一元二次不等式解法

1、3.2 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法不等式的性质不等式的性质对称性对称性 ab传递性传递性 ab，bc可加性可加性 ab推推 论论移项法则移项法则 a+cb同向可加同向可加 ab，cd可乘性可乘性 ab,推推 论论同向同向正正可乘可乘ab0，cd0可乘方可乘方 ab0可开方可开方 ab0(n R+)(n N)bb+cab-ca+cb+dacacbcc0c0acbnnnba acbd解法一解法一：代数法：利用不等式的基本性质求解不等式：代数法：利用不等式的基本性质求解不等式的方法。的方法。引例引例1：解一元一次不等式：解一元一次不等式 2x70 xyo3.5方法二方法二：图像法：利用

2、函数图象求解不等式的方法。：图像法：利用函数图象求解不等式的方法。一、复习引入一、复习引入 某同学要把自己的计算机接入因特网某同学要把自己的计算机接入因特网. .现有两家现有两家ISPISP公司可供公司可供选择选择. .公司公司A A每小时收费每小时收费1.51.5元元; ;公司公司B B的收费原则如下的收费原则如下: :在用户上网在用户上网的第的第1 1小时内收费小时内收费1.71.7元元, ,第第2 2小时内收费小时内收费1.61.6元元, ,以后每小时减少以后每小时减少0.10.1元元( (若用户一次上网时间超过若用户一次上网时间超过1717小时小时, ,按按1717小时计算小时计算).

3、). 一般来说一般来说, ,一次上网时间不会超过一次上网时间不会超过1717小时小时, ,所以所以, ,不妨假设一不妨假设一次上网时间总小于次上网时间总小于1717小时小时. .那么那么, ,一次上网在多长时间以内能够保一次上网在多长时间以内能够保证选择公司证选择公司A A比选择公司比选择公司B B所需费用少所需费用少? ? 解解: :假设一次上网假设一次上网x x小时小时, ,则公司则公司A A收取的费用为收取的费用为1.51.5x( (元元),),公司公司B B收取的费用为收取的费用为1.71.7x+ +x( (x-1)-1)(-0.1)/2=(-0.1)/2=x(35-(35-x)/20

4、()/20(元元).). 如果能够保证选择公司如果能够保证选择公司A A比选择公司比选择公司B B所需费用少所需费用少, ,则则 x(35-(35-x)/20 )/20 1.51.5x (0(0 x 17).17).整理得整理得 x2 - 5x 0解得解得 0 x 0(a0) ax2+bx+c0)的图象的图象ax2+bx+c=0(a0)的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集0有两相异实根有两相异实根x1, x2 (x1x2)x|xx2x|x1 x x2 =00 解：整理，得解：整理，得 x2 - 2x + 3 0因为因为= 4 - 12 = - 8 0+

5、10解解: :由于由于4 4x2 2-4-4x+1=(2+1=(2x-1)-1)2 200题题3 3：解不等式：解不等式 -3x-3x2 2+6x2+6x2 题题4：解不等式：解不等式 22520 xx三、小试牛刀三、小试牛刀2. 解不等式解不等式 (1) 4x2+4x+10 (2) x2 +x +103. 若若0a1,则不等式则不等式(xa)(x )0的解集是的解集是 .(2) x29的解集是的解集是 .(3) x2-3x-40的解集是的解集是 .(4) (x-1)(2-x) 0的解集是的解集是 .x x3x 1 x 2 x x-1或或x4x -3x0); 计算计算 判别式判别式;并求其根并

6、求其根 由图象写出解集由图象写出解集. 画出画出 的图象的图象四、精炼方法四、精炼方法2 2a ax x + +b bx x + +c c = = 0 02 2y y = = a ax x + +b bx x + +c c = = 0 0五、思维提升五、思维提升例例2.已知一元二次不等式已知一元二次不等式ax2+bx+60的的解集为解集为x -2x3 ，求，求a，b的值。的值。方法精炼方法精炼：一元二次不等：一元二次不等式的解集由相应一元二次式的解集由相应一元二次方程的根来方程的根来界定界定，反之反之，已知一元二次不等式的解已知一元二次不等式的解集，可获得相应一元二次集，可获得相应一元二次方程

