2019-2020学年浙江省丽水市高二上学期期末数学试题

1、2019-2020学年浙江省丽水市高二上学期期末数学试题一、单选题1. 若直线x+2y+l=0的斜率为k,在轴上的截距为b，贝ij()A.k=2,b=Bk=,b=122C.k=-yb=丄D.k=-2、b=-l22答案c根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，据此分析hb的值，即可得答案.解：解：根据题意，直线x+2y+l=0,其斜截式方程为y=其斜率k=-；,在y轴上的截距b=-g,22故选：c.点评：本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化，注意直线斜截式方程的形式，属于基础题.2. 圆C/+y2=2与圆C2:(x+l)2+(y-l)2=8的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.相离答

2、案E分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系.解:解：圆CL:x2+y2=2的圆心C】(0,0),半径r严忑,C2:(x+l)2+(y-l)2=8的圆心G(1,1),半径匚=2忑,则两圆的圆心距=,即两圆内切.故选：B.点评：本题考查两圆的位置关系的判断，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题.3. 已知？，/是两条不同的直线，0是两个不同的平面，下列命题中不正确的是A.若l/a,l丄0,则q丄0B.若/加，/丄a,加丄0,则allpC.若/加，/丄a,加/0,则allpD.若/丄a，加丄0,allp,贝ij/,；?答案c根据空间中的平行与垂直关系，对

3、选项中的命题进行分析、判断正误即町.解：解：对于A,Illa时，过/作平面/Ca=n，则l/n.由/丄0知“丄0,所以a丄0,故A正确：对于E,当/加，/丄a,加丄0时，得/丄0且/丄a,所以allp,故E正确；对于C,当1/In,/丄a,血/0时,则a丄0,所以C错误；对于D,当/丄a,allp时，/丄0,又加丄0,所以/加，D正确.故选：C.点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断问题，也考查了符号语言应用问题，是基础题.4. 双曲线乂少=1的左右焦点分别为仟，只，点在P双曲线上，若可=5,则412_|=（）A.1B.9C.1或9D.7答案E求得双曲线的a,b,c,判断P的位置，结合双

4、曲线的定义，可得所求值.解：解：双曲线=1的a=2.b=2/3,c=丁4+12=4,412点在P双曲线的右支上,可得阴Aa+c=6,点在P双曲线的左支上，可得川,一。=2,由阿|=5可得P在双曲线的左支上,可PF2-PFl=2a=4f故选：B.点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法解题，以及分类讨论思想，属于基础题.5. “111(。一2)-111(/?一1)>0”是<*1”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案.解：7/-2>0解：由In(。一

5、2)-ln(b-l)>0,得</?-1>0,ci-2>b-l得>1；b反之，由>1»不一定有ln(c/2)ln(b1)>0,如ci=2,b=l“ln(a2)ln(b1)>0”是“彳>1”成立的充分不必要条件.故选：A.点评：本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.6. 直线av+by+d+b=O(c/Z?HO)和圆x2+y2-2x-5=0的交点个数()A.0B.1C.2D.与a,b有关答案C圆题意可知直线恒过圆内的定点(-1-1),故可得直线与圆相交，即可判断解：解：因为直线ax+by+a+

6、b=O(abO)可化为a(x+1)+b(y+1)=0,所以直线恒过定点(-1-1),因为(_l+(_l_2(_l)_5v0则点(-1-1)在圆x2+y2-2x-5=0内,故直线ax+by+a+b=O过圆内的点，与圆相交，即交点个数为2.故选：C.点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，解题的关键是发现直线恒过定点(-1、-1)且定点在圆内.7.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍輕”(chumeng)是指底面为矩形,顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍瓮，其中是正三角形,AB=2BC=2EF,则以下两个结论：ABHEF；BF丄ED,()A.和都不成立B.成立，但不成立

7、C.不成立，但成立D.和都成立答案B利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.解：解：AB/CD,CD在平面CDEF内,AB不在平面CDEF内，:.AB/平面CDEF,又EF在平面CDEF内，由在平面ABFE内，且平面ABFE*平面CDEF=EF,AAB/EF,故对；如图，取CD中点G,连接BG,FG,由AB=CD=2EF,易知DE7/GF,且DE=GF,不妨设EF=1,则BG=y/BC=yflEF=忑,假设丄ED,则BF+FG'=BG'，即1+FG、=2,即FG=1,但FG的长度不定,故假设不一定成立，即不一定成立.故选：B.点评：本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定

