2019学年高二数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破4(1)

1、章末分层突破trtr系的扩充勺绘数的引址數Hlt(flAeR)d+ii=t+ii时址數的JL上E K)何盘文墓半團内叫直复平fit内14ftte 散的宜部，库部叢数的肮注怯创：S 砧叶心砧忙 *i_ _ _自我校对一 12a= c, b= d3z = a biZ(a, b)堂數的四5 血算Sit的魚权加炯:(a+4 i)(f：M/L)-(0,所以 Iog2x 3 工 0, x 30,由得3+ 21 亠3 21x 2 或 x3. x3+?21且XM4时，z 为虚数.再练一题1 .设 i 是虚数单位,10若复数 a厂(a R)是纯虚数，则 a 的值为()3 iC. 1(2)设复数 z 满足i(z+

2、 1) = 3 + 2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是【解析】因为 a生=a-卫亠 =a 曽 =(a 3) i，由纯虚3 I 3 i 3+ i10数的定义，知 a 3= 0,所以 a= 3.相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.例 复数 z= Iog3(x2 3x 3)+ ilog2(x 3),当 x 为何实数时,(1) z R ； (2)z 为虚数.【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解.【规范解答】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0,x 3x 30,所以 Iog2x 3 = 0

3、,x 30,由得 x= 4,经验证满足式.法一：设 z= a+ bi(a, b R),则 i(z+ 1) = i(a + bi + 1) b + (a + 1)i 3+ 2i.的实部是 1.【答案】(1)D (2)1由复数相等的充要条件，得故复数 z 的实部是 1.b 3,解得a1,法二：由 i(z+ 1) 3 + 2i,2+ 3i，故 z 1 + 3i，即复数 z复数的四则运算除法运算注意应用共轭的性质 z为实数. 1W0 (1)设 i 是虚数单位，表示复数 z 的共轭复数.若 z 1 + i，则 z + i()A 2B 2iC.2D. 2i(2) 设复数 z 满足(z 2i)(2 i) 5

4、,贝Uz()A . 2+ 3iB .2 3iC.3+ 2iD .3 2iz【精彩点拨】(1)先求出 z 及 z，结合复数运算法则求解.(2)利用方程思想求解并化简. 彳 _. -i 2 _I【规范解答】(1)vz 1 + i ,二 z 1 i, z= : 1 i ,二？+ i ziiii1 i + i(1 i) (1 i)(1 + i) 2.故选 C.由(z 2i)(2 i) 5,得 z 2i + 2i +5 2十丄.2i + 2+ i 2+ 3i.2 i2 i 2 十 i【答案】(1)C (2)A再练一题复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算,注意把 i 看作一个字母(i2 1),z2 .已

5、知（1+ 2i） z = 4+ 3i，则=的值为（4+ 3i4+ 3i 12i【解析】因为（1+2i）z=4+3i，所以z=両=5 =2-i，所以z 2+ i 2+ i 3 4 z=2+i，所以右= 亍=3+5i.【答案】A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数 z= a+ bi（a，b R）可以用复平面内的点 Z（a，b） 来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等 式（组）求解.2. 复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复 数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要 改变.洌 （1）在复平面内，复数

6、十对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限1 2i（2）在复平面内，复数2+7 对应的点的坐标为（）A . （0， 1）B . （0,1）434 3C.5，5D. 5, 5【精彩点拨】 先把复数 z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标.【规范解答】（1）复数十=J , =中=I+弓.1 + i 1 + i 1 i 222I 1复数对应点的坐标是 2，2 .3 4.i5 5i3 4.55i复数占在复平面内对应的点位于第一象限故选 A.(2) 12-=异2二=i，其对应的点为(0，1)，故选 A.【答案】(1)A (2)A再练一题3. (1)已知复数 z 对应的向量

7、如图 4-1 所示，则复数 z+ 1 所对应的向量正确的若 i 为虚数单位，图 4-2 中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 1 + -的点T2F1:-2 -12-3 10-21!3图 4-2A.EC. G【解析】(1)由题图知，z= 2+ i，二 z+ 1 = 2+ i + 1 = 1 + i，故 z+ 1对 应的向量应为选项 A.z3+ i 3+ i 1i 42i(2)由题图可得 z= 3+ i，所以 1+i = 1+i = 1 + i 1i =厂=2i，则其在复平面上对应的点为 H(2, 1).【答案】(1)AD主题4图 4-1转化与化归思想一般设出复数 z 的代数形式，即 z=