7、的根。方程的根。解解:由题意得由题意得,a0,且方程且方程ax2+bx+6=0的两根分别为的两根分别为-2和和3,a a 0 0b b - -= = 1 1a a6 6= = - -6 6a aa a = = - -1 1解解得得b b = = 1 13.已知一元二次不等式已知一元二次不等式 ax2bx10 的解集为的解集为x|2x1，求，求 a，b 的值的值.解：解：ax2bx10 的解集为的解集为x|2x1，a0，且，且2 和和 1 是方程是方程 ax2bx10 的两根的两根.（2 2）已知不等式）已知不等式 ，其解集，其解集是是 ，则不等式则不等式 的解集是的解集是? ? 2 2x x

8、- - a ax x - -b b 0 0 x x 2 2 x x 0 01 11 1x x - - x x - -2 23 3要求得不等式要求得不等式cxcx2 2-bx+a0-bx+a0的解集，需要做三件事，的解集，需要做三件事，(1)(1)确定确定c c的正负情况；的正负情况；(2)(2)求得与不等式相对应的方程求得与不等式相对应的方程cxcx2 2- -bx+abx+a0 0的根；的根；(3)(3)比较方程比较方程cxcx2 2-bx+a-bx+a0 0两根的大两根的大小而以上三件事的解决，可通过开发题设的内涵来小而以上三件事的解决，可通过开发题设的内涵来完成完成【例例2】 若不等式若

9、不等式 ax2bxc0 的解集为的解集为x|3x4，求不等式求不等式 bx22axc3b0 的解集的解集.思维突破：思维突破：可先判断二次项系数的符号，然后根据三个可先判断二次项系数的符号，然后根据三个“二二次次”之间的关系求字母的取值，再进一步求解之间的关系求字母的取值，再进一步求解.解：解：ax2bxc0 的解集为的解集为x|3x4，a0，且，且3 和和 4 是方程是方程 ax2bxc0 的两根的两根.由一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系，不等式不等式 bx22axc3b0 即为即为ax22ax15a0，a0，即即 x22x150，解得，解得3x5.所求不等式的解集为

10、所求不等式的解集为x|3x5.五、思维提升五、思维提升解解: : 原不等式可化为：原不等式可化为： ( -2 )( -3 )0 xa xa 例例3 3、解不等式解不等式22-560(0)xaxaa023aaa由知变式：变式：解关于解关于x x的不等式的不等式2-(1)1 0axax 23 ,0aaa当即时， 原不等式的解集为：原不等式的解集为： 2 ,3x xaxa或23 ,0aaa当即时， 原不等式的解集为：原不等式的解集为： 3 ,2x xaxa或相应方程相应方程 的两根为的两根为122 ,3xa xa相应方程相应方程 的两根为的两根为( -2 )( -3 )0 xa xa 122 ,3x

11、a xa( -2 )( -3 )0 xa xa 解关于解关于x的不等式的不等式ax2(a1)x10，满足题意，满足题意（2）若）若k0，则应满足，则应满足k0=(-6k)2-4k(k+8)0解得解得k0-1k100的解集是全体实数的的解集是全体实数的条件是条件是_. a0时，时，b-4ac0.-71100.显然显然0, 方程方程x2 2+9x-7110=07110=0有两个实数根有两个实数根,即即x1-88.94-88.94, x279.9479.94 画出函数画出函数y= =x2 2+9+9x-7110-7110的图的图象象, ,由图象得不等式的解集为由图象得不等式的解集为 x| |x -8

12、8.94, 79.94 79.94 在这个实际问题中在这个实际问题中, ,x0,0,所以这辆所以这辆汽车刹车前的车速至少为汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.79.94km/h. 例例1 1 汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车汽车在行驶中由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为段距离称为“刹车距离刹车距离”，它是分析交通事，它是分析交通事故的一个重要因素故的一个重要因素. .在一个限速在一个限速40km/h40km/h的弯道的弯道上，甲、乙两汽车相向而行，发现情况不对上，甲、乙两汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰

13、了同时刹车，但还是相碰了. .事发后现场测得甲事发后现场测得甲车的刹车距离略超过车的刹车距离略超过12m12m，乙车的刹车距离略，乙车的刹车距离略超过超过10m10m，已知甲、乙两种车型的刹车距离，已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)s(m)与车速与车速x(km/h)x(km/h)之间分别有如下关系：之间分别有如下关系： 0.1x0.1x0.01x0.01x2 2， 0.05x0.05x0.005x0.005x2 2. . 问超速行驶谁应负主要责任？问超速行驶谁应负主要责任？S甲S乙乙超速行驶应负主要责任乙超速行驶应负主要责任. . 例例4 4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线一个

