可测函数的定义及其简单性质学习教案

1、会计学1可测函数的定义及其简单可测函数的定义及其简单(jindn)性质性质第一页，共51页。yi yi-1 )(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题(wnt)：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?第1页/共50页第二页，共51页。注：称外测度为0的集合(jh)为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数第2页/共50页第三页，共51页。可测,afERa可测函数注：Dirichlet函数是简单函数0 1第3页/共50页第四页，共51页。对比：设f(x)为(a,b)上有

2、限实函数， 0( )( , )f xxa b在处连续( ) ( ) ( ),0bax f(x) 在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)Ex 0设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续第4页/共50页第五页，共51页。),()(, 0,)(),(),(aOEOfaxfxfxxx使得对( ,)xxfaOEE即证明：任取xEfa, 则f(x)a,由连续性假设知，( ) x f(x0)+ f(x0) f(x0)- a( ,)xfaxx EGO令( ,)( ,)()()xxfafaxxfax Ex EGEOEOEE另外则G为开集，当然为可测集，且( ,)()xfafaxx EEOEGE所以反

3、之第5页/共50页第六页，共51页。aI a x1 x2 )(|),)(|),(axfxIIEaxfxIIEafaaaaE当当由f单调增知下面的集合为可测集)(|infaxfxIa令证明：不妨设f单调增，对任意aR第6页/共50页第七页，共51页。可测,)2(afERa可测,)3(afERa证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 11111()fafaafanfnnfanfaafbfafbnfanEEEEEEEEEE ),) 1 (可测即afERa定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测第7页/共50页第八页，共51页。)(1111nnafnafnafEEE

4、),(),(),1111nnnnaaa ( a-1/n a)(1111nnafnafnafEEE),(),),(1111nnnnaaa( a a+1/n第8页/共50页第九页，共51页。可测函数关于子集(z j)、并集的性质nnEE1l反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。11,EEE l即:若f(x)是E上的可测函数, 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；第9页/共50页第十页，共51页。若m (Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处(chch)成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）注：

5、在一零测度(c du)集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明(zhngmng)：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 E2上也可测 。第10页/共50页第十一页，共51页。即:若f(x),g(x)是E上的可测函数(hnsh), 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测

6、函数(hnsh)。a-g(x) r f(x)第11页/共50页第十二页，共51页。即:若f(x),g(x)是E上的可测函数(hnsh), 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数(hnsh)。a-g(x) r f(x)第12页/共50页第十三页，共51页。类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。gfE证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密(chum)集 两个性质 a-g(x) r f(x)第13页/共50页第十四页，共51页。类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。gfE证明中利用了

7、 Q是可数集和 R中的稠密(chum)集 两个性质 a-g(x) r f(x)第14页/共50页第十五页，共51页。)(infsup)(inflim)(supinf)(suplim)(inf)()(sup)(xfxfxfxfxfxxfxmnmnnnmnmnnnnn若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。第15页/共50页第十六页，共51页。Sinf下确界： 1111fannfafannEEE比 较 ： ( a-1/n a第16页/共50页第十七页，共51页。从而f (x)是一列(y li)连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f (x)是可测函数.nnnoxxfxfxxfx

8、xfxf11)()(lim)()(lim)( 证明：由于gn(x)第17页/共50页第十八页，共51页。注意：函数列收敛(shulin)与函数列收敛(shulin)于f之间的不同.limlimnnnnEfflimlimnnnnEff证明：发散点全体为 收敛点全体为limlimnnnnff在利用和是可测函数即可再第18页/共50页第十九页，共51页。可测函数f(x)总可表示(biosh)成一列简单函数的极限M mM mM mn 0第19页/共50页第二十页，共51页。证明：要证f( g(x)是可测函数，只要(zhyo)证对任意a， Ef ga=x| f( g(x)a可测即可,g 可测f 连续x|

9、 f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =),(iiiba第20页/共50页第二十一页，共51页。第三章 可测函数(hnsh) 第21页/共50页第二十二页，共51页。 一致收敛:| )()(|, 0, 0 xfxfExNnNn有注：近似地说一致收敛(shulin)是函数列 收敛(shulin)慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn于点点收敛: 记作第22页/共50页第二十三页，共51页。1-0.20.40.60.810.20.40.60

10、.81例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上处处(chch)收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛fn(x)=xn第23页/共50页第二十四页，共51页。即：去掉某个零测度集，在留下的集合(jh)上处处收敛 即：去掉某个小（任意(rny)小）测度集，在留下的集合上一致收敛 Euaffn于.0 ffnE第24页/共50页第二十五页，共51页。注：从定义可看出， 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋

