2019学年高二年级数学北师大版选修2-2课时作业：第3章第2节第1课时实际问题中导数的意义(含解析)

1、第 3 章 2 第 1 课时 实际问题中导数的意义课时作业 北师大版选修2-2基础巩固强化一、选择题1 某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数 WW（t），则 W（to）表示（）A.t=to时做的功B.t=to时的速度C. t=to时的位移D. t=to时的功率答案D解析W （t）表示t时刻的功率.2 .一个物体的运动方程为s= 1 t+t2, （s的单位是 s ,t的单位是 s），那么物体在 3 s末的瞬时速度是（）A. 7 米/秒B. 6 米/秒C. 5 米/秒D. 8 米/秒答案C解析s（t） = 2t 1 , s（3）=2X31=5.23 .如果质点A按规律s= 3t运动，则

2、在t= 3 时的瞬时速度为（）A. 6B. 18C. 54D. 81答案B一st3X3解析瞬时速度v=MioX?=。也萸=MXo3（6 + t）=184.如图，设有定圆C和定点0,当I从lo开始在平面上绕0匀速旋转（旋转角度不超过 90 ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是（）A H答案D解析由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段 相对增速较快.选项 A 表示面积的增速是常数，与实际不符；选项 B 表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项 C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符;选项 D 表示开始和最后时段

3、面积的增速缓慢，中间时段增速较快符合实际.点评函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓” 一些.5 .设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v=v(t) =t3+ 3t,贝U t=tos 时轿车的加速度为()m/s232A.to+ 3toB. 3to+ 333C. 3to+ 3toD.to+ 3答案B解析TV (t) = 3t2+ 3,则当t=tos 时的速度变化率为v(to) = 3t0+ 3(m/s2).即t=tos 时轿车的加速度为(310+ 3)m/s :

4、点评运动方程s=s(t)的导数表示的是t时刻时的瞬时速度，速度方程v=v(t)的导数表示的是t时刻时的加速度.二、填空题6.人体血液中药物的质量浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f=0.3，则f (2)表示_.答案服药后 2 分钟时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL 的速度增加.7 .假设某国家在 20 年间的平均通货膨胀率为 5%物价p(单位：元)与时间t(单位：年) 有如下函数关系：p(t) =p(1 + 5%)，其中p为t= 0 时的物价.假定某种商品的p= 1，那么 在第 10 个年头，这种商品价格上涨的速度大约是 _ 元/年(精确到 0.0

5、1).答案0.08解析因为p。= 1,所以p(t) = (1 + 5%) = 1.05t，在第 10 个年头，这种商品价格上涨的 速度，即为函数的导函数在t= 10 时的函数值.因为p(t) = (1.05t) = 1.05t ln1.05 ,7510所以p (10) = 1.05XIn 1.05疋0.08(元 / 年).因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约以0.08 元/年的速度上涨.8.设底为正三角形的直棱柱的体积为V那么其表面积最小时，底面边长为 _答案芋V解析设底面边长为x，侧棱长为I，则V=sin60 I,4V2I =2-二S表=2S底+ 3S侧=x sin60 x3= 4V,

6、即卩x=拜，又当x (0 ,守 4V)时，S表 0当x=、.:4VI寸，表面积最小.三、解答题9 .甲、乙二人跑步的路程与时间的关系及百米赛跑路程和时间的关系分别如图，试问：C故日产量 75 件时的总成本和平均成本分别为7 956.25 元，106.08 元/ 件.(2)当日产量由 75 件提高到 90 件时，总成本的平均改变量 101.25(元 / 件).(3)当日产量为 75 件时的边际成本1 C(x) = 2X+ 60, C (75) = 97.5(元).能力拓展提升一、选择题1 .质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v=v(t)，贝 Uv (1)表示()A.t

7、= 1s 时的速度B.t= 1s 时的加速度C. t = 1s 时的位移D. t = 1s 时的平均速度答案B解析v(t)的导数v(t)表示t时刻的加速度.2 某汽车启动阶段的路程函数为s(t) = 2t3- 5t2(t表示时间)，贝 Ut= 2 时，汽车的加速度是()A. 14B. 4C. 10D. 6答案A解析速度v(t) =s(t) = 6t2- 10t.所以加速度a(t) =v(t) = 12t 10,当t= 2 时，a(t) = 14,即t= 2 时汽车的加速度为 14.3 .下列四个命题：1曲线y=x3在原点处没有切线；2若函数f(x) =x，贝U f (0) = 0;3加速度是动

