2022年高考数学一轮复习之集合

1、2022年高考数学一轮复习之集合一.选择题（共12小题）1. （2021新高考 II）若全集 U=1, 2, 3, 4, 5, 6）,集合 A=1, 3, 6, B=2, 3, 4）, 贝 iACCuB=（）A. 3B. 1, 6C. 5, 6D. 1, 32. （2021新高考 I ）设集合A=M-2Vx -1, xWR, 8=x|/-x-220, xR,则下列关系中， 正确的是（）A. AQBB. CrAcCrB C. 4n8=0 D. AUB=R4. （2020东湖区校级模拟）设集合4= 2, 1-a, a2-a+2,若46A,贝U a=（）A. -3 或-1 或 2B. -3 或-1C

2、. -3 或 2D. -1 或 25. （2020滨州三模）设集合Af=#t=4”+1, nZ, N=Ax=2n+, nGZ）,则（）A.厩NB.阵MC. A/GND. NeM6. （2020茅箭区校级模拟）已知集则集合4中的元素个数为 （ ）A. 11B. 8C. 10D. 77. （2021石家庄模拟）已知集合 A = 0, a+h,包, B=0, 1 - b, 1, （a,旄R）,若 A b=B,则 a+2h=（）A. - 2B. 2C. - 1D. 18. （2021全国模拟）已知M, N是任意两个非空集合，定义集合M-N=x|xM,且xN, 则（MUN） - M=（）A. NB. N

3、-MC. M-ND. MCN9. （2021太原三模）已知全集=R集合A = 0, 1, 2, 3）, B= - 1, 0, 1,则图中阴 影部分表示的集合是（）A. -1B. 0, 1C. 2, 3D. - 1, 2, 310. (2021 *4 月份模拟)定义集合运算：A*B=zz=xy, x&A, yEB,设 A = 1, 2), B= 1, 2, 3,则集合A*B的所有元素之和为()A. 16B. 18C. 14D. 811.(2016浙江二模)定义集合48)8=#&4或疵8且在40 8,设全集(/= x|l x 10, 集合 4 = x2Vx6, B=x|5x7,则(CuA) B=(

4、)A. 6, 7)B. (1, 2U (5, 6) U7, 10)C. (1, 6)D. (1, 2U (5, 6U (7, 10)12. (2020平城区校级一模)已知集合例=.4-3、+2&0, N=x|y=JU,若MAN =M,则实数。的取值范围为()A. (1, +8)B. 1, +8)C. (-8, 1) D. (-8, 1二.填空题(共5小题)13. (2021上海)已知 A=x|2xl, B= - L 0, 1),则 AC8=.14. (2021 天心区校级模拟)若集合M至少含有两个元素(实数)，且M中任意两个元素 之差的绝对值都大于2,则称M为“成功集合”，已知集合5=1, 2

5、, 3,10),则S的子集中共有 个成功集合15. (2020浦东新区三模)已知集合4 = -1, 0, a, 8= xl2 zi) (i= I 2 3 4),集合 A = y|存在在1, 2 3 4,使得 y=y，,则集合 4 的兀 素个数可能为 种(写出所有可能的值)三.解答题(共5小题)18. (2019聊城三模)已知函数/(x) =2x- l|+k+3|, g (x) =a - 1| - ax.(1)求函数f (x)的值域M；(2)若函数g (x)的值域为N,且MCNW0,求实数a的取值范围.19. (2021 春渭滨区期末)已知集合A=*2WxW6, B=x|lx5, C= xmxm

6、, U=R.求aub, (CuA) ne；(2)若CUB,求机的取值范围.20. （2021春昌吉州期末）已知集合人小2-：。,集合B=& |（；+1言0, xZ）， 集合 C=xM+px+g=0,其中 p, gR.（1）写出集合4的所有子集；（2）若。=0?4，求p, q的值.21. （2020秋和平区校级期中）设全集U=R,集合a=x |2二冬O, B= x2mxm+3.2-x（1）当机=0 时，求（CrA） cib；（2）请在充分不必要条件必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问 题中，并解决问题.若xeA是xeB的 条件，试判断m是否存在，若存在，求出?的取值范围，若不存在，

