参数的估计 1）对于线性模型，用最小二乘法处理。 2）一些非线性模型，可化为线性模型处理。 3）其他类型，有一些特殊方法处理。5.1趋势外推法概述天津理工大学管理学院5.2.1 直线模型预测一阶差分常数特征：若增长曲线为一次曲线，则其一阶差分为常数。适用于时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。P74 例题 5.2多项式曲线趋势外推法1tttyyy

8、tbbyt10天津理工大学管理学院5.2.1 直线模型预测的参数估计原理：最小二乘原理。用直线形态的趋势线拟合时间序列数据，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院例例5.15.1 某家电企业19932003年利润额数据资料如（表5.1）所示，求当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，试预测2004、2005年企业的利润各为多少万元？ 解： 1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。-6-4-2024620040060080

9、01000利 润 额Xt天津理工大学管理学院2) 计算求待定系数所需的数据资料 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003编号-5-4-3-2-1012345利润额200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 102010nttx1nttyayn121ntttnttx ybx天津理工大学管理学院2) 计算求待定系数所需的数据资料 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003编号-5-4-3-2-1012345利润额200

10、 300 350 400 500 630 700 750 850 950 102010nttx21110nttx19100ntttx y1nttyayn121ntttnttx ybx16650ntty天津理工大学管理学院2) 计算求待定系数所需的数据资料 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003编号-5-4-3-2-1012345利润额200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 102010nttx21110nttx19100ntttx y1nttyayn121ntttnttx ybx

11、604.582.716650ntty天津理工大学管理学院拟合直线方程为604.582.7ttyx-6-4-202462004006008001000利 润 额Xt天津理工大学管理学院预测：2004604.582.761100.7()y万元2005604.5 82.77 1183.4y（万元）上述计算可列在表中。天津理工大学管理学院表 5.1某家用电器厂19932003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元） 年份利润额y1993200-525-1000191.0000191.01994300-416-1200273.711300273.71995350-39-1050356.4247003

12、56.41996400-24-800439.1391200439.11997500-11-500521.84162000521.81998630000604.55253150604.5199970011700687.26364200687.22000750241500769.97495250769.92001850392550852.68646800852.620029504163800935.39818550935.32003102052551001018.010100102001018.066500110910055385423502txtxttx ytytx2txtyttx yt天津理工

13、大学管理学院5.2多项式曲线趋势外推法 5.2.2 二次抛物线模型及其应用 二次抛物线预测模型为：2012tybbtb t二阶差分常数2122byyyttt天津理工大学管理学院设有一组统计数据 ， ， ，令即：解这个三元一次方程就可求得参数。1y2yny22201201211(,)()()nntttttQ b b byyybbtb t最小值4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.2多项式曲线趋势外推法 例 题 下表是我国1952年到1983年社会商品零售总额（按当年价格计算），分析预测我国社会商品零售总额

14、。天津理工大学管理学院年份时序（t）总额 （ yt ）年份时序（t）总额 （ yt ）年份时序（t）总额（ yt ）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.01

15、97019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7天津理工大学管理学院对数据画折线图分析，以社会商品零售总额为 y轴，年份为x轴。天津理工大学管理学院 从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为： 适用的指数曲线模型为： 2012tybbtb tbttyae5.2多项式曲线趋势外推法天津

16、理工大学管理学院 进行二次曲线拟合。首先产生序列 ，然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到估计模型为：其中调整的 ， ， 则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7。 20.9524R 2t2577.2444.333.29tytt20.9524R 0.05290(2,29)FF5.2多项式曲线趋势外推法2t天津理工大学管理学院5.2多项式曲线趋势外推法 进行指数曲线模型拟合。对模型 ：两边取对数：产生序列 ，之后进行普通最小二乘估计该模型。最终得到估计模型为： bttyaelnlntya btlntylnln303.690.0627tyt0.0627303.69ttye

17、tIny天津理工大学管理学院 其中调整的， ，则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：进行预测将会取得较好的效果。 20.9547R 0.05632.6(1,30)FF2577.24 44.333.29tytt5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.2.3 三次多项式曲线预测模型为：230123tybbtb tb t5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院 设有一组统计数据 ， ， ，令即：解这个四元一次方程就可求得参数。1y2yny223 20123012311(,)()

18、()nntttttQ b b b byyybbtb tb t最小值6352413035342312024332210332210tbtbtbtbyttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbnby5.2多项式曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.3指数曲线趋势外推法5.3.1 一般指数曲线预测模型为：bttyae环比发展速度为常数天津理工大学管理学院对函数模型 做线性变换得： 令 ，则这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。bttyaelnlntyabtln,lnttYy AatYAbt5.3指数曲线趋势外推法天津理工大学管理学院5.3指数曲线趋势外推法5.3.2 修正指数曲线模型预测 修正指数曲线预测模型为：ttykab描述对象在发展的初期和中期增长速度较快，随后增长速度逐渐下降，其图形接近于渐近线。其中k为饱和值。天津理工大学管理学院ykty的渐近线0a 0a 下方渐近