8、点位移函数s(t)对时间t的导数；4函数y=x5的导函数的值恒非负.其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3答案A解析中y= 3x2,x= 0 时，y= 0,二y=x3在原点处的切线为y= 0;仝=C肋 -C花x=90 - 75D. 42中f(x)在x= 0 处导数不存在；3中s(t)对时间t的导数为瞬时速度；4中y= 5x40.所以命题为假命题，为真命题.4.设球的半径为时间t的函数 Rt).若球的体积以均匀速度C增长，则球的表面积的增长速度与球半径()A. 成正比，比例系数为CB. 成正比，比例系数为 2CC. 成反比，比例系数为 CD. 成反比，比例系数为 2C答案D解析本题主要考

9、查导数的有关应用.根据题意，V= 3nR3(t) ,S= 4n氏,球的体积增长速度为 V= 4nR；(t) R()球的表面积增长速度S= 2nR(t) R(t),又球的体积以均匀速度C增长，球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为 2C.二、 填空题5 .质点沿直线运动，如果由始点起经过ts 后的位移为s= 3t2+t，则速度v= 10 时的时刻t =_.3答案2解析s= 6t+ 1,则v(t) = 6t+ 1，设 6t+ 1 = 10,小 3则t= 2三、 解答题6 .一杯 80C的热红茶置于 20C的房间里，它的温度会逐渐下降.温度T(单位：C)与时间t(单位：min)间的关系，由函

10、数T=f(t)给出.请问:(1)f(t)的符号是什么？为什么？(2)f (3) =- 4 的实际意义是什么？如果f=65C，你能画出函数在点t= 3min 时图 像的大致形状吗？解析(1)f (t)是负数因为f()表示温度随时间的变化率，而温度是逐渐下降的， 所以f()为负数.(2)f (3) =- 4 表明在 3min 附近时，温度约以 4C/min 的速度下降，如图所示.7.当销售量为x,总利润为L=L(x)时，称L(x)为销售量为x时的边际利润，它近似 等于销售量为x时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润.2某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是qx) = 100+

11、2x+ 0.02x,Rx) = 7x+ 0.01x2.求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg 和 300 kg 时的边际利润.解析总利润函数为L(x) =R(x) Qx) = 5x- 100 0.01x2，边际利润函数为L(x) =5 0.02x.(2)当日产量分别是 200 kg、250 kg 和 300 kg 时的边际利润分别是L (200) = 1(元)，L (250) =0(元),L (300) = 1(元).8. 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35nmile/h ,A地至B地之间的航行距离约为500nmile，每小时的运输成本由燃料费用和

12、其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6)，其余费用为每小时 960 元.(1) 把全程运输成本y(元)表示为速度x(nmile/h)的函数：y=f(x);(2) 求x从 10 变到 20 的平均运输成本；(3) 求f (10)并解释它的实际意义.解析(1)依题意得y=500(960 + 0.6x2) =480 000+ 300 x，函数的定义域为 0 x 35,xx2y=f(20)f(10)=48学0 +300X20严需00+300X10)= 21 000,所以y= 480 000 x+ 300 x(0 x 35).即x从 10 变到 20 的平均运输成本

13、为一 2 100 元，即每小时减少 2 100 元.Ayx21 00020 10=2 100.48 000f (10) = 0+ 300 =-4 500.f (10)表示当速度x= 10 nmile/h ，速度每增加1 nmile/h少 4 500 元.(X)=-480 000卜300,，每小时的运输成本就要减(1) 甲、乙二人哪一个跑得快？(2) 甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时谁跑得较快？分析用路程与时间的关系以及导数的几何意义来比较甲、乙二人谁跑得快.解析从图可以看出在相同的时刻t,乙跑的路程要比甲跑的路程远，所以乙跑得快.从图可以看出甲是匀速跑的， 而乙快到终点时， 变化率越来越大，即速度越来越快，所以快到终点时乙跑得较快.10.某机械厂生产某种机器