多元微积分A下期末复习题解答

1、23,设曲面馆为 z=2（xMy2黝）的下侧，则下列结论中错误的是（zdxdy=-2 二;复习题 1、填空题（每小题 4 分，共 20 分）1.设曲线L:x20y2=1 上任意一点处的质量密度为E（x,y）=v；x2my2,则该曲线构件的质量M=2二在全平面上（x3y）dx（kx，y）dy=0为全微分方程，则常数 k=_3、单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）1.设有向曲线 L 为 y=x2,从点（1,1）到点（0,0）,则口f（x,y）dy=2.3.ecosx,xyz,esinx)的散度 divF=2xyz4.设曲面圄：xy 询 z2=1,则幽Ix-2y)dS 二5. 数项级数n1c.

2、1fHy,y)dy;2.设曲面圈质量分布均匀，且曲面zdS=4,则曲面图的质心是（A）A.(0,1,2);B.(2,1,0);C.(1,0,2);D.(1,2,0).n11的和 s=102f(x,x)dx;2、.2xf(x,x)dx;101fQy,y)dy.0IxdS=0,A三Bzdxdy=2 二;三C.zdydz=0;D.zdzdx=0.4 .设数项级数（Ina）n收敛，则常数 a 所在的区间是（Cnz0A.（0,e）;C.（e，e）；5 .下列正项级数中收敛的是（三、（5分）计算曲线积分Qx2yds,其中L为连接两点（1,0）及（0,1）的直线段.B.（0,1）;D.（0,e,）.6.A.

3、n42n4n3n;C.、1;n4nB.;n4n1c：.：,1D.、sin2.设f（x）是以2值为周期的函数，在一个周期内,则f（x）的傅里叶级数在点x=0处收敛于（BA.-1;B.0;C.1;-1,：x0 x1,0：x 三二解：L的方程为y=1x（0倒x倒1）,y =-1（1 分）Lx2yds=：x2（1-x）2dx=闻”一启改若（3分）（5分）四、（7分）验证平面力场 F（x,y）=cosxsinyi 时 sinxcosyj 所做的功与路径无关,并求质点在力F的作用下沿直线L从点（0,0）移动到点解：功WcosxsinydxfsinxcosydyP=cosxsiny,Q=sinxcosy,（

4、2 分）因为=cosxcosy=,所以力所做的功W与路径无关（5 分）L的方程为 y=x,x 从 0 到一,2i所做的功W的值.2222DXy：x2y21z2dS：ii(x2y2),2dxdy,Dxy(5 分)七、（6分）利用高斯公式计算曲面积分口y2dydz团x2dzdxz2dxdy,其中髭为圆柱面 x2y2=1及平面z=0,z=3所围成的圆柱体解的整个边界曲面的外侧.W=22cosxsinxdx=1.(7 分)或L为折线（0,0）T（二,0）T（二,，），W二02cosydy=1、（7分）利用格林公式计算曲线积分H（2xeyF1）dxq（x2eyqx）dy,其中曲线L为圆 x2y2=1的上

5、半部分，从A（1,0）到B（-1,0）.解：Li:y=0,x 从-1到 1,(2 分);(2xey1)dx(x2eyx)dy=(2L-L1其中 D:x2ny21,y0;又(2xeyE-1)dxH(x2eyHx)dy=(6分)l(2xey-1)dx(x2eyx)dy=-2z2dS，其中雇为圆锥面z=Jx2Jy2(7 分)(0z1).x；zxx2y2yx2y2dS=%2dxdy,(2 分)(4 分)、2二然(5 分)Dxey1-2xey)d 二2（5 分） 计算曲面积分所以(2x01)dx=2,z(iiy2dydzx2dzdxz2dxdy=X2zdv(3 分)解：由高斯公式可得2-13=0d”Jd

6、：02zdz9 二其中-j:x2y21,0z3（5分）求幕级数|3N（x-1）n的收敛区间.3n解：aan-1aan=-,号级数的收敛半径为R=3,3：（3分）解 x-1 图 3,得幕级数的收敛区间为（-2,4）（5分）九、（7分）判别交错级数防1）21n（1腓）是否收敛？如果收敛，通过推导，指出是绝对收敛还是条件收敛.51解：Un=1n（1-,）n则limUn=0,且un单调递减，由莱布尼茨审敛法知,n_,：-.：n交错级数图 （-1 尸 ln （1 品） 收敛;（4分）当 nrq 时,n1.1.11（-1）ln（1B-）=ln（lM-）故ST（T）-ln（lHb发散;（6分）所以交错级数国

7、（-1）n（1腓）条件收敛.（7分）（6 分）八、十、（9分）求幕级数的n=0Hx2.的收敛域与和函数，并求数项级数 2n1苴二 1n卫 2n11-+7H的和.2n1解：“，（一1况2nnz01x2（2分）两边积分，得n=0。1nx2n1=arctanx2n1（4分）当 x=|3 时，蜜（6分）止 x2n1二 arctanx2n1（售x第） ,（7分）令x=1,则圈n=0（zH=1_1,1.1.kH.=2n13572n1（9分）卜一、（6 分）利用 ex的幕级数展开式，将函数 f（x）=x（e2x-1）展开为 x 的幕级数（指出收敛区问）.解：e2x=（Mn毛n!nnxn!（3分）f（x）=x（e2x-1）=x:9nxn-1n0n!0n=、-xn12nx马 xnnw