14、车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线, ,这条这条流水线生产的摩托车数量流水线生产的摩托车数量x(x(辆辆) )与创造的价值与创造的价值 y(y(元元) )之间有如下的之间有如下的关系关系: : y = -= -2 x2 + 220 x. . 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60006000元以上元以上, ,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? ? 解解: :设在一个星期内大约应该生产设在一个星期内大约应该生产x x辆摩托车辆摩托车. .根据题意根据题意, ,得到得到 -2-2x2 +

15、 220+ 220 x 60006000 移项整理移项整理, ,得得 x2 - 110- 110 x + 3000 + 3000 0,0,所以方程所以方程 x2-110-110 x+3000=0+3000=0有两个实数根有两个实数根 x1 1=50, =50, x2 2=60.=60. 由函数由函数y= =x2-110-110 x+3000+3000的图象的图象, ,得不等式的解为得不等式的解为5050 x60.60. 因为因为x只能取整数只能取整数, ,所以当这条摩托所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在车数量在5151辆到辆到5959辆之

16、间时辆之间时, ,这家工厂这家工厂能够获得能够获得60006000元以上的收益元以上的收益. .分析：开口向下，且与分析：开口向下，且与x轴无交点轴无交点 。 解：由题目条件知：解：由题目条件知： (1) a 0，且，且 0. 因此因此a -1/3。（2）a = 0时，不等式为时，不等式为-x-1 0 不符合题意。不符合题意。综上所述：综上所述：a的取值范围是的取值范围是31| aa1.2.3.设设ab,解关于解关于x的不等式的不等式ax+b(1-x) ax-b(1-x).不等式可化为（不等式可化为（(a+b)2x2-(a+b)2x0.解下列不等式解下列不等式2x-a2；b2； b=2三种情况

17、三种情况变式探究变式探究3不等式 0的解集 是_解析：用数轴标根法答案：x(1,12,3【例4】已知函数f(x)mx2mx1，若对于m2,2，f(x)m5恒成立，则x的取值范围是_思路点拨：思路点拨：将f(x)m5变为mx2mxm60，这是关于x的不等式，将其转化为关于m的不等式m(x2x1)60，可以用一次函数的单调性求解解析：将f(x)m5变为m(x2x1)60，则命题等价于m2,2时，g(m)m(x2x1)60恒成立x2x10，g(m)在2,2上单调递增，只要g(2)2(x2x1)60，即x2x20，解得1x2.答案：(1,2)解解闯关四：及时演练，强化提升解题技能闯关四：及时演练，强化

18、提升解题技能2.已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数c 的值为_解析：f(x)x2axb 的值域为0，)，0，ba240，f(x)x2axa24xa22.又f(x)0) 的实根分布问题的实根分布问题f(x)=0的根的根记记 f(x)=ax2+bx+c(a0)两个正根两个正根两个负根两个负根一正一负两根一正一负两根充要充要条件条件1=b2- -4ac0. x1+x2=- - 0 abacx1x2= 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0 2ab充要充要条件条件2=b2- -4ac0. x1+x2=- -

19、 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0 2abc0) 的实根分布问题的实根分布问题f(x)=0的根的根记记 f(x)=ax2+bx+c(a0)两根小于两根小于k一根大于一根大于k一根小于一根小于k两根大于两根大于k充要充要条件条件1kk1x2xk =b2- -4ac0 f(k)0. - - k 2abf(k)0. - - k 2abf(x)的图象的图象一元二次方程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的实根分布问题的实根分布问题f(x)=0的根的根记记 f(x)=ax2+bx+c(a0)两根在两根在(m,n)内内恰好只有一根在恰好只有一根在(m,n)内内充要充要条件条件xy01x2x mnxy01x2x mnxy01x2x mnf(m)0 =b2- -4ac0 m - - 0. f(m)f(n)0, 或或f(m)=0 m - - , 2abm+n 2 - - n. 2abm+n 2f(n)=0 或或 思考思考 方程的两根有且只有一个在区间方程的两根有且只有一个在区间m, n上时