11、于零，而不论点(lndin)集的位置状态如何第25页/共50页第二十六页，共51页。|0,0,0,nffNnNE 有m第26页/共50页第二十七页，共51页。说明(shumng)：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1 n, 2 , 1)(, 0 (1),(0nxfnxnxn 在R+上处处收敛于 f(x)=1 , 所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外第27页/共50页第二十八页，共51页。Euaffn于.即：去掉(q dio)某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 即：去掉 测度集，在留下的集合(jh)上仍不一致收敛 任意 （ ）适当小小第28页/共50页第二

12、十九页，共51页。即：去掉(q dio)任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛 , 0(1),(0)(nxnxnxfn第29页/共50页第三十页，共51页。0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1 f8第30页/共50页第三十一页，共51页。 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3, 说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以(suy)fn(x)在(0,1上处处不收敛；第31页/共50页第三十二页，共51页。

13、例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合(jh) (1-,1),在留下的集合(jh) 上一致收敛1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn第32页/共50页第三十三页，共51页。即：于Euaffn.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 Euaffn于，则.Eeaffn于若.几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫(lu f)定理） 设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， （即：可测函数(hnsh)列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：于Eeaffn. .0 ffnmE即：去掉某个零测

14、度集，在留下的集合上处处收敛 第33页/共50页第三十四页，共51页。,:AxxA有,:AxxA使第34页/共50页第三十五页，共51页。引理：设mE+，fn ，f在E上几乎(jh)处处有限且可测， )(|1|*nfnfEEE证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：0)(0.|111knnffNnNkffnEmmEEeaff于关于N 单调减小第35页/共50页第三十六页，共51页。Eeaffn于若.Effn于，则设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，第36页/共50页第三十七页，共51页。第三章 可测函数(hnsh) 第37页/共50页第三十八页，共51页

15、。问：可测函数(hnsh)是否可表示成一列连续函数(hnsh)的极限？l可测集E上的连续函数定为可测函数第38页/共50页第三十九页，共51页。实变函数(hnsh)的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并） ，闭集EF , 0设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。 （去掉一小测度(c du)集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列（2）任一可测函数差不多就是连续函数第39页/共50页第四十页，共51页。证明：由于mE

16、|f|=+=0 ，故不妨令f(x)为有限(yuxin)函数 (1) 当f(x)为简单函数时， )()(1xcxfiEnii令可测且两两不交）其中iiniEEE,(1第40页/共50页第四十一页，共51页。iniFFx1证明：任取 ciiiF )(0ciiiFxO)(),(0第41页/共50页第四十二页，共51页。说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取(kq)xFi足够小的邻域不含其他Fi 中的点函数在每一块(y kui)上为常值，故在每一块(y kui)上都连续， 但函数在R上处处不连续 QxQRxxD10)(第42页/共50页第四十三页，共51页。(2)当f(x

17、)为有界可测函数时， 存在简单函数列n(x) 在E上一致(yzh)收敛于f(x)，由n(x) 在F连续及一致(yzh)收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。上连续在且使，存在闭集及每个nnnnnFxFEmEFxn)()()(,02利用(1)的结果知第43页/共50页第四十四页，共51页。则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果(ji gu) （连续函数类关于四则运算封闭）)| )(|1)()(| )(|1)()(xgxgxfxfxfxg(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换第44页/共50页第四十五页，共51页。RE 若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g

18、(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立），闭集EF , 0则 及R上的连续函数g(x)第45页/共50页第四十六页，共51页。开集的余集(y j)是闭集 闭集的余集(y j)是开集aibi直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并),(iiicbaF设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续，闭集EF , 0第46页/共50页第四十七页，共51页。1|0,()0(0)ngfnnmEm EFn从而 )()(xgxfini令 ，即得我们所要的结果。 nnnnnnnFEmxfxgFxgEEF11)()(

19、)()(,且上使在上的连续函数，及闭集证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理(dngl)，存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni(x)f(x) a.e.于E，第47页/共50页第四十八页，共51页。说明：若fnf于R， fn连续(linx)，则f的连续(linx)点集是R的稠密集 （参见：实变函数，周民强，p-43）QxQRxnnmxfxm10)()!(coslim(liml虽然我们有 l 但不存在R上的连续函数列 fn 使得fnf于E 第48页/共50页第四十九页，共51页。EE)()(1nnEEEE从而 f(x)在 上可测， 进一步 f(x)在 上可测。 nnEEm1)(n1E