2019-2020年高中数学 3.2 二倍角的三角函数教案2 苏教版必修4

1、2019-20202019-2020 年高中数学 3.23.2 二倍角的三角函数教案 2 2 苏教版必修 4 4三维目标1知识与技能(1) 能用倍角公式推导出半角公式(2) 能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换(3) 会用三角函数解决一些简单的实际问题2过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识3情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，

2、提高逆用思维的能力重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用难点：运用所学公式解决简单的实际问题(教师用书独具)教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角QQ的三角函数值，表示角的三角函数值”.在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程教学流程I 创设问题情境，引导学生推导出降幕公式与半角公式，并总结公式的特点及作用 In通过例 1 及其互动探究，使学生掌握利用降幕公式进行三角函数式的化简

3、与证明的方法通过例 2 及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法n通过例 3 及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法 n归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.授方略流程细解用“敎案”教案设计区4靜谕自主导学自主学习区I课标解读1. 能用二倍角公式导出半角公式.2.能运用所学三角函数的公式进行简单的恒等变换.（重点）3.会用三角函数解决一些简单的实际问题.（难点）理敎材自查自测固基础降幕公式与半角公式问题导思】已知 cos提示】.asin2(1)降幕公式a1cosasin29=2a的值，如何

4、求 siny 的值？aa1cosa由 cosa=12sin22 得 sin=2，1cosacos21+cosa2.asin2a21cosatan2c=2a1+cosacos2(2)半角公式sincostan即=1cosasina1cosa1+cosa1+cosasina总互动探究破疑难师生互动提“知能”合作探究区I三角函数式的化简与证明化简 cos2（Q+15）+cos2（Q15）专 cos2Q.此式中出现了Q+15，Q15与 2Q，要达到角的统一向角2Q进行转化，因此，可考虑降幕公式.3cos2（Q+15）+cos2（Q15）cos2Qcos2Q【思路探究】Q+15,Q15自主解答】1+co

5、s2e2+1+ccs2Q1 行。十 213=1+2cos(2Q+30)+cos(2Q30)_cos2Q需将角=l+(cos20cos30sin20sin30+cos20cos30+sin20sin30)乎 cos2013=1+X2cos20cos302COS20=l+cos20斗cos20=1.1应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”2三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的3如将本例改为“sin2(0+15)+sie(015)+专 cos20”，如何化简?10+13=12C

6、OS(20+30)+cos(2030)+cos20=12(2cos20cos30)+于 cos2033 门=1 一丁 cos20+亍 cos20=1.利用和、差、倍角公式研究函数的性质=3 为;3+4sin(号2x)=34sin(2x3)【解】原式=1_cos20+30。求函数 f(x)=i3cos2x+3sin2X4sinxcosx,n7n24的最小值，并求其单调减区间【思路探究】化简 fx的解析式fx=A.wx+BfSTT1Wx+0的范围f 求最小值，单调减区间【自主解答】f(x)=5 込吐尸+丽=3；3+2；3cos2x2sin2x=3；3+4(乎 cos2x-*sin2x)1cos2x

7、22sin2x=3/3+4(sinn3cos2xcos詈 sin2x).:当 2x3=4，即 x=24 时，f(x)取最小值为 32：2.Vy=sin(2x3)在吟，詈上单调递增,1研究函数性质的一般步骤：(1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质2对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；b利用 f(x)=asinx+bcosxnja2+b2sin(x+g)(其中 tan0=_)，化同名函数.(xx济宁高一检测)已知函数 f(x)=2cos2x+2J3sinxcosx+3，xeR.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在(0

8、,号上的最小值与最大值.【解】(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx+3=cos2x+；3sin2x+4=2sin(2x+*)+4.所以函数 f(x)的最小正周期丁=譽=n./、_nn,n_5n(2)T0VXW77，V2X+7TW 丁，3666nn5n当 x=3 时，2X+6=，函数 f(x)取得最小值为 5.当 x=6 时，2x+6=-，函数 f(x)取得最大值为 6.三角函数的实际应用点 P 在直径 AB=1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT,且 PT=1,ZPAB=a，问a为何值时，四边形 ABTP 的面积最大？【思路探究】 首先根据题意画出图形， 然后根据圆的几何性质

9、和四边形面积的求法将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决.【自主解答】如图，TAB 为直径，ZAPB=90,PA=cosa，PB=sina.又 PT 切圆于 P 点，7n24上单调递减./n、1.ZTPB=ZPAB=a,1cos2a2a+解决实际问题时，应首先设定主变量角a以及相关的常量与变量，建立含有角a的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决某工人要从一块圆心角为 45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为 1m求割出的长方形桌面的最大面积为.【解析】如图，连结 0C,设

10、 ZC0B=6，则0645,0C=1,TAB=OBOA=cos6AD=cos6BC=cos6sin6，S=ABBC=(cos6sin6)sin6矩形ABCD=sin26+sin6cos6=2(1cos26)+jsin26=2(sin26+cos26)2/cn、1=cos(26),当26-号=0,即6=n 时，字血）,三角函数式化简时忽视角的范围致误.S=SS四边形ABTPPABPB+fpTPBsina=|sinacosa+*sin2a=*sin=4(sin2a-cosTOVa-y,1 寸 2/n.,12a)+=sin(2a才)+4.n3n7Tn丁2a当2a-号 2n，即当a晋时，四边形 ABT

