题型 二次函数压轴题

1、 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破第二部分第二部分 题型研究题型研究目目录录题型七题型七 二次函数压轴题二次函数压轴题 类型一类型一 线段问题线段问题 类型二类型二 面积问题面积问题 类型三类型三 图形判定问题图形判定问题 拓展类型拓展类型 三角形相似问题三角形相似问题 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录类型一类型一 线段问题线段问题 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录 典例精讲例例1 1 如图，抛物线如图，抛物线 y =ax2+bx+8(a0)与直线与直线 y =x+4相交相交于于A（-4,0），），C（1,m）两点，抛物线与

2、）两点，抛物线与x轴的另一个交轴的另一个交点为点为B（点（点B在点在点A的右侧），直线的右侧），直线 y=x+4交交y轴于点轴于点D，点点P是线段是线段 AC上方抛物线上一个动点（不与上方抛物线上一个动点（不与A，C重重合），过点合），过点P作作PGx轴于点轴于点G，交直线，交直线 y=x+4于点于点F，作作PEAC于点于点E.（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录例例1题图题图【思路点拨思路点拨】将将C（1,m）代入）代入y=x+4中，求得中，求得m的值即的值即可知可知C点坐标点坐标. 二次函数二次函数y=ax2+bx+8(a0)含有两个未知

3、含有两个未知数，将点数，将点A，C坐标代入得到关于坐标代入得到关于a，b的二元一次方程的二元一次方程组，解方程组可求得组，解方程组可求得a，b的值，即可知抛物线的解析的值，即可知抛物线的解析式式. 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录解解：（：（1）把）把 C（1 , m ）代入）代入y=x+4得，得，m=1+4=5，则，则 C（1 , 5）.把把A（-4 , 0），），C（1 , 5 ）代入）代入y=ax2+bx+8(a0)得得 16a-4b+8=0 a=-1 a+b+8=5 b=-2则抛物线的解析式为则抛物线的解析式为y=-x2-2x+8.，解得解得例例1题图题图， 尾页尾页首页首页

4、针对演练针对演练 目录目录（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；）求抛物线的顶点坐标和对称轴；【思路点拨思路点拨】思路一：将思路一：将(1)(1)求得的二次函数解析式求得的二次函数解析式配方成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标和对称轴；配方成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标和对称轴；思路二：根据二次函数顶点坐标公式直接写出顶点坐思路二：根据二次函数顶点坐标公式直接写出顶点坐标和对称轴标和对称轴. . 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（2）解：解：方法一：方法一：抛物线的解析式：抛物线的解析式： y = -x2-2x+8 = -(x+1)2+9，则抛物线的顶点坐标为（则抛物线的顶点坐标为（-

5、1 , 9），对称轴为），对称轴为x=-1.方法二：方法二： -1， = 9，所以所以对称轴是对称轴是 x=-1，顶点坐标是（顶点坐标是（-1 , 9）. 22124 (-1) 8-(-2)4 (-1) 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（3)求出求出AC的长；的长；【思路点拨思路点拨】过点过点C作作x轴的垂线可构造出直角三角轴的垂线可构造出直角三角形，形，AC是直角三角形的斜边，根据是直角三角形的斜边，根据A,C两点坐标分别两点坐标分别求出两直角边即可知求出两直角边即可知AC长长. 如解图过点如解图过点C C作作 CCCCx x轴于轴于C C，A（-4 , 0），），C（1 , 5）

6、，），AC=4+1=5，CC=5,AC= = .22ACCC5 2例例 1 题解图题解图解解： 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（4）若点）若点P的横坐标为的横坐标为x, 请求出线段请求出线段PE的长度关于的长度关于P点点横坐标横坐标x的函数解析式；的函数解析式；由由AC的解析式可求出点的解析式可求出点D的坐标，根据的坐标，根据OA,OD的长度可知的长度可知OAD是等腰直角三角形，根据角度是等腰直角三角形，根据角度的关系可以判定的关系可以判定PEF也是等腰直角三角形，所以求出也是等腰直角三角形，所以求出PF的长度即可知的长度即可知PE的长度的长度.根据抛物线和直线根据抛物线和直线AC

7、的解析的解析式可分别写出式可分别写出P点和点和F点的坐标点的坐标.由此可知由此可知PF的长度，题目的长度，题目得解得解.【思路点拨思路点拨】 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录PE= PF；点点P的横坐标为的横坐标为x，则点，则点P坐标为（坐标为（x,-x2-2x+8），点），点F 坐坐标为标为(x,x+4)，PF=-x2-2x+8-(x+4)=-x2-3x+4，即即PF=-x2-3x+4 （-4x1），）， PE= PF= （ -4x0，t=3,故当故当t为为3时，点时，点D落在抛物线上落在抛物线上.1656AOAPPEPB 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录(3)存在存在t

