2022年高考数学每日一练：第七周

1、2022年高考数学每日一练：第七周惆一】1. (2021潍坊模拟)已知数列%的前项和为S.，02=6, S=1an+i+l.证明:数列S"-l为等比数列,并求出S”.(2)求数歹2的前n项和Tn.证明由已知得S,=；(S"+lS”)+1,整理得 S“+i=3S“一2,所以 5+ 1=3(S- 1),令 =1,得 $=%2+1=4,所以 S| 1 = 3,所以S,-l是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 S-l=3X3n-1 = 3n,所以 S,=3"+l.(2)解 由(1)知，S“=3"+l,当22 时，a”=S“一S-i = 3"+l (3

2、"r + l)=2X3"r,当 n= 时，ai=Si=4,所以a=4, =1,2X3"-1, "N2,22,1 1所以3丹丹+9" , 12 4X3"一【周二】2. (2021成都模拟)ZXABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知戾inA=acos 求B； (2)设=2, b=S，延长AC到点。使AC=2C£>,求BCO的面积.焉=而力，可得bsin4=asinB,解 ,"sin 4=acos(8一春).由正弦定理:/.可得 asin 3=cos(B8),可得 sin 8=cos(8

3、7;=坐cos 8+gsin B,化简可得 tan B=小,VBG(0, 7T), /.B=由正弦定理瘾=bsin B'2X坐 可得向4=竿=百：-r,m a M2 可行 cos A=-, sin C=sin(A + A?)=sin Acos 8+cos Asin B=5&1祐=25A8(7£>=5。加M C=£X 2 X 14 = 2 , 可得 Sabc£>= 4 .【周三】3. （2021滨州模拟）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了生活垃圾分类制度 实施方案，规定46个重点城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回

4、收、利用率要达 35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%. 某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区， 对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数 量在两万人左右的社区产生的垃圾数量超过28（吨/天）的确定为“超标”社区：垃圾 量X12.5,15.5)15.5,18.5)18.5,21.5)21.5,24.5)24.5,27.5)27.5,30.5)30.5,33.5频数56912864（1）在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区这一

5、天产生的 垃圾量的平均值T（精确到0.1）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区一天产生的垃圾量X大致服从正态分布N,标），其 中，/分别近似为（I）中样本的平均值方差52,经计算s约为52请利用正态分布知识 估计这320个社区一天中“超标”社区的个数；（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府 决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这8个“超标”社区中随机 抽取5个进行跟踪调查，设丫为抽到的这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求丫 的分布列与均值.附：若随机变量X服从正态分布M/Z,/），则尸产0.682 7,2HX0/

6、+20）0.954 5, P（/-3o<XW+3”）Q0.997 3.解（1）由频数分布表得14X5+17X 6+20X9+23 X 12+26X8 + 29X6+32X4=22.76心 22.8,所以这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值为22.8吨.(2)由(1)知=22.8.因为s约为5.2,所以取。=52所以 P(X>28)=尸(X>+<7)又 320X 0.158 65 = 50,76851,所以估计这320个社区一天中“超标”社区的个数为51.(3)由频数分布表知，8个“超标”社区中这一天产生的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个, 所以丫的可能取值为1,2,

7、3,4,所以丫的分布列为373713315所以 E（y）=lX/+2X亍+3X,+4Xe=/.【周四】4. （2021合肥模拟）如图，已知平面 ABC, ECJ_平面 ABC, AB=AC=ADEC.(1)设P是直线BE上的点，当点P在何位置时，直线OP平面ABC?请说明理由； (2)在(1)的条件下，若N8AC=120。，求平面BOE与平面ABC所成锐二面角的余弦值. 解(1)当点P是BE的中点时，Z)P平面ABC.理由如下：如图，取BC的中点0,连接40, OP, PD,贝10尸 EC,且0P=；EC,因为AO_L平面ABC, ECJ_平面A8C,所以AOEC.又 AO=；EC,所以。PA

8、。，且 0P=AD,所以四边形AOPO是平行四边形，所以。PA。因为AOu平面ABC,。8平面A8C,所以。尸平面ABC.(2)不妨设AB=AC=4O=£eC=2,因为。为BC的中点，则AO±BC,因为 N8AC=120。，则 NABC=30。，所以 40=1, CO=BO=/.因为 AO_L平面 ABC, PO/AD,则 PO_L平面 A8C,以点。为坐标原点，分别以AO, OB, 0P所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,则仇0,小，0), D(-1,0,2), E(0, 一小，4), 所以防=(- 1, -<3, 2), BE=(0, -2<3,

9、4). 设平面BDE的法向量为 = (m),州，zo),n-BD=Of则1 _jvBE=0,可取yo=2,所以=(0,2,小).xo-pyo+2zo=O,2V3yo+4zo=O, 又平面ABC的一个法向量为p=(0,0,l),所以cosp, n) 一初I"厂市-7 故平面BOE与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理.惆五】5. (2021.全国乙卷)已知抛物线C：)2=2pxS>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知。为坐标原点，点P在C上，点Q满足的=91，求直线0Q斜率的最大值. 解(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p,故p=2,所以C的方

10、程为尸=4工(2)由知尸(1,0),设 P(m yi), 2g ”),则尸。=。2一为，J2Jl),。尸=(1一及，V2),_>fx2_X1=9(1X2),因为尸。=9。凡所以八I”-yi = -9y2,5 = 10x29,可得 s6 = 10”，又点尸在抛物线C上，所以济=4X1,2 Q即(10/2)2 = 4(10犯一9),化简得艮=尹2一石，29则点Q的轨迹方程为尸=5'一石.2 Q设直线OQ的方程为尸匕，易知当直线OQ与曲线炉=每一卷相切时，斜率可以取最大,联立尸丘与y2、一蓑并化简，得Fx2噌=0, JJ 4 J令=(一|)24工噌=0,解得&=±|,

11、所以直线。斜率的最大值为g.【周六】6. (2021梅州模拟)已知函数危)=lnx, g(x)=e(1)若(x)=0+*(+l)x, £R,求函数万。)的单调区间；(2)不等式7这小(%)+ l22(x+：)/(x)对于x>0恒成立，求实数m的取值范围.解 (1 )/?(x)=dn x+5-t2(«+ l)x(x>0),. x a . 一、 x2-(+l).r+。h1 (x)=-+x-(a+l)=-(x- )(x) X 当。>1时，单调递增区间为(0,1)和(a, +°°),单调递减区间为(1, a).当。=1时，单调递增区间为(0,

12、+8),无单调递减区间.当(Xavi时，单调递增区间为(0, a)和(1,+8),单调递减区间为(a1).当。这0时，单调递增区间为(1, +8),单调递减区间为(0).(2)不等式，川g"'(x) +1 22(x+%x),即山(6'"+1)22(+：)11恒成立，优(e'"+ 1)(炉+ l)ln x2,即(e""+ l)ln ©"底2(<+ l>ln x2,设函数 9(x)=(x+l)lnx(x>0), 9' (x)=l + lnx+pii i x 1令 U(x)=l+lnx+-, U' (x)=-T,在(0,1)上，U' (x)<0,在(1, +°°)±, U' (x)>0,°(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增，所以夕'(X)、，(1)=2,所以9(x)在(0, +8)上单调