7、说明理由.2022年高考数学一轮复习之集合参考答案与试题解析选择题（共12小题）1. （2021新高考 H）若全集 U=1, 2, 3, 4, 5, 6,集合 A=1, 3, 6, B=2, 3, 4）, 则 ACCuB=（）A. 3B. 1, 6C. 5, 6D. 1, 3【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想：定义法；集合；数学运算.【分析】先利用补集的定义求出CuB,再利用交集的定义求解即可.【解答】解：因为全集。=1, 2, 3, 4, 5, 6,集合A=1, 3, 6, B=2, 3, 4, 所以Cu8=l, 5, 6）,故ACCuB=l, 6.故选：B.【点评】本题考查了

8、集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，解题的关键是掌 握交集和补集的定义，属于基础题.2. （2021新高考 I）设集合 A=M - 2cx4, 8=2, 3, 4, 5）,则 AP8=（）A. 2B. 2, 3C. 3, 4D. 2, 3, 4【考点】交集及其运算.【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算.【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解：A=M-2x4, B=2, 3, 4, 5）, .*.AAB=x| - 2x -1, xGR, B= xfx2 - x - 20, xGR）,则下列关系中, 正确的是（）A. AQBB. CrAECrBC. ACIB=0 D. AUB=K【

9、考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算.【专题】计算题；分类讨论；集合思想；转化法；集合；数学运算.【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可.【解答】解：已知集合 A=x|x - 1, xGR, B=x|/-x-220, xR,解得B= 小22或尽-1, xR,CrA = xa-1, xGR, CrB=x| - lx2；则 AUB=R, AnB=x|x22,故选：D.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.4. （2020东湖区校级模拟）设集合 A = 2, 1-a, a2-67+2,若 4e4,贝lj =（）A. -3 或-1 或 2 B. -3 或-1 C. -3

10、 或 2D. -1 或 2【考点】集合的确定性、互异性、无序性.【专题】集合.【分析】分别由1-a=4, a1 - a+2=4,求出a的值，代入观察即可.【解答】解：若1 - a=4,则a=-3,.（? - a+2 = 14,：.A=2, 4, 14；若 q2-a+2=4,则 a=2 或 a=-l,a=2 时，1 - a= - 1,：.A=2, - 1, 4）；a= - 1 时，1 - a=2 （舍），故选：C.【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题.5. （2020滨州三模）设集合 M=xlr=4+1, nEZ, N=xx=2n+, nEZ）,则（）A.厩NB.阵M

11、C. A/GND. NeM【考点】集合的表示法.【专题】计算题；分类讨论：集合：数学运算.【分析】由分类讨论的数学思想方法得：当=2m,时，x=4?+i, ?ez,当=2胆+1, “ez时，x=4w+3, m&Z,由集合的包含关系得：M些N,得解.【解答】解：当 = 2m, /nZ时，x=4m+, m&Z,当 =2?+1, 16Z 时，x=4m+3, mZ,综合得：集合 N=x|x=4，+1 或 x=4/n+3, niGZ,又集合 M=#r=4n+1, Z,即 M&N, 故选：4.【点评】本题考查了集合的包含关系及分类讨论的数学思想方法，属简单题.6. (2020茅箭区校级模拟)已知集合A=在

12、2？-4-21辽0,则集合A中的元素个数为 ( )A. 11B. 8C. 10D. 7【考点】集合中元素个数的最值.【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算.【分析】可以求出集合4 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7),从而可得出集合A的元素个数.【解答】解：,A=x6NL3WxW7 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7),集合A中的元素个数为：8.故选：B.【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，集合元素的定义, 考查了计算能力，属于基础题.7. (2021石家庄模拟)已知集合 4 = 0, a+b, A, B=0, 1 - b, 1,

13、 (a, beR),若 4 b=B,则 a+2h=()A. - 2B. 2C. - 1D. 1【考点】集合的相等.【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算.【分析】由集合相等的概念列方程组，求出a, 后验证集合中元素的特性得答案.【解答】解：a+b=l-b当 a时，解得 a=6=_l, .a+2b=i,=13b ，a+b=l,当，a 时，解得此时A = 0, 1, 0,与互异性矛盾，l-b1 b=l综上，a+2b=.故选：D.【点评】本题考查集合相等的条件，考查了集合中元素的特性，是基础题.8. （2021全国模拟）已知N是任意两个非空集合，定义集合M-N=x|xeM,且xEN）, 贝

14、ij （MUN） - M=（）A. NB. N - MC. M-ND. A/AN【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算.【分析】定义集合N=HxeM,且xCN,由此能求出（MUN） - M.【解答】解：M, N是任意两个非空集合，定义集合M-N=#ceM,且xCN, （MUN） - A/=N - M.故选：B.【点评】本题考查集合的求法，考查并集、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题.9. （2021太原三模）已知全集U=R,集合A = 0, 1, 2, 3, B= - I, 0, 1,则图中阴 影部分表示的集合是（）A. - 1）B. 0, 1C.