8、，考查逻辑推理能力，属于中档题.8. 已知4(一1,0),3(1,0),点P(x,y)(yH0)在曲线ylx2+y2+4.V+4-Jx，+)F_4x+4=2上，若直线PA，PB的斜率分别为人，k?,则()A.k.=-B.&化=一3c.k.k,=-D.kk、=312313答案D先根据已知条件得到点P在以(-2,0),(2,0)为焦点，2d=2的双曲线上，且在右支上;再利用整体代换即可求解.解：解：因为曲线Jx2+4x+4一+y，-4兀+4=2，即J(x+2)2+y2-y/(x-2)2+y2=2；点P在以(-2,0),(2,0)为焦点，2a=2的双曲线上，且在右支上，对应的曲线方程为:x2

9、-=l,(x>0)；gW二丄=3_A+lX-lX-l21T故选：D.点评：本题主要考查曲线与方程，解决本题的关键点在于根据已知条件得到点P所在曲线，属于基础题目.9. 若实数)，满足方程xcos&+ysin&=l(&wR),则()A.|.r|+|y|<>/2B.x+y>>/2C.x2+y2<IDX2+y2>1答案D直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结呆.解：解：由于1=xcos&+ysin&=Jx'+y'sin(x+&)<+，故：x2+y2>I.故选：D.点

10、评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.10.如图，在三棱锥P-ABC中，PB=BC=a,PA=AC=b(ci<b)t设二面角P-AB-C的平面角为&,则()A.a+ZPCA+ZPCB>n,2a<ZPAC+ZPBCB.a+ZPCA+ZPCB<7t,2a<ZPAC+ZPBCC.a+ZPCA+ZPCB>it92a>ZPAC+ZPBCDa+ZPCA+ZPCB<Ti92a>ZPAC+ZPBC答案c解题的关键是通过构造垂面得出乙PMC=a,然后转化到平面

11、中解决即门J解:由PB=BC=a,PA=AC易知BD丄PC,AD丄PC,故可得PC丄平面ABD,作PM丄AB于M,由厶ABP=ABC,可得CM丄AB,乙PMC=a,又PM=CM=h<a<b由图（2）口J得一=>>2222:.2a>APAC+APBC,/PRC/PACa+ZPCA+ZPCB>-+ZPCA+ZPCB22APBC2+ZPCB+APAC2+ZPCA=故选：C.点评：本题考查空间角的综合问题，考查空间想彖能力，逻辑推理能力，属于中档题.11.已知直线l.y=kxm与椭圆+22=1交于4,3两点，且直线/与X轴，V轴43分别交于点C,D若点C,D三等分线

12、段AB,则（）A.k2=丄B.k=C.in2=3.3D.41625答案D将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出中点坐标及弦长AB,由题意知CD的坐标及中点与AB的中点相同求出，的值，再由C,D三等分线段AB,则CD=ABt求出的值，选出结果.解：解：设4（x,y）,B（x',y'）,联立直线与椭圆的方程整理得：（3+4/）疋+8如圧+47-12=0,A=64k2m24（3+4疋）（4肿_12）>0,解得r2<3+4/,，一8km4府一12/6wx+x=,xx=.y+y=kx+x+2/7?=-3+4疋3+4疋丿丿I丿3+4疋所以中点P<-4km3/?i3+

13、4L3+4k丿Hl由题意得c一,0,£）（0jw）,点c,D三等分线段AB,'k丿所以CD的中点也为几一4kmm3+4疋迈一3m3+4疋3由题意加HO,所以可得：k2=-；4所以弦长AB=Jl+Fj(x+x)-4xr=y/l+k2(3+4T3+4/由题意得c_；0,D(0冲),CD=由题意cd=ab93解得in2=-,故选：D.点评：考查直线与椭圆的值应用，属于中档题.二、填空题12.椭圆二+22=1的焦点坐标是()23A.(0,±1)B.(±1,0)C.(0,±>/5)D.(±>/5,0)答案A直接利用椭圆方程，求岀久b,

