2019学年高中数学新人教A版必修5学案：2.3等差数列的前n项和(第1课时)

1、2.3 等差数列的前 n 项和（第 1 课时）学习目标掌握等差数列前 n 项和的公式，并能运用公式解决简单的问题 .了解等差数列前 n 项和的 定义，了解倒序相加的原理，理解等差数列前 n 项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；用 方程思想认识等差数列前n 项和的公式，利用公式求 Sn,ai,d,n;等差数列通项公式与前 n 项和的公式共涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量；会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究 S 的最值.合作学习一、设计问题，创设情境1. 一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支最上面一层放 100 支.这个 V 形架上共

2、放着多少支铅笔？问题就是这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的这实际上是一个求等差数列前 100 项和的问题，高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为 50 组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于 101,50 个 101 就等于 5050.高斯算法将加法运算转化为乘法 运算，迅速准确的得到了结果我们要求一般的等差数列的前几项和，高斯算法对我们有何启发？二、信息交流，揭示规律2.公式推导设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,Sn=a1+a2+a3+an=?,由学生讨论，研究高斯算法对

3、 般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 a1和 d 表示，得Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+ +,有以下等式 a1+=(a1+d)+=(a1+2d)+=，冋题是一共有 多少个 , 似乎与 n 的奇偶有关 . 这个思路似乎进行不下去了 .思路二：上面的等式其 实就是 ai+an=a2+an-i=a3+an-2=，为回避个数问题，做一个改写S=ai+a2+a3+an-2+an-i+an,Sn=an+an-i+an-2+a3+a2+ai, 两式左右分另U相力口 ,彳得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+ +(an-2+a3)

4、+(an-1+a2)+(an+a1)，2Sn=n(a1+an)于是有 . 这就是倒序相加法 . 思路三： 受思路二的启发 , 重新调整思路一 , 可得 2Sn=n, 于是 Sn=na1+d.综合思路二和思路三得到了两个公式：和 .三、运用规律 , 解决问题3.求和：(1)101+100+99+98+97+64;2+4+6+8+2n(结果用 n 表示).4. 等差数列 2,4,6, 中前多少项的和是 9900?5.2000 年 11 月 14 日教育部下发了 关于在中小学实施“校校通”工程的通知 .某市据 此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间 , 在全市中小学建

5、成不同标 准的校园网 .据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在校校通”工程中的总投入是多少四、变式训练 , 深化提高6.等差数列an的前 n 项和为 S,已知 S3=6,a4=8,求公差 d.7.设 S 为等差数列an的前 n 项和,若满足 an=an”2( n 2),且 Ss=9,求首项 ai.五、反思小结 , 观点提炼参考答案一、 设计问题 , 创设情境1.“ 1+2+3+4+-+100=?二、 信息交流 , 揭示规律2. a1+ Sn= Sn=

6、Sn=na1+d三、运用规律 , 解决问题3. 解：(1)101,100,99,98,97,64可以看做是一个首项为101,公差为-1 的等差数列由等差数列的通项公式 , 可得 64=101+(n-1)(-1), 解得 n=38,于是 Sn=3135.另外也可用公式 S=na1+d 来求解,Sn=38X101+x(-1)=3135.2+4+6+8+2n 可以看做是等差数列2n的前 n 项和,2则 Sn=n+n,另外可运用公式 Sn=na1+d 来求解 .4. 解：由题知，等差数列首项 ai=2,公差 d=2,由 Sn=nai+d,得 2n +X2=9900,即 n2+n-9900=0,解得 n

7、=-100（舍去）,或 n=99,所以等差数列 2,4,6,中的前 99 项的和是 9900.5. 解：根据题意 , 从 20012019 年, 该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50 万元 .所以,可以建立一个等差数列 an, 表示从 2001 年起各年投入的资金 ,其中 a1=500,d=50.那么，到 2019 年（n=10）,投入的资金总额为Si0=10X500+X50=7250（万元）答：从 20 0 1 2 0 1 9 年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250 万元.四、变式训练 , 深化提高6. 解：等差数列an的前 n 项和为 Sn,S3=6,即 a1+a2+a3=6 a2=