8、,能够使得以能够使得以A,B,D为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOP相似相似.理由：当理由：当0t8时，若时，若POAADB,则则 ，即，即 解得解得t=8+4 ,t=8-4 （负值舍去）（负值舍去）; 若若POABDA，同理，解得，同理，解得t无解无解. 综上所述，当综上所述，当t=-2+2 或或t=8+4 时，以时，以A,B,D为顶点为顶点的三角形与的三角形与AOP相似相似.41242tttPOAOADBD5555 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录2. （2015 随州随州12分分）如图，已知抛物线）如图，已知抛物线y= (x+2)(x-4)与与x轴交于点轴交于点A、B（点（点

9、A位于点位于点B的左侧），与的左侧），与y轴交于轴交于点点C，CDx轴，交抛物线于点轴，交抛物线于点D，M为抛物线的顶点为抛物线的顶点.（1）求点）求点A、B、C的坐标；的坐标；（2）设动点）设动点N（-2，n），求），求使使MN+BN的值最小时的值最小时n的值；的值；28第第 2 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以使以P、A、B为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABD相似（相似（PAB与与ABD不重合）？若存在，求出点不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不的坐标；若不存在，请说明理由存在，

10、请说明理由. 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录解解：（：（1）令令 (x+2)(x-4)=0得得 x1=-2, x2=4,点点A(-2,0),点点B(4,0),将将x=0代入代入y= (x+2)(x-4)得得 y=- ,点点C(0 , - ).282822第第 2 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（2）如解图，过点）如解图，过点A(-2，0)作作y轴平行线轴平行线l，则点则点B关于关于l的对称点的对称点B（-8,0），），M（1，- ）,连接连接BM与与l的交点即为使的交点即为使MN+BN值最小的点值最小的点N.设直线设直线BM的解析式为的解析式为y=kx+b,9

11、28第第 2 题解图题解图 则则 -8k+b=0 k+b=- ，解得解得 k=- b=-2，y=- x-2.当当x=-2时，时，n=- .928128128324 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（3）假设存在点）假设存在点P（t, （t+2）(t-4)）,使使P、A、B为顶为顶点的三角形与点的三角形与ABD相似相似.下面分三种情况讨论：下面分三种情况讨论：（）当点）当点P在第一象限时，显然在第一象限时，显然PBA为钝角，为钝角，BAD与与ABD为锐角，为锐角，如解图，过如解图，过D作作DEx轴于点轴于点E，过过P作作PFx轴于点轴于点F，易得易得D（2，- ），则），则AE=4,D

12、E= PF= (t+2)(t-4) , AF=t+2.282228第第 2 题解图题解图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录若若PAF=DAE,则则PAFDAE, ,4 (t+2)(t-4)= (t+2),t1=-2(舍去舍去)，t2=6,当当t=6时，时，PF= ，AF=8，PA= ，又又AD= ， , , ，t=6时，时，PAB与与BAD相似，且相似，且P（6 , ）.PEAFDEAE2822 26 23 22PAABPAABABAD2ABAD2 2 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录若若PAF=DBE,则则PAFDBE, ,2 （t+2）(t-4)= (t+2),t1=-

13、2(舍去舍去),t2=8,当当t=8时，时，AF=10，PF= , PA= ,DB= , , =6, =5,显然显然 且且 t=8时，时，PAB与与ABD不可能相似不可能相似.28PEAFDEBE25 25 665 6PAAB6ABBDPABDPAABABBDPAABBDAB 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（）点）点P在第二象限时，根据对称性易知存在点在第二象限时，根据对称性易知存在点P（-4, ），使），使PABBDA,(当然，也可以像当然，也可以像F（）中一样计算得出）中一样计算得出)（）点）点P在在x轴下方时，根据对称性易知存在点轴下方时，根据对称性易知存在点 P（0, ），

14、使），使PABBDA.综上所述，存在点综上所述，存在点P1（6, ）、）、P2（-4, ）、）、P3（0,- ）三点使三点使P、A、B为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABD相相似似.2 22 22 22 2 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录3. （2015 盐城改编盐城改编）如图）如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，中，直线直线y=x+b与抛物线与抛物线y=ax2交于交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点P，点点P的坐标为（的坐标为（0，2），点），点A的到的到y轴的距离为轴的距离为1，点，点Q是是抛物线上的动点抛物线上的动点.（1）求）求A点坐标和抛物线的解析式；

15、点坐标和抛物线的解析式；（2）如图，若点）如图，若点Q在直线在直线AB的的下方，求点下方，求点Q到直线到直线AB的距离的最的距离的最大值大值；第第 3 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（3）如图，若点）如图，若点Q在在y轴左侧，且点轴左侧，且点T(0,t)（t2）是射线是射线PO上一点，当以上一点，当以P，B，Q为顶点的三角形与为顶点的三角形与PAT相相似时，求所有满足条件的似时，求所有满足条件的t的值的值. .第第 3 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录解解：（：（1）直线直线y=x+b经过点经过点P(0，2)，b=2，则，则y=x+2，由题意可得点由题