14、然后求解c即可.解：解：椭圆S+22=1,可得a=F、b=Q可得C=,23所以椭圆的焦点(0,±1).故选：A.点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题.13. 双曲线匚-22=1的焦距是,渐近线方程是412答案8y=土屈由双曲线方程求得b,c的值，则其焦距与渐近线方程口求.解：由题知，d'=4,b2=12,故c2=a2+b2=i6,双曲线的焦距为：2c=8,渐近线方程为：y=±-x=±.x=±y/3x.a2故答案为8；y=±V3.v.点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题.14. 已知直线V

15、2x+3y-8=0和/2：av-6y-10=0.若“仏，则实数a=两直线人与厶间的距离是.答案-4>/13由直线/1:2x+3y-8=0和I2:ax-6y-l0=0.lJ/l2,利用直线与直线平行的性质能求出S扌巴l2：ax-6y-10=0转化为：2x+3y+5=0,利用两平行线间的距离公式能求出两直线厶与人间的距离.解：解：直线«：2x+3y-8=0和l2.ax-6y-10=0,/2,a6-二-_,解得ci=4,23/.厶：ax-6y-10=0转化为：2x+3y+5=0,两直线厶与/、间的距离是：=半亘=姮.-J4+9故答案为：4:y/l3-点评：本题考查实数值、两平行线间的

16、距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.x+y>m.15.已知实数x,7满足不等式组lx+2y<2,若z=的最小值为1，贝ij沖0.加=乙的最大值是.答案14作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数Z=2x-y的最小值利用数形结合即可得到结论.解：x+y>m,解：先作出实数X,y满足约束条件ix+2y<2,的可行域如图，y>0.目标函数=2x-y的最小值为：-1,由图象知z=经过平面区域的A时目标函数取得最小值-1.f2x-y=-lx+2y=2,解得A(0,1),同时A(0,1)也在直

17、线x+y-7=0上,/.l-/77=Ot则m=1,Z=2xy过点C(2,0)时取最大值；所以其最人值为z=2x20=4.故答案为：1;4.点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.16. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面积是门沪俯视图答案5+2V2+-JT2首先画出直观图，再进一步利用公式求出结果.解：解：根据几何体的三视图，可得直观图如下:4底面为一个等腰直角三角形和一个半径为1的丄个圆.11兀3142丿所以S=-xxl2+_xlxlx2+2+>/J+-x2=龙+5+2.故答案为：1+54-2a/2

18、.点评：本题考查的知识要点：三视图和几何体之河的转换，几何体的体积公式的应用和表面枳公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.17. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P是抛物线C上的点.若线段PF被直线x=2平分，贝ij|PF|=.答案4由题意求出抛物线的焦点坐标及准线方程，由线段PF被直线x=2平分，则2是中点的横坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，进而求出PF的值.解:解：由题意知焦点尸彳,0,准线方程：x=-与,设P的横坐标心,由题意22=上+兀，由抛物线的性质知PF=x°+匕=4,故答案为：4.考查抛物线的性质，

19、属于基础题.18. 如图，在三棱锥A-BCD中，底面是边长为2的正三角形，AB=AC=AD=4,且GF分别是BC,4D中点，则异面直线4E与CF所成角的余弦值为15连结DE,到DE中点P,连结PF、PC,贝ijPF/AE,从而ZPFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE和CF所成角的余弦值.解：解：因为三棱锥A-BCD中，底面是边长为2的正三角形，AB=AC=AD=4,所以三棱锥A-BCD为正三棱锥：连结D&取DE中点P,连结PF、PC,正三棱锥A-BCD的侧棱长都等于4,底面正三角形的边长2,点E、F分别是棱BC、AD的中点，:.PF/AE,ZPFC是异面直线A

20、E和CF所成角的余弦值，AE=>/42-l2=V15,DE=a/22-12=加，一厂AC2+AD2-CD216+16-47cosZCAr=-2xACxAD2x4x48CF=(4'+2S2xg=祈,15丄伍7/.cosZPFC=4习=2xxV615'2异面直线0”成角的余弦值为響.故答案为：士叵.15点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.19.已知椭圆-+-=1的右焦点为尸,上顶点为A,点P在圆x2+y2=8上，点0在椭圆上，则2PA+PQ-QFj最小值是.答案6-2点求得椭圆的ci,b,c,可得