8、x + yi（x, y R），则涉及复数的分类、几 何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x, y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.1 1例 设 z C，满足 z+1 R，z-4 是纯虚数，求乙【精彩点拨】本题关键是设出 z 代入题中条件进而求出 z.【规范解答】设 z= x+yi（x，y R），则11xyz+一= x+yi += x+2丄、,2+ y2丄 i，zyx+yi x + y7x + y z+R，二 yx+u0,解得 y=0 或 x2+y2=1，1 11又 z 4= x+ yi 4= x 4 + yi 是纯虚数.1 c.x4 =0，卄0

9、，二 x= 4，代入 x2+=1 中，求出 y= 45复数 z=4 屮再练一题54.满足 z+ 5 是实数，且 z+ 3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存在？若存 在，求出虚数 z;若不存在，请说明理由.解 设虚数 z= x+yi（x，y R，且卄0），5.55x贝 U z+ = x+ yi += x+ +z7x+ yi x + y5y -y P2= 0，x + yx+ 3= y，y x+ysi，z+ 3= x+ 3+yi.由已知，得或x=2,因为 yM0，x2+ y2= 5，x= 1，所以解得x+ y= 3，y= 2A. iB. 1 + i所以存在虚数 z= 1 2i 或 z= 2 i

10、 满足题设条件.1.(2019 全国卷 U )设复数 z 满足 z+ i = 3 i，贝 U z =()A . 1 + 2iB . 1 2iC. 3+ 2iD . 3 2i【解析】 由 z+ i = 3 i 得 z= 3 2i，二 z = 3+ 2i，故选 C.【答案】C2.（2019 广东高考）若复数 z= i（3 2i）（i 是虚数单位），则 7 =（）A . 2 3iB . 2+ 3iC. 3+ 2iD . 3 2i【解析】Tz= i(3 2i) = 3i 2i2= 2 + 3i，二 7 = 2 3i.【答案】Az3.（2019 山东高考）若复数 z 满足 一=i，其中 i 为虚数单位，

11、则 z=（）1 iA. 1 iB. 1 + iC. 1 iD. 1 + i【解析】由已知得 z = i(1 i) = i + 1，则 z= 1 i，故选 A.【答案】A4. (2019 全国卷I)设(1+ 2i)(a+ i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a= ()A . 3B . 2C. 2D. 3【解析】(1 + 2i)(a+ i) = a 2+ (1 + 2a)i，由题意知 a 2= 1 + 2a，解得 a=3，故选 A.【答案】AW展层册接焉冬A. iB. 1 + i5. （2019 北京高考）复1 + 2i2 i =()C. iD. 1 i【解析】1+2i 1+2i 2+i5

12、i .i2i2i 2+i5【答案】A6. （2019 四川高考）设 i 为虚数单位，则复数（1 + i）2二（）A . 0B . 2C. 2iD . 2+ 2i【解析】【答案】(1 + i)2 1 + 2i + i2 2i.C7. （2019 天津高考）i 是虚数单位，复数z 满足（1 + i）z= 2,贝 U z 的实部为【解析】2因为（1 + i）z 2，所以 z 1 + i 1 i，所以具实部为 1.【答案】18. （2019 江苏高考）复数 z= （1 + 2i）（3 i），其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是【解析】因为 z= （1+ 2i）（3 i）= 3 i + 6i 2i2=

13、 5+ 5i，所以 z 的实部是 5.【答案】5章末综合测评（四）数系的扩充与复数的引入（时间 120 分钟，满分 150 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知 a，b C,下列命题正确的是（）A. 3i0【解析】A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当 a，b R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|= +今，但 i 舟+今13C. iD. 1 i或 2 一2,； D 选项中，当 a R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2= 10,b2+ 4b 5_ (b 2)2

