2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)

1、2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）复数£丄（i为虚数单位）等于（）iA.-1-3iB.i1+3iC.1_3iD.1+3i2. （5分）设集合A=x|1VxV2,B=x|xVa，若AGB=A,则a的取值范围是（）a|a±1D.a|a±2A.a|aW2B.a|aWlC.（m-1,2）,且；aHb，若（方-b）丄；3,则3. （5分）设向量a=（1,m）,b=实数m=（）A.2B.1C.，D.丄324. （5分）下列说法正确的是（A. “若a

2、>1,则a2>1”的否命题是"若a>1,则a2W1”B. “若am2Vbm2,则aVb”的逆命题为真命题C. x0e（o,+*）,使尹>戶成立D. “若，则”是真命题厂2厂65. （5分）我国古代数学典籍九章算术"盈不足”中有一道两鼠穿墙问题："今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）第5页（共24页）4B.5C.2D.3A.6.（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于)(n正视图侧视图俯视圏J±A.10cm3B.20c

3、m3C.30cm3D.40cm37.(5分)丄sin2则函数g(x)的单调递增区间为()(kZ)B.kn+,kn+P",kn-'(kZ)36若将函数f(x)单位，得到g（x）的图象,kn+A.+今）图象上的每一个点都向左平移辛个kn-kn-.(kez)D.kn,kn+(kez)1212(5分)已知数列a的前n项和为S,a_,=1,a2=2,且a2-2a,+a=0(ne12n+2n+1N*),记丁二丄丄+Sis2B201FC4036D2018*2018*20192019C.8.1tn6），则t2018=（）n+2n+1A403420189. （5分）已知函数fWJgK"

4、;a，点ER），若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.（0，1B.1，+*）C.（0,1）D.（-I12210. （5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F,F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF】丄PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A.B.C.D.L2 22211. （5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列，则的最小值为

5、（）ab甲乙8768j0802y65g1136A.生9B.2C.97D12.（5分）若对于任意的正实数x,y都有（2S-）pel=C成立，则实数mesme的取值范围为（）A.B.C.D.（0,已/巳二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）>113. （5分）设变量x,y满足约束条件S+y-4<0则目标函数z=4x-y的最小值、k-为十4<0为.14. （5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行，则a=.25.（5分）已知数列an满足Logjapl+log护门N*），且ai+a2+a3+ai0=1?则log2（ai01+ai02+"

6、+ai10）=2 2I6.（5分）已知双曲线的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近a现从抽取的i000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；若测试等级为"良好”或"优秀”的学生为"体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.0i0的前提下认为"是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人b2线引垂线，垂足为M,交另一条渐近线于N,若2五二五，则双曲线的渐近线方程为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17

7、.（I2分）在厶ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,且2ccosB=2a+b.（1）求角C；（2）若厶ABC的面积为廿二孑匚，求ab的最小值18 .（i2分）20i7年i0月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校i000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取i00名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5i0i547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数23i0y2非体育达人总计临界值表:P(K2±k0)0.100.050.0250

8、.0102.7063.8415.0246.6350.0057.879附:k0(且d-bc)'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d)第7页(共24页)19.(12分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB丄平面ABC,AB=6,EC二力辽,AC=2-.，D,E为线段AB上的点，且AD=2DB,PD丄AC.(1) 求证：PD丄平面ABC；(2) 若ZPAB二晋，求点B到平面PAC的距离.20. (12分)已知圆C：x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E：y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为(1) 求抛物线E的方程；(2) 不过原点的动直线l

9、交抛物线于A,B两点，且满足OA丄0B.设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线丨的距离最大时的直线l方程.21. (12分)已知函数f(x)=lnx-a(x+1),aR在(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1) 求f(x)的单调区间；21(2) 若存在x0>1,当xe(1,x°)时，恒有成立，求k的取值范围.22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1,0),倾斜角为a,以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是_氐osBr,J二1-C0E29(1) 写出直线丨的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2) 若，设直线丨与曲线C交于A,B

10、两点，求AOB的面积.423.设函数f(x)=|x+3|，g(x)=|2x-l|.(1) 解不等式f(x)Vg(x)；(2) 若2f(x)+g(x)>ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围.2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）复数土L（i为虚数单位）等于（）iA.-1-3iB1+3iC1-3iD1+3i【解答】解：竿=-1-3ii i*故选A2. （5分）设集合A=x|1VxV2,B=x|xVa，若AGB=A,则a的取值范围是（）A.a|

11、aW2B.a|aW1C.a|a±1D.a|a±2【解答】解：AGB=A,.AB.T集合A=x|1<x<2,B=x|xVa,°a±2故选：D.3. （5分）设向量a=（1,m）,b=（m-1,2）,且；aHb,若（方-b）丄;3,则实数m=（）A.2B.1C.D.丄32【解答】解：°°（-b）丄目，（-b）a=0,即髯-ba=0,即1+m2-(m-1+2m)=0,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时，量3=(1,1),b=(0,2),满足当m=2时，量方=(1,2),b=(1,2),不满足综上m=1,故选：B.