15、 2, 3D. - 1, 2, 3【考点】Venn图表达集合的关系及运算.【专题】集合思想：作差法：集合：数学运算.【分析】从集合A中去掉A与8的公共部分，即为阴影部分表示的集合.【解答】解：由题意可得：AAB=0, 1.阴影部分表示的集合为：2, 3,故选：C.【点评】本题考查集合的运算，熟练掌握集合的意义及集合间的运算是解题关键.10. （2021.4 月份模拟）定义集合运算：A*B=z|z=孙，x&4, yEB,设 4 = 1, 2, B=1, 2, 3,则集合A*B的所有元素之和为（）A. 16B. 18C. 14D. 8【考点】元素与集合关系的判断；子集与交集、并集运算的转换.【专题

16、】转化思想；综合法；集合；数学运算.【分析】由xE4 = l, 2, y&B=, 2, 3,可得：z=孙，进而得出结论.【解答】解：由 xE4=l, 2,2, 3,可得：z=xy=, 2, 3, 4, 6,二集合 A*B=1, 2, 3, 4, 6,可得：所有元素之和= 1+2+3+4+6=16,故选：A.【点评】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.11. (2016浙江二模)定义集合 A8)8=x|xeA 或且 xCACB,设全集 t/= x|l x 10,集合A = x|2xV6, B=x|5x7,则(CuA) 0B=()A. 6, 7)B. (1, 2U

17、 (5, 6) U7, 10)C. (1, 6)D. (1, 2U (5, 6U (7, 10)【考点】子集与交集、并集运算的转换.【专题】计算题；集合思想；综合法；集合.【分析】可进行补集、交集的运算求出CuA=MlVxW2,或6x10, (CuA) CB=_r|6 Wx7,从而便可根据408的定义进行的运算即可.【解答】解：VCuA = x|lx2,或 6Wx10), B=x5xl,：.(CuA) CB=x6Wx7；(CuA)8= x|xCCuA 或 且 (CuA) n8 = x|l xW2,或 5Vx6,或 7x10= (1, 2U (5, 6) U7, 10).故选:B.【点评】考查描

18、述法表示集合，区间表示集合，以及补集、交集的运算，理解集合AB 的定义.12. (2020平城区校级一模)已知集合 M=xH-3x+2WO), N=x|y=JU,若 MAN =M,则实数。的取值范围为()A. (1, +8)B. 1, +8)C. (-8, 1) D. (-8, 1【考点】集合关系中的参数取值问题.【专题】转化思想；转化法；集合.【分析】解不等式简化集合A、B,由MCN=M,得MUN,得不等式aWl,得答案. 【解答】解：；/-3x+2W0,，(x- 1) (x- 2) WO,；.1WxW2,2,x - aO, .xa, .N=a, +)；MnN=M,.“I,二实数a的取值范围

19、为：(-8, i.故选：D.【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题.二.填空题(共5小题)13. (2021上海)已知 A = R2xWl, 8=-1, 0, 1,则 4(8= -1,0.【考点】交集及其运算.【专题】集合思想：定义法；集合；数学运算.【分析】直接根据交集的运算性质，求出AC8即可.【解答】解：因为A = x|2xWl = x|x/, B=-1, 0. 1), 所以 4nB= - 1, 0.故答案为： - 1, 0.【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题.14. (2021 天心区校级模拟)若集合M至少含有两个元素(实数)，且例中任意两个元素

20、 之差的绝对值都大于2,则称M为“成功集合”，已知集合5=1, 2, 3,10),则S的子集中共有 49个“成功集合【考点】元素与集合关系的判断.【专题】新定义；归纳猜想型；分类讨论；转化思想；分类法；转化法；集合；数学运 算.【分析】设集合1, 2. , )(22)的子集中有4个成功集合，从而可得2 = 43 = 0, 44=1,当“25时，可将满足要求的子集分为两类一类是含有的子集和另一类是不含“ 的子集，从而得到递推公式，从而解得.【解答】解：设集合1，2, , n (n22)的子集中有m个成功集合，则 42 = 43 = 0, 44=1.对于25时，可将满足要求的子集分为两类:一类是含