14、 10.复数对应的点在第四象限.故选D.【答案】D10. 如果复数 z_3+ ai 满足条件|z 2|2,那么实数 a 的取值范围是()A . ( 2 2, 2 2)B . ( 2,2)C. (1,1)D. ( 3,3)【解析】因为|z 2|_ |3+ ai 2|_ |1+ ai| _1 + a22,所以 a2+ 14,所以 a23,即,/ 3 a 0,则 z 是实数B .若 z20，则 z 是虚数C.若 z 是虚数，则 z20D .若 z 是纯虚数，则 20【解析】 设 z= a+ bi(a, b R),即 z 为实数，正确.虚数，正确.选项 C,若 z 为虚数，则 bM0, =(a+ bi

15、)2= a2 b2+ 2abi, 由于 a 的值不确定，故 z2无法与 0 比较大小，错误.a= 0,c选项 D，若 z 为纯虚数，则则 z b20，正确.bM0,【答案】C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线13.(2019 重庆高考)设复数 a + bi(a, b R)的模为 3，则(a + bi)(a bi)=选项A,2=故 b= 0 或 a, b 都为 0,选项 B, z2= (a+ bi)2= a2 b2+ 2abi0，则ab= 0,a2b2,a= 0,则 bM0,故 z 一定为ab= 0,【解析】I|a+ bi|= a2+ b2= ,3

16、,：(a+ bi)(a bi) = a2+ b2= 3.【答案】3a 丰 i14. a 为正实数，i 为虚数单位， =2,则a=_【解析】字二字_二 1-ai,a Li则一 i = |1 ai| = a2+ 1 = 2,所以 a2= 3.又 a 为正实数，所以 a= 3.【答案】，311 7i15._ 设a, b R, a bi=(i 为虚数单位)，则 a b 的值为_ .11 7i 11 7i 1+ 2i25+ 15i【解析】a+ bi = 5+ 3i，依据复数相等的1 2i 1 2i 1 + 2i 5充要条件可得 a 5, b 3.从而 a+ b 8.【答案】816. 若复数 z 满足|z

17、 i| ,2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为_.【解析】 设 z x+ yi(x, y R),则由 Z i| . 2 可得 x2+ y 12 2,即 x2+ (y1)22,它表示以点(0,1)为圆心，.2 为半径的圆及其内部，所以 z 在复平面 内所对应的图形的面积为 2n【答案】2n三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)17. (本小题满分 10 分)计算：(1)( 2+ 2i)2(4+ 5i);2+ 1i2 016【解】(1)( .2+ 2i)2(4 + 5i) 2(1 + i)2(4 + 5i)4i(4 + 5i

18、) 20+ 16i.2 + 2iL +220191 + i=1 + i + (-i)1 008= 1 + i +1 = i.18 .(本小题满分 12 分)已知关于 x , y 的方程组将 x, y 代入得(5 + 4a) (6 + b)i 9 &,5+ 4a 9, 所以6+ b 8,所以 a 1, b 2.19. (本小题满分 12 分)实数 k 为何值时，复数 z (k2 3k4)+ (k2 5k 6)i是：(1)实数；虚数；纯虚数；0.【解(1)当 k2 5k6 0, 即卩 k 6 或 k 1 时，z 是实数.当 k2 5k 6 工 0, 即卩 kM6 且 k 1 时，z 是虚数

19、.20. (本小题满分 12 分)已知复数 z 满足|z . 2, z2的虚部是 2.(1) 求复数 z;设 z, z2, z z2在复平面上的对应点分别为 A, B, 6 求厶 ABC 的面积.【解(1)设 z a+ bi(a, b R)，贝 U z2 a2 b2+ 2abi，由题意得 a2+ b22 且 2ab 2,解得 a b 1 或 a b 1，所以 z 1 + i 或 z 1 i.(2) 当 z 1 + i 时，z2 2i, z z2 1 i，所以 A(1,1), B(0,2), C(1, 1),所以SxABC 1.当 z 1 i 时，z2 2i, z z2 1 3i，所以 A( 1

20、, 1), B(0,2),C( 1,2x 1 + i = y 3 y i，2x+ ay 4x y+ b i = 9 &,有实数解，求实数 a, b 的值.解由得2x 1= y,y 3= 1,5x 解得2,y4,k2 3k 4 0,当 k2 5k 6 工0,即 k 4 时，z 是纯虚数.k2 3k 4 0,当 k2 5k 60,即 k 1 时，z 是0.3),所以 SAABC 1.21. (本小题满分 12 分)已知复数 Z1 5i, z2 , 2 . 3i, Z3 2 i, Z4 .5在复平面上对应的点分别是 A, B, C, D.求证：A, B, C, D 四点共圆；(2)已知AB=