12、4. (5分)下列说法正确的是()A. “若a>1,则a2>1”的否命题是"若a>1,则a2<1"B. “若am2Vbm2,则aVb”的逆命题为真命题C. xQe(0,+*),使3讪成立D. “若，则”是真命题厂26【解答】解："若a>1,则a2>1”的否命题是"若aW1,则a2W1”，故A错；"若am2<bm2，则aVb”的逆命题为假命题，比如m=0，若aVb,则am2=bm2,故B错；对任意x>0,均有3x<4x成立，故C错；对若，贝V”的逆否命题是“若a=，则sina=2”为真命题，2

13、&62则D正确.故选D.5. (5分)我国古代数学典籍九章算术"盈不足”中有一道两鼠穿墙问题："今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=()A.4B.5C.2D.3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1,A=1,S=0,n=1S=2不满足条件S±10，执行循环体，n=2,a,A=2,S=22 2不满足条件S±10，执行循环体，n=3,a=L,A=4,S='一44不满足条件S±10，执行循环体，n=4,a=LA=8,S=逗3 S满足条件S210，退出循环，

14、输出n的值为4.故选：A.6. （5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）俯视图A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:第13页（共24页）棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4,几何体的体积V二丄X3X4X5-1x1x3X4X5=20(cm3).232故选B.7. (5分)若将函数f(x)=±sin(2x+，)图象上的每一个点都向左平移2L个233单位，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为()A.kn,kn+(kZ)B.kn+,kn+(kZ

15、)4 444C.kn,kn-，(kZ)D.kn,kn+(kZ)3 61212【解答】解：将函数f(x)=2_sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移2L个233单位，得到g(x)sin2(x+)+工=-丄sin2x的图象，2332故本题即求y=sin2x的减区间，令2kn+W2xW2kn+，求得kn+WxW224kn+呈故函数g(x)的单调递增区间为kn+子，叶乎，心,故选：B.8(5分)已知数列an的前n项和为Sn，aq=1，a2=2，且an2-2anq+an=0(nenn12n+2n+1nN*)，疋)，则丁2。18=(A4Q34*201SB2QLFC4Q孙Dggjj*2013*20192

16、019【解答】解：数列an的前n项和为Sn，a.=1，a2=2，且an2-2ant+an=0(nenn12n+2n+1nN*),则：数列为等差数列.设公差为d,贝V：d=a2-a1=2-1=1,贝V：a=1+n-1=n.n故：気二1十姑+n旦导L则：:，=丄n+1'所以：TOlS-soiB-Fl"2019故选：C9. (5分)已知函数代£/一力点°(疋!=0，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A.(0,1B.1,+*)C.(0,1)D.(-I1【解答】解：当xWO时，f(x)单调递增，：f(x)Wf(0)=1-a,当x>0时，f

17、(x)单调递增，且f(x)>-a.Vf(x)在R上有两个零点，解得0VaW1.-且<0故选A.A.B.C.D.L2222【解答】解：方法一：依题意，作图如下:A(-a,0),B(0,b),F(-c,0),F2(c,0),I直线AB的方程为，整理得：bx-ay+ab=0，设直线AB上的点P(x,-aby),贝Ubx=ay-ab,xy-a,TPF丄PF2，贝贝pfp.=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-C2=(彳)2+y2-C2,令f(y)=(皀)2+y2-c2，则f(y)=2(皀y-a)X皀+2y,bbb.由f，(y)=0得:y=，,于是x=-ae2=，,e4-3e2+