21、有的子集，再分为去掉后剩下小于”-2的单元素子集与1, 2,，-3满足要求的子集， 前者有3个，后者有所一3个；另一类是不含的子集，即(1，2,-1满足要求的子集，有。一1个.于是，an (n - 3) +an-3+an-1.从而 45=3, 46=6, 07=11. a8= 19,。9=31, aio=49.故答案为：49.【点评】本题考查了集合的性质，同时考查了学习与应用的能力，属于难题.15. (2020浦东新区三模)已知集合 4 = -1, 0, a, B= x|l2X2,若 ACBW0,则 实数a的取值范围是 (0, 1).【考点】集合关系中的参数取值问题.【专题】不等式的解法及应用

22、.【分析】解指数不等式求得集合8,再根据AC8H0,求得实数的取值范围.【解答】解：集合 A = - 1, 0, a, B= (x|l 2X2) = x|0x 1,若 AABW。，则 有故实数a的取值范围是(0, 1),故答案为(0, 1).【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，指数不等 式的解法，属于基础题.16. (2018淮南一模)若4=耳0?-6+10【分析】由4=加/-ar+IWO, xR = 0,得到a=0或，由此能 二 (-a) -4a0.a=0 或， = (-a)-4a0解得0a4.的取值范围是0, 4).故答案为：0, 4).【点评】本题考查实数

23、的取值范围的求法，考查空集、不等式性质等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.17. (2021杨浦区校级三模)设正四面体PiP2P3P4在空间直角坐标系中点长的坐标为(Xi, yt, zt) (i=l, 2, 3, 4),集合 A=y|存在记1, 2, 3, 4,使得则集合4 的元 素个数可能为 2、3或4种(写出所有可能的值)【考点】元素与集合关系的判断.【专题】计算题；数形结合；数形结合法：集合：直观想象.【分析】正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，若集合 A中只有一个元素，则P1P2尸3P4在同一个垂直于y轴的平面内，故不可能，从

24、而解得.【解答】解：正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值， 若集合4中只有一个元素，则PP2P3P4在同一个垂直于y轴的平面内， 故不可能，当正四面体P1P2P3尸4的底面在坐标平面WZ内时，集合A中有2个元素，改变正四面体PP2P3P4在空间直角坐标系放置，可知集合A中也可能有3或4个元素， 故答案为：2、3或4.【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于基础题.三.解答题(共5小题)18. (2019聊城三模)已知函数/(x) =|2x- l|+|x+3|, g (x) =a- 1| - a|x|.(1)求函数f (x)的值域M；(2)若函数g (x)的值域为

25、N,且MCNW0,求实数a的取值范围.【考点】交集及其运算.【专题】计算题；集合思想；定义法：函数的性质及应用；数学运算.【分析】(1)当xW-3时，/ (x) = -3x-227.当-3 7)-当 x 时，f (x)=3x+2-由此能求出 f(x)的值域 M.(2)当 a=0 时，g (x) =1, /V= 1, MGN = 0,从而 a=0 不符合题意.当 a0 时，由凶20,得函数g(x)的值域N=( - 8,-或a|,从而a!符合题意.当时,11，由 MCN = 0,则得a 可得当 xW-3 时，f (x) = - 3x - 27.当-3x 7)- 当 x时，f(x)=3x+2y 故f

26、 (x)的值域m=工,+co).(2) M=, +8),2当a=0时，g (x) = 1, N, MCN=0,所以a=0不符合题意.当。0时，因为凶20,所以函数g(x)的值域N= ( - oo, kz- 1|,若MGN = 0,则|a-l|解得a晟或从而a其符合题意当a0时，因为凶0,所以函数g (x)的值域N=|a- 1, +),此时一定满足MCN#0,从而“0符合题意.综上，实数a的取值范围为(-8, o) U9, +8).2【点评】本题考查函数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19. (2021 春渭滨区期末)已知集合 A = x|