21、 2AP,求点 P 对应的复数.【解】证明：T|Z1|= |Z2|=|Z3|= |Z4|= 5,即 |0A|= |0B 匸 |0C 匸 |0D|, A, B, C, D 四点都在圆 x2+y3 4= 5上，即 A, B, C, D 四点共圆.(2) - A(0,5), B( .2,- 3), AB= ( 2,- 3- 5).设 P(x, y),则 AP= (x, y 5),若 AB= 2 AP,那么(2, 3 ,5) = (2x,2y 2 5),.炉 2x,3 ,5= 2y 2 5,x 2 ,解得 -V5/3y=,点 P 对应的复数为#+5?,3j.22. (本小题满分 12 分)设 0 为坐

22、标原点，已知向量 OZi, 0IZ2 分别对应复数32zi, Z2,且 zi=: +(10 a2)i, Z2= + (2a 5)i, a R.若 zi+ Z2可以与任意a 十 5I a实数比较大小，求 0 乞 0 刁2的值.3解由题意，得 z1= a+5 (10 a2)i,则71+ z2= -+ (10 a2)i +a + 5+ (a2+ 2a 15)i.因为 z1+ z2可以与任意实数比较大小, 所以?1+ z2是实数，21+(2a5)i所以 a2+ 2a 15 = 0,解得a= 5或 a= 3.3又因为 a+ 5 工 0,所以 a = 3,所以 zi= + i, z2= 1 + i.Q 所

23、以 o 刁1= 8，i，o 刁2=(i,i).所以 O 艺 0 乞=3X(1)+ ix1 = 8.模块综合测评（时间 120 分钟，满分 150 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （2019 湖北高考）i 为虚数单位，i607的共轭复数为（）A. iB. iC. 1D . 1【解析】 因为 i607= i4x151+3= i3= i，所以其共轭复数为 i，故选 A.【答案】A2根据二分法求方程 X2 2= 0 的根得到的程序框图可称为（）A.工序流程图B .程序流程图C.知识结构图D .组织结构图【解

24、析】 由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为 程序流程图.【答案】B3.下列框图中，可作为流程图的是（）【解析】流程图具有动态特征，只有答案 C 符合.【答案】CA.整数指数幕有理指数幕-无理指数幕B.随机事件-找书 阅览 借书 出库 还书推理图像与性质定义频率 概率C.入库4. （2019 安庆高二检测）用反证法证明命题“ a, b N ,如果 ab 可被 5 整除”，那么 a，b 至少有一个能被 5 整除.贝 M 假设的内容是（）A. a, b 都能被 5 整除B. a, b 都不能被 5 整除C. a 不能被 5 整除D. a, b 有一个不能被 5 整除【解析】“至

25、少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a, b 都不能 被 5整除”.【答案】B5. 有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数 是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A .大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D .非以上错误【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提 一一已知的一般原理；小前 提一一所研究的特殊情况；结论 一一根据一般原理对特殊情况作出的判断.此题 的推理不符合上述特征，故选 C.【答案】C6.（2019 安徽高考）设 i 是虚数单位，则复数 尹在复平面内所对应的点位于I i（）A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限【解析】二

26、2i 1t二書丄二一 1 + i，由复数的几何意义知一 1 + i1 - i 1- i 1 + i2在复平面内的对应点为（一 1,1）,该点位于第二象限，故选 B.【答案】B7.考察棉花种子是否经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：种子处理种子未处理总计得病32101133不得病61213274总计93314407根据以上数据，贝 u ()A 种子经过处理跟是否生病有关B种子经过处理跟是否生病无关C 种子是否经过处理决定是否生病D以上都是错误的【答案】B8.给出下面类比推理：1“若 2a2b，则 ab”类比推出“若 a2b2，贝 U a0,贝 U ab”类比推出“ a，b C，若 a b0,贝