18、1=0,2且+b2a2+b222°FFpFf()2+()2-c2=0,122,i22,i2且+b且+b2k2整理得：=c2,又b2=a2-c2,整理得：C4+3C2C2-a4=0,两边同时除以a4,a2+b2由e2=，,e4-3e2+1=0,e2=，,又椭圆的离心率e$(0,1),22且厶e2土椭圆的离心率的平方5,2故选B.方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx-ay+ab=0,-ab由题意可知：直线AB与圆0：X2+y2=c2相切,可得d=c,两边平方，整理得：C4+3C2C2-a4=0,两边同时除以a4,由e2,士晶，又椭圆的离心率ee（o,1）,:心=2.22椭圆的离心率的

19、平方L211. （5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81,乙班学生成绩的平均数是86,若正实数a,b满足a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列，则.的最小值为（）ab甲乙H8768J0S02XG5giE36A.生B.2C.9D94.9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81,得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80X3+90X3+（0+2+y+1+3+6）=598+y,乙班学生的平均分是86,且总分为86X7=602,所以y=4,若正实数

20、a、b满足：a,G,b成等差数列且x,G,y成等比数列，则xy=G2,2G=a+b，即有a+b=4,a>0,b>0,第17页（共24页）则丄+JL丄(a+b)(丄+空)丄(1+4+5+)三丄(5+2L.鉛且b4ab4ab4Ya.当且仅当b=2a=3时，的最小值为旦.3 ab412.(5分)若对于任意的正实数x,y都有C2s->ln-<成立，则实数mexme的取值范围为()A.B.C.D.(Os亡/e【解答】解：根据题意，对于Qx-X)ln#£旦，变形可彳得L(2x-Y)In#Wexmeyek1Hl即(2e-#)In#WZ,xkm设上=里，则(2e-t)IntW

21、Lt>0,XID设f(t)=(2e-t)Int，(t>0)则其导数f'(t)=-Int+-1，t又由t>0，则f'(t)为减函数，且f'(e)=-Ine+2亘-1=0，e则当te(0，e)时，f'(t)>0，f(t)为增函数，当t$(e，+*)时，f'(t)V0，f(t)为减函数，则f(t)的最大值为f(e)，且f(e)=e，若f(t)=(2e-t)IntwL恒成立，必有eW丄，itim解可得0VmWl，即m的取值范围为(0，丄；ee故选：D.二、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)>113.(5分)设变量x，y满足约

22、束条件则目标函数z=4x-y的最小值、k-为十4<0为1.【解答】解：设变量x,y满足约束条件*计¥-4<0在坐标系中画出可行域三角、x-3y+4<0形，平移直线4x-y=0经过点A（1,3）时，4x-y最小，最小值为：1,则目标函数z=4x-y的最小值：1.故答案为：1.-3-4-5_14.（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行，则a=3.【解答】解：直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行，解得a=3.故答案为：3.25.（5分）已知数列an满足Logjapl+loanCnfN*），且ai+a2+a3+aio

23、=1?则血2（a101+a102+-+a110）=100-【解答】解：°°1口屯3计1二1+1。g护n（口丘），口'口1log2an+1-log2an=1，即n数列an是公比q=2的等比数列.则aioi+aio2+aiio=（ai+a2+a3+aio）qi00=2100，log2（aioi+aio2+aiio）=1时叫100-故答案为：100-2216.(5分)已知双曲线的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近a2b2线引垂线，垂足为M,交另一条渐近线于N,若2丽二丽，则双曲线的渐近线方程为y=±i'欲.【解答】解：由题意得右焦点F(c,0)，设一渐

24、近线OM的方程为y上x,a则另一渐近线ON的方程为y=-x,由FM的方程为y=-亘(x-c),b联立方程y=b,a_2可得M的横坐标为匚由FM的方程为y=-2(x-c),联立方程y=-Bx,b且2可得N的横坐标为.a由2而=丽,22可得2（-c）=-c,ca-b2Q22即为-C=c2由e=±,可得鸟-1=ae22-e2即有e4-5e2+4=0,解得e2=4或1（舍去）,即为e=2,即c=2a,b='：3a,可得渐近线方程为y=±Tjx,故答案为：y=±i'3x.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （12分）在厶ABC中，角A

25、,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b.（1）求角C；（2）若厶ABC的面积为s=-G,求ab的最小值.【解答】解：（1）由正弦定理可知：-=2R,a=2RsinA,b=2RsinB,sinAsinBsinCc=2RsinC,由2ccosB=2a+b,则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB,°2sinBcosC+sinB=0,由OVBVn,sinBHO,cosC=-，2OVCVn，贝UC=3（2）由SabsinC=c,则cab,2222,2由C2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab,二a2+b2+ab±3ab,4当且仅当a=b时取等号