11、P 的面积最大，最大为1土严m，Smax.割出的长方形桌面的最大面积为2m2.【答案】迸1m2易找易误辨析巧分辨解疑辨誤避“陷P井”技能提升区I已知3na2n,=TPB化简 2+22+2cos-i,i.1,12+22+2cosQ【错因分析】上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式防范措施】应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝【错对值符号时，要注意角的范围问题所以3na3n3nan因为2a2n，所以育才 Vq,所以 sin 牛0,所以原式=sin 乍51cos2a(1)二倍角余弦公式变形用来升幕降幕，应灵活掌握：sin

12、123a2，cos2a=1+cos2a22解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用3对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入呼双基达标随堂练笠.主互动达“双标”交流学习区451.若 cosa=3，且aw（o，n），则 siny 的值为【解析】Vaw(0，n)，育丘(0，步，32 已知 cosa=匚，且 nVa53【解析】VnVa0n,.cos.sin=【答案】弓1cosa答案】553已知anltan=3，则 cosa3

13、naV 丁，则 cos1+cosana3解析】由 tanlcosa厂3可得:lcosa1+cosa=9,则cosa=1+cos4_5*答案】4化简：+sin0+cose2+2cos0eecos22/、(0en).解】原式eee2cosi+2cos2yee2cosIecos4cos2牛eee门2石cos2cos 石 COSe222cos2|sin乞lIcos2I八enV0eVn,02Vg. cose原式=cose.一、填空题n1.sing=8解析】.nsin8答案】22.|+|cos215=【解析】原式=3+*1+皿3003.2 丄 2 丄 2=_3+3+3COS33答案】3.5n0解析】30e

14、si叮=.5ne3neV5ne6n,匚丁，si 叮0.6n,entcos2=a,则4.函数 f(X)=2cosx(sinx+cosx)的最小正周期为.【解析】f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2cosxsinx+2cos4x=sin2x+cos2x+1=“2sin(2x+予)+1.故最小正周期为丁=晋【答案】n5.2+2cos8+2 寸 1 一 sin8 的化简结果是【解析】原式=2|cos4|+2|sin4cos4|.5.4 盯 V4,.cos4V0,sin4cos4.原式=2cos4+2cos42sin4=2sin4.【答案】2sin4AC76.在ABC 中，角 A、B、C 满足

15、 4sim厂一 cos2B=，则角 B 的度数为.A+C7【解析】在厶 ABC 中，A+B+C=180,由 4sin2cos2B=,得1A+C,722cos2B+1=2,cos22.4cos2B4cosB+1=0.cosB=|,B=60.4.a=n,esin7答案】答案】607.(xx四川高考)设 sin2a=sina,ae(=,n)，则 tan2a的值是.解析】Tsin2a=sina,.2sinacosa=sina.,n),sinaMO,【答案】38.设f(x)=Tx+sinx+a2sin(x+)的最大值为：2+3，则常数a=2cosx=cosx+sinx+a2sin(x+号)=：2sin(

16、x+)+a2sin(x+).cos1a=2-又：atan42a=tann=tan(ntan3i32sin 等一X1+2COS2X1,/,n、【解析】f(x)=X+sinx+a2sin(x+4)=Cj2+a2)sin(x+予).依题意有勺 2+a2=72+3,Aa=j3.【答案】土霾二、解答题Q【解】(1)nQ2n，:q20)，且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为才.求w的值；求 f(x)在区间n,乎上的最大值和最小值.3L【解】(1)f(x)=-.3sin5wx-sinwxcoswx:原式=-+-2|cosy|-;2|siny|2|cosy|+2|siny|a_sin-co

17、ssin 牛+cos 牛2sin 牛+cosy2-辺 sin 牛+cos筈丄a_sin-cos2+aa2sin-cos9.设 nQ2n,cosQ=a，求(l)sinQ的值；(2)cosQQ的值；(3)sin24 的值.Q(2) cosQ=2cos22-1=2a2-1.Q_丄l-cos71-a(3)sin2422“卄 3n10. 右 na,1+sina1+cosa-1-cosa3nna3n【解】Tna丁，._220.,g_sin+cossin+J31cos2wx1.-.3sin2wx22231丁 cos2wxqsin2wx=sin(2wx2nn又W0,所以药=44,因此W=1.由(1)矢口 f(

18、x)=sin(2x-3).3n5nn8n当 nWxW 丁时，丁W2x所以一乎 Wsin(2x詈)W1.因此一lWf(x)W 寸.故 f(x)在区间n,乎上的最大值和最小值分别为賞一 1救师备课资源(教师用书独具)已知 sinQ+cosQ=2sina,sin20=sinQcosQ，求证：2cos2a=cos20.【思路探究】观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角Q，因此从已知条件中消去角Q，问题即得证.【自主解答】由题意，得，2sina=sinQ+cosQ，sin20=sinQcosQ.2X2,得 4sin2a2sin20=1.变形为 12sin20=24sin2a，则有 cos20=2cos2a.对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法.将条件角转化为结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值， 代入结论等式便消去某个角， 从而将问题转化为三角恒等式的证明问题，这就是代入法的基本思想