27、U ab(C 为复数集)”.其中结论正确的个数为()C. 3D. 4【解析】 显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以错误，正确， 故选 B.【答案】B9. (2019 全国卷I)执行下面的程序框图 1,如果输入的 t= 0.01，则输出的 n【解析】32101计算 93 与帀可知相差很小，故选B.开姑1 !输人JS= 1i1I1T 否 / 二/一義图 iA. 5B. 6C. 7D. 8【解析】 逐次运行程序，直至输出 n.运行第一次：1 1S= 1 2= 2= 0.5, m= 0.25, n= 1, S0.01;运行第二次：S= 0.5 0.25= 0.25, m= 0.125, n = 2

28、, S0.01;运行第三次：S= 0.25 0.125= 0.125, m= 0.062 5, n = 3, S0.01;运行第四次：S= 0.125 0.062 5= 0.062 5, m= 0.031 25, n = 4, S0.01;运行第五次：S= 0.031 25, m= 0.015 625, n = 5, S0.01;运行第六次：S= 0.015 625, m= 0.007 812 5, n= 6, S0.01;运行第七次：S= 0.007 812 5, m= 0.003 906 25, n = 7, S0”是 “P, Q, R 同时大于 0” 的（）A .充分不必要条件B .必要

29、不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 必要性显然成立；PQR0,包括 P, Q, R 同时大于 0,或其中两个 为负两种情况.假设 P0, Q0，则 P+ Q = 2b0，这与 b 为正实数矛盾.同理当 P, R 同时小于 0 或 Q, R 同时小于 0 的情况亦得出矛盾，故 P, Q, R 同时大于 0, 所以选 C.【答案】C12. 有人收集了春节期间平均气温 x 与某取暖商品销售额 y 的有关数据如下表：平均气温/c2356销售额/万元20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额 y 与平均气温 x 之间线性回归 方程y= bx+ a 的系数 b= 2.

30、4,则预测平均气温为一 8C时该商品销售额为（）A . 34.6 万元B . 35.6 万元C. 36.6 万元D . 37.6 万元20+ 23+ 27 + 30y =4=25，所以这组数据的样本中心点是（-4,25）.因为 b= 2.4,把样本中心点代入线性回归方程得a= 15.4,所以线性回归方程为 y= 2.4x+ 15.4.当 x= 8 时，y= 34.6.故选 A.【答案】A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线13. 已知复数 z= m2(1 + i) m(m+ i)(m R),若 z 是实数，则 m 的值为解析】 z= m2+ m2i

31、 m2 mi = (m2 m)i,二 m2 m= 0,二 m= 0 或 1.【答案】0 或 114.在平面几何中， ABC 的/C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比 AE| : |EB|=|AC| : |CB|（如图 2）,把这个结论类比到空间，如图 2，在三棱锥 A BCD 中， 平面 CDE 平分二面角 A CD B 且与 AB 相交于 E,结论是_ .【解析】 依平面图形与空间图形的相关元素类比，线段之比类比面积之比.【答案】 SAACD:S BCD= AE2: EB215. （2019 山东高考）执行下边的程序框图 3,若输入的 x 的值为 1,贝 U 输出的 y的值是_ .【

32、解析】 当 x= 1 时，12，则 x= 1 + 1= 2;当 x= 2 时，不满足 x6.635)0.010, P(X7.879)0.005)【解】由列联表中数据可得又 P（X6.635）0.010,所以在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下，认为高血压与患心脏病有关系.19. （本小题满分 12 分）已知 a2+ b21，x2+ y21，求证：ax+ by 1（分别用综合法、分析法证明).17.（本小题满分 10 分）（2019 哈尔滨高二检测）设1 4i 1 + i + 2+ 4i3+4i，求解2_X110X20X5010X-30X80X50X607.486.【证明】 综合法： 2a

33、x a2+ x2,2by b2+ y2, 2(ax+by)w(a2+b2)+(x2+y2).又Ia2+ b21，x2+ y21，2(ax+ by)w2,二 ax+ by 1.分析法：要证 ax+ by 0,只要证 2 2ax2by0,又 a6 7+ b2= 1, x2+ y2= 1,只要证 a2+ b2+ x2+ y2 2ax 2by0,即证(a x)2+ (b y)2 0,显然成立.20. (本小题满分 12 分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先 受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意， 则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈 信息