26、，ab±12,故ab的最小值为12.18. （12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200第21页（共24页）名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为"良好”或"

27、优秀”的学生为"体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为"是否为体育达人”与性别有关？体育达人非体育达人总计临界值表：男性女性总计P(K2±k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879附：（n(ad-bc)2，其中n=a+b+c+d)亠（乞十1b）2十出（.a+cj（b十d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；x=80-（5+10+15+47）=3，y=20-（2+3+10+

28、2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个;设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；男生女生总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则事件包含的基本事件有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共6个;.P（A）-=；105（2）填写2X2列联表如下：心9.091；则k2_100X(50X1430X5)29.091>6.635且P(K2±6.635)=0.010,在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为&

29、quot;是否为体育达人'与性别有关”.19.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB丄平面ABC,AB_6,EC二2込,AC二旷斥，D,E为线段AB上的点，且AD_2DB,PD丄AC.（1）求证：PD丄平面ABC；（2）若MPAB二*，求点B到平面PAC的距离.【解答】证明：(1)连接CD,据题知AD=4,BD=2,.AC2+BC2_AB2,.ZACB_90°,cosN一&gCD乙4+12-2X2X2,-'3cosZABC_8，CD_，.CD2+AD2_AC2,.CD丄AB,又平面PAB丄平面ABC,CD丄平面PAB,CD丄PD,TPD丄AC,CDA

30、AC=C,PD丄平面ABC.第23页（共24页）解：（2）T,PD=AD=4,PA=4一迈,在RtAPCD中，PC=*+cd上2，_：6,PAC是等腰三角形，£蛋肚二呂迈,设点B到平面PAC的距离为d,由Ve_pac=Vp_aec，得|SAPACXS粧匚XPD，d=AABC乂卩。sapac第25页(共24页)故点B到平面PAC的距离为3.20.(12分)已知圆C：x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E：y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F的距离为iT?.(1) 求抛物线E的方程；(2) 不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点，且满足OA丄0B.设点M为圆C上任意一动点

31、，求当动点M到直线丨的距离最大时的直线l方程.【解答】解：(1)圆C：x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心为(-1,1).抛物线E：y2=2px(p>0),焦点坐标F(),由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为亍.则：(y+l)£+l=17，解得：p=6.故抛物线的方程为：y2=12x(2)设直线的方程为x=my+t,A(x】，yj,B(x?,，yj,产?则：丫二也,、工二my+1:整理得：y2-12my-12t=0,所以：yyQulZm,y1y2=-12t.由于：0A丄OB.则：x1x2+y1y2=0.即：(m2+1)y1y2+mt(y1+y

32、2)+t2=o.整理得：t2-12t=0,由于tHO,解得t=12.故直线的方程为x=my+12,直线经过定点(12,0).当CN丄I时，即动点M经过圆心C(-1,1)时到直线的距离取最大值.当CP丄I时，即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线L的距离取得最大值.kMP=kcp=-yy,贝V：口=丄.13此时直线的方程为：x=-L_-1即：13x-y-156=0.21.(12分)已知函数f(x)=lnx-a(x+1),aR在(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1) 求f(x)的单调区间；2!(2) 若存在x0>1,当xe(1,x°)时，恒有成立，求k的取值范围.【解答】解：(

33、1)由已知可得f(x)的定义域为(0,+-),°°f'(x)=-a,：f'(1)=1-a=0,解得：a=1,f，(x)二U,令f'(x)>0,解得：OVxVI,令f(x)VO,解得：x>1,故f(x)在(0,1)递增，在(1,+*)递减；2i(1)不等式f(x)-+2x+1>k(x-1)222.可化为Inx+x-±>k(x-1),222i令g(x)=lnx-+x-丄-k(x-1),(x>1),22g'(x)=J+d空,XVx>1,令h(x)=-X2+(1-k)x+1,h(x)的对称轴是x=2 当旦£1时,即k±-1,2易知h(x)在(1,x0)上递减,h(x)Vh(1)=1-k,若k±1,则h(x)W0,g'(x)W0,g(x)在(1,X。)递减,g(x)Vg(1)=0,不适合题意.若-1WkV1,则h(1)>0,必存在x0使得xe(1,x0)时，g'(x)>0,g(x)在(1,x0)递增,g(x)>g(1)=0恒成立,适合题