16、意可得点A的横坐标为的横坐标为-1，y=-1+2=1，点点A的坐标为（的坐标为（-1，1）.抛物线交抛物线交y=ax2经过点经过点A，a=1,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y =x2.第第 3 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（2）如解图，过点）如解图，过点Q作作x轴的垂线轴的垂线QC,交交AB于点于点C，再过点再过点Q作直线作直线AB的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点D，根据条件可知根据条件可知ACO=45,QDC=90，故故QDC为等腰直角三角为等腰直角三角形，则形，则QD= QC.22第第 3 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录设设Q(m,m2),则

17、则C（m,m+2），），QC=m+2-m2=-(m )2+ ,QD= QC= - （m ）2+ - （m- ）2+ .故当故当m= 时，时，点点Q到直线到直线AB的距离最大，的距离最大，最大值为最大值为 ；12222222129412949 289 281222第第 3 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录（3）APT=45，PBQ中必有一个内角为中必有一个内角为45，由题图知，由题图知，BPQ=45不合题意不合题意.解解x+2=x2得得x1=-1,x2=2,故故B（2，4），），如解图，若如解图，若PBQ=45，过点过点B作作x轴的平行线，与抛物线和轴的平行线，与抛物线和y轴

18、分别交于点轴分别交于点Q、F.此时满足此时满足PBQ45.第第 3 题解图题解图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录Q（-2，4），），F(0,4),此时此时BPQ是等腰直角三角形，由题意知是等腰直角三角形，由题意知PAT也是也是等腰直角三角形等腰直角三角形.(i)当当PTA=90时，时，得到：得到：PT=AT=1,此时此时t=1;(ii)当当PAT=90时，时，得到：得到：PT=2,此时此时t=0.第第 3 题解图题解图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录如解图，若如解图，若PQB=45，中是情况之一，答案同上；中是情况之一，答案同上；现以点现以点F为圆心，为圆心，FB为半径

19、作圆，为半径作圆，则则P、B、Q都在圆都在圆F上，上，设圆设圆F与与y轴左侧的抛物线交于另一点轴左侧的抛物线交于另一点Q.则则PQB=PQB=45（同弧所对的圆周角相等），（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点即这里的交点Q也是符合要求也是符合要求.第第 3 题解图题解图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录设设Q（n，n2）(-2n0)，由由FQ2，得，得n2+(4-n2)222,即即n4-7n2+12=0.解得解得n2=3或或n2=4,而而-2n0，故故n-3，即，即Q（-3，3）.可证可证PFQ为等边三角形，为等边三角形，PFQ60，PBQ PFQ30.则在则在PQB中，中，PQB

20、=45，PBQ30.第第 3 题解图题解图 12 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录(i)若若QPBPAT,则过点则过点A作作y轴的垂线，轴的垂线，垂足为点垂足为点E，则，则ATP=30，则则ET= AE= ,AE=1,OT= -1,解得解得t=1- ;3333第第 3 题解图题解图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录(ii)若若QBPPAT,则过点则过点T作直线作直线AB垂线，垂线，垂足为点垂足为点G.则则TAP=30，设，设TG=a,则则PG=TG=a, AG= TG= a, AP= , a +a= ,33322第第 3 题解图题解图 解得解得a= ,则则PT= a= -1

21、,OT=OP-PT=3 ,t=3- .综上所述，所求的综上所述，所求的t 的值为的值为t =1或或t =0或或t =1- 或或t =3- . 333326223 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录4. （2015 鄂州鄂州12分分）如图，在平面直角坐标系）如图，在平面直角坐标系xOy中，中，直线直线y= x+2与与x轴交于点轴交于点A，与，与y轴交于点轴交于点C，抛物线，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是的对称轴是x=- ，且经过，且经过A、C两点，与两点，与x轴的另一交点为轴的另一交点为B.（1）直接写出点）直接写出点B的坐标；求抛物线解析式的坐标；求抛物线解析式.（2）若点）若点

22、P为直线为直线AC上方的抛物线上的一点，连接上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求求PAC面积的最大值，并求出此时点面积的最大值，并求出此时点P的坐标的坐标.（3）抛物线上是否存在点）抛物线上是否存在点M，过点，过点M作作MN垂直垂直x轴于轴于点点N，使得以点，使得以点A、M、N为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相相1232 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录似？若存在，求出点似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由.第第 4 题图题图 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录 解：（解：（1） y= x+2当当x0时，时，y=2,当当y=0

23、时，时，x-4，C(0,2),A(-4,0),由抛物线的对称性可知：点由抛物线的对称性可知：点A与点与点B关于关于x= 对称，对称，点点B的坐标为的坐标为（1，0）.抛物线抛物线 y=ax2+bx+c过过A(-4，0)，B(1,0),可设抛物线解析式为可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),又又抛物线过点抛物线过点C(0,2),2-4a a= y= x2 x+2.1212123232183 尾页尾页首页首页针对演练针对演练 目录目录(2)设设P (m, m2 m+2).过点过点P作作 PQ x轴交轴交AC于点于点Q，如解图，如解图.Q (m, m+2),PQ= m2 m+2-( m+2)= m2-2m,12121232第第 4 题解图题解图 123212 尾页尾页首页首页针对演练针