同济大学高等数学七连续函数运算及初等函数连续性学习教案

1、会计学1同济大学同济大学(tn j d xu)高等数学七连高等数学七连续函数运算及初等函数连续性续函数运算及初等函数连续性第一页，共26页。2定理定理(dngl)(dngl)1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如(lr),),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx第1页/共25页第二页，共26页。3问问题题：点不连续，点不连续，在在点连续，点连续，在在、若、若00)()(1xxgxxf点是

2、否连续？点是否连续？在在0 x )()(xgxf点不连续，点不连续，在在不点连续，不点连续，在在、若、若00)()(2xxgxxf点是否连续？点是否连续？在在、0 x )()()()(xgxfxgxf一定不连续一定不连续不一定连续不一定连续点不连续点不连续在在如如00, 10, 1)(,0, 10, 1)(xxxxgxxxf点连续。点连续。在在00)()(xxgxf第2页/共25页第三页，共26页。4点点不不连连续续，在在0,0, 10,sin)(,0, 10,1)(xxxxxgxxxxf点连续。点连续。在在00, 10,sin)()(xxxxxxgxf第3页/共25页第四页，共26页。5定理

3、定理(dngl)2 (dngl)2 严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数连续反函数. .例如例如(lr),2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.),(cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第4页/共25页第五页，共26页。6定理定理(dngl)(dngl)3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim00

4、0 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx第5页/共25页第六页，共26页。7.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来(q li):,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(limxfxx 0第6页/共25页第七页，共26页。8意义意义(yy)(yy)1.极限极限(jxin)符号可以与函数符号互换

5、符号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解第7页/共25页第八页，共26页。9例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 第8页/共25页第九页，共26页。10.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函

6、数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理(dngl)(dngl)4 4注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊的特殊(tsh)(tsh)情况情况. .定理定理(dngl)(dngl)3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若第9页/共25页第十页，共26页。11例如例如(lr),), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函

7、数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理(dngl)(dngl)4 4第10页/共25页第十一页，共26页。12三角函数及反三角函数在它们三角函数及反三角函数在它们(t men)的定的定义域内是连续的义域内是连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在第11页/共25页第十二页，共26页。13定理定理5 5 基本基本(jbn)(jbn)初等函数在定义域内是连续初等函数在定义域内是连续的的. . x

8、y xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续(linx) )定理定理(dngl)6 (dngl)6 一切初等函数在其定义区间一切初等函数在其定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .第12页/共25页第十三页，共26页。141. 初等函数仅在其定义区间初等函数仅在其定义区间(q jin)内连续内连续, 在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;例如例如(lr), 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有这些孤立点的

9、邻域内没有(mi yu)定定义义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1 上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意第13页/共25页第十四页，共26页。15例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx注意注意(zh y)2. 初等函数求极限的方法代入法初等函数求极限的方法代入法.第14页/共25页第十五页

10、，共26页。例 8 求xxax)1 (loglim0 例6 例5 例 7 求xxx11lim20 解 解 xxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx 02011lim20 xxx xxax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1logxxax)1 (loglim0 xaxx10)1 (loglimaealn1log 特别特别(tbi)地地. 1)1ln(lim0 xxx221112xx或第15页/共25页第十六页，共26页。 例7 求求令a x1t 解 xaxx1lim0attatln)1 (loglim0attatln)1 (log

11、lim0 则x=log a(1+t) x0时t0 于是(ysh) 另解:axaeaxxaaxxxlnln11)0(0lnln 时时axaxlnlnlim 原式原式特别特别(tbi)地地. 11lim0 xexx例 9 求xaxx1lim0 =ln a第16页/共25页第十七页，共26页。.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明(shumng): 若若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2第17页/共25页

12、第十八页，共26页。的连续性。的连续性。讨论函数讨论函数例例 0,21010sin)(42xxexxxxxfx；是初等函数，处处连续是初等函数，处处连续）上，）上，解：在（解：在（xxxfsin)(0 续；续；也是初等函数，处处连也是初等函数，处处连）上，）上，在（在（xexfx21)(02 122lim21lim)(lim00200 xxxexfxxxxx处处，在在点点1sinlim)(lim00 xxxfxx),0(1)(lim0fxfx 在定义域上处处连续。在定义域上处处连续。)(xf练习(linx)第18页/共25页第十九页，共26页。20连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的

13、连续性.复合复合(fh)函数的连续性函数的连续性.初等初等(chdng)函数的连续性函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.第19页/共25页第二十页，共26页。21思考题解答思考题解答(jid)21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf第20页

14、/共25页第二十一页，共26页。22一、一、 填空题：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、设、设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),( 上连续上连续 . .练练 习习 题题第21页/共25页第二十二页，共26页。237 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定

15、 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；第22页/共25页第二十三页，共26页。24三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，试证函数，试证函数)(xg在在0 x处也连续处也连续. .第23页/共25页第二十四页，共26页。25一、一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22,0,0,不存在不存在. .二、二、1 1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三、三、eba , 1. .练习题答练习题答案案第24页/