27、2WxW6, B=x|lx5), C= xmxm+l),U=R.(1)求AUB, (CuA) CB；(2)若CUB,求/n的取值范围.【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算.【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑推理；数学运算.【分析】(1)由补集、补集、交集的定义求解即可；(2)利用集合子集的定理列式求解即可.【解答】解：(1)因为集合A=R2WxW6, B=x|lx5,所以CuA=xk6,故 AUB=x|lVxW6,(CuA) DB=x|lVx2；(2)因为 C=xznxi+1),且 CUB,则41 ，解得1团W4,lm+l5所以机的取值范围为1, 4.【点评】本题考查了集

28、合的运算以及集合之间关系的应用，解题的关键是掌握集合交集、 补集以及并集的定义，掌握集合子集的定义，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基 础题.20. (2021春昌吉州期末)已知集合4=於7=0,集合B=x|(x+1，xZ，13x-640集合 C= x*+px+q=0,其中 p, qWR.(1)写出集合A的所有子集：(2)若C=CBA,求 p, q 的值.【考点】子集与真子集.【专题】计算题；方程思想；综合法；集合；数学运算.【分析】(1)解方程可得，集合A = 0, 1,逐一写出A的子集即可.(2)先求出集合B= - 1, 0, 1, 2,然后可得CbA = -1, 2),再根据根与系数的

29、关 系列出式子，求出p、q的值.【解答】解：(1)-x=0 的解为xi=0, X2=l, /.A=0, 1,.集合A的所有子集为：0, 0, 1, 0, 1.(2) .,集合 8=兄-1WxW2, xGZ,0, 1, 2),又；A = 0, 1, .,.CbA = - 1, 2,*.,C=CbA, .x= - 1 和 x=2 是方程 f+px+guO 两根，- 1+2= -p, -lX2=q,解得P=-l，4= - 2.【点评】本题主要考查子集的定义，补集的运算以及一元二次方程根与系数的关系，属 于基础题.21. (2020秋和平区校级期中)设全集U=R,集合a=&8=#rl, C=x+2x|

30、2axa+3.(1)求CuA 和 AA8；(2)若4UC=A,求实数。的取值范围.【考点】集合关系中的参数取值问题：交集及其运算；补集及其运算.【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算.【分析】(1)先根据条件求出集合A,再结合补集以及交集的定义即可求解；(2)由4UC=A知CaA,再分别求对应的参数的范围即可.【解答】解：(1) A=a|-2x。+3时，即a3时，C=0,满足条件；当 2aWa+3 时，即。在3 时，2。-2 且。+33,二-1473 或-la0.【点评】本题考查的知识点是集合的基本运算以及包含关系判断及应用，集合关系中的 参数问题，难度中档.22. (2021

31、春德州期末)已知集合4=Bx2mxm+3.2-x(1)当 m=0 时，求(CrA) AB；(2)请在充分不必要条件必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问 题中，并解决问题.若在4是在8的 条件，试判断机是否存在，若存在，求出机的取值范围，若不存在，说明理由.【考点】交、并、补集的混合运算；充分条件、必要条件、充要条件.【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算.【分析】(1)当机=0时，求出集合A, B,由此能求出CrAC艮(2)若选条件：xGA是的充分不必要条件且2机=2与5+3 = 3不同时成立，由此 能求出存在/，wG0, 1.若选条件：是在8的必要不充分条件，当2?机+3,即

32、,时，B=0,成立.当2mm+3,即机2 ,由此能求出结果.I m+33【解答】解：(1)当布=0时，B= (0, 3),主辽0，等价于(x-2) (x- 3) 0,2-x，A= (2, 3), CrA= (-8, 2U3, +),/.CrAAB= (0, 2.(2)若选条件：VxGA是xEB的充分不必要条件且2m=2与?+3 = 3不同时成立，解得OWmW 1,所以存在7, 2日0, 1,若选条件：Vx6A是xEB的必要不充分条件，当2加2m+3,即“23时，8=0,成立.当2机?+3,即机3时，(2m2 ,解得机不存在，I m+34 3，存在【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集

33、定义等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题.考点卡片1.元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一 般用小写字母a, b, c表示，集合一般用大写字母4, B, C表示，两者之间的关系是属于 与不属于关系，符号表示如：“6A或“CA.2、集合中元素的特征：(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素 属于还是不属于这集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个 特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的.对

34、于一个给定的集合，他的任何两个元素都是 不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.(3)无序性：集合于其中元素的排列顺序无关.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例 1：已知集合 a=x|x=P -eZ.求证：(1) 34；(2)偶数4A-2 (kez)不属于A.分析：(1)根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；(2)用反证法，假设属于A,再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛 盾，从而证明要证的结论.解答：解：(1) V3=22- I2, 3GA；(2)设4k-2E,则存在m，nEL,使软-2

35、=川-“2=(m+/J)(加一)成立，1当，小同奇或同偶时，机-，+均为偶数，(.m - ri) (.m+n)为4的倍数，与4k - 2不是4的倍数矛盾.2、当一奇，一偶时，均为奇数,，（m - n） （w+n）为奇数，与4k-2是偶数矛盾.综上4A- 2曲.点评：本题考查元素与集合关系的判断.分类讨论的思想.题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数.典例2：已知集合4=4+2, 2a2+a,若36A,求实数。的值.分析：通过3是集合A的元素，直接利用。+2与2/+a=3,求出a的值，验证集合A中元 素不重复即可.解答：解：因为3E4,所以a+2 = 3或2a2+a=3（2分）

36、当 a+2 = 3 时，a= 1.（5 分）此时A=3, 3,不合条件舍去，（7分）当2a2+a=3时，a=l （舍去）或真二口，（10分） a 2由a=-1，得A=g, 3成立 （12分）故a=（14分）a 2点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力.【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用 于解决集合问题.2 .集合的确定性、互异性、无序性【知识点的认识】集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征.（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元 素，两种情况必居其一且仅居其

37、一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数” 等都不能组成一个集合.（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素.例 如不能写成1, 1, 2）,应写成1, 2.（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序.例如1, 2, 3与3, 2, 1是相 同的集合，也是相等的两个集合.【解题方法点拨】解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函 数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复.【命题方向】本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集 合相等，含参数的集合的讨论为

38、主.3 .集合的表示法【知识点的认识】1 .列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这 种表示集合的方法叫做列举法. 1, 2, 3,注意元素之间用逗号分开.2 .描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出 来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法.即：川尸 （x为该集合的元素的一般 形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于n的正实数组成的集合表示为：x|Ox 0）表示实数x的范围； （x, y） |y-2x=0表示方程 的解或点的坐标.【命题方向】本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本

39、关系，不 等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合.5 .子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A, B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的 元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的子集（subset）.记作：AQB （或 B24）.2、真子集是对于子集来说的.真子集定义：如果集合4UB,但存在元素XWB,且元素x不属于集合A,我们称集合4是 集合8的真子集.也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是8的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是8的子集，则称4是B的真子集，注：空集是所有集合的子集；所有集合都是其本身的子集

40、；空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集.所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集.1, 3ul, 2, 3, 4)1, 2, 3, 41, 2, 3, 4)3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“，如1, 2, a, h, g；另外，1, 2的子集有：空集，1, 2, 1, 2.真子集有：空集，1, 2. 一般来说, 真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有个(不等于0)元素的集合而言，它

41、 的子集就有2个；真子集就有2-1.但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集.【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，AQB,并且BUA时，有A=B,但是Au8, 并且8uA,是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的.【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常 与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题.6 .集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1 .如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合4叫做集合B的子集；AUB； 如果集合A是集合8的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集

42、合B 的真子集，即AS；2 .如果集合A的每一个元素都是集合8的元素，反过来，集合8的每一个元素也都是集合 A的元素，那么我们就说集合4等于集合8,即A=B.【解题方法点拨】1 .按照子集包含元素个数从少到多排列.2 .注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.3 .可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.4 .有时借助数轴，平面宜角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以 与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.6 .集合的相等【知识点的认识】(1)若集合4与集合B的元素相同，

43、则称集合4等于集合艮(2)对集合A和集合8,如果集合A的任何一个元素都是集合8的元素，同时集合B的任 何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合8,记作A = B.就是如果AUB,同时 BQA,那么就说这两个集合相等，记作A=B.(3)对于两个有限数集A=8,则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如 下性质：两个集合的元素个数相等；两个集合的元素之和相等；两个集合的元素之积相等.由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已.上 述概念是判断或证明两个集合相等的依据.【解题方法点拨】集合4与集合B相等，是指4的每一个元素都在8中，而且8中的每一个元素都在A 中.解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性.【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相 联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时 出现在大题的一小问.7 .集合中元素个数的最值【知识点的认识】【命题方向】【解题方法点拨】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般 问题特殊化、特殊问题一般化等.需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法