21、焦点坐标和顶点坐标，可P(2jIcosG2jIsmO),由两点的距离公式可得2PA=PB,即点P与BQ4近)的距离，再由椭圆的定义，可得2PA+PQ-QF冃PB|+|P0|+|0月2&,再由四点共线取得最值，可得所求.解：解：椭圆-f=1的ci=>/6,b=JT，c=2,62右焦点为尸(2,0),右焦点为&(一2,0),上顶点为4(0,、任)，点P在圆x2+y2=8上,可设P(2y/2cos0,2>/2sin0),2PA=2J(2血cos&)'+(2>/Isin外=2jl0_8sin8=(40-32sin0=J(2屁osb+QVTsinO-MF

22、表示点P与3(0,4J7)的距离，由椭圆的定义可得一IQFQF'2-2a=QF2-2>/6,1PA+PQ-QF冃刖|+|卩0+|0竹|-2点纠朋卜2石=7（0+2）2+（4>/2）2-2&=6-2“，当且仅当5E0,F,三点共线上式取得等号,故2|PA|+|P0|-|0F|的最小值是6-26.故答案为：62y/6-点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查圆的参数方程的运用和两点的距离公式，注意转化思想和数形结合思想，考查化简运算能力，属于难题.三、解答题20.已知X2+）24.丫+2巧+2一2加+1=0（也eR）表示圆C的方程.（1）求实数加的取值范围;（2）若直

23、线l:x+2y=0被圆C截得的弦长为4,求实数加的值.答案（1）-!</<3（2）m=l（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得T斥-2加+3>0,解可得7的取值范I亂（2）根据题意，分析圆C的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系分析可得(2-2mXI>/5)=-11V+2/77+3解可得加的值,即可得答案.解:解：（1）配方得：（x2）'+0+加）=一F+2？+3由一卅-2m+3>0，解得：-!</?<3；（2）由题意可得：圆心为C（2-m）,半径r=3+2m+3点评：本题考查圆的一般方程以及直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于

24、基础题.21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，Q4丄底面ABCD,AD/BC,ZABC=90°,AB=BC=1,PA=AD=2.（1）求证：CD丄平面PAC；（2）在棱PC上是否存在点使得AH丄平面PCD?若存在，确定点H的位置：若不存在，说明理由.2答案（1）见解析（2）在棱PC上存在点H,PH=】PC,使得丄平面PCD.（1）由题意，利用勾股定理可得DC=AC=、可得AC2+DC2=AD2，可得AC丄DC，利用线面垂直的性质可得阳丄CD,利用线面垂直的判定定理即可证明DC丄平面刊C；（2）过点A作AH丄PC,垂足为H,由（1）利用线面垂直的判定定理可证明AH丄平_2面PCD,在R

25、TlPAC中，由PA=2,AC=g可求PH=PC,即在棱PC上存2在点、H,且PH=-PC,使得AH丄平面PCD.解:解（1）由题意，可得DC=AC=g:.AC2+DC2=ADZ,即AC丄DC,又PA丄底面ABCDP4丄CD,且PAHAC=A,:.DC丄平面PAC；（2）过点4作AH丄PC,垂足为H,由（1）可得CD丄AH,又PCnCD=C,：AH丄平面PCD.在RtZWIC中,阳=2，AC=4i，譬1PAPCPH=-PC.32即在棱PC上存在点H,且PH=-PC,使得AH丄平面PCD.点评:本题主要考查了勾股定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题.

26、22. 如图，在三棱台ABC-Aq中，底面AABC是边长为4的正三角形,Ad=44=CC=2,BB=3,E是棱AG的中点，点尸在棱43上，且AF=3FB（1）求证：EF/平面BCC:（2）求直线EF和平面4BC所成角的正弦值.答案（1）见解析（2）壬厘58取BC上一点G,满足CG=3GB,连接Cfi,FG,推导出四边形EFGC、为平行四边形，从而EF/Cfit由此能证明EF平面BCCQ.（2）延长交于一点P,取AC的中点为0,连接P0,0B,则P0LAC,30丄AC,过0作0D丄平面ABC,如图，以0A为;i轴，0B为y轴，0D为乙轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF和平面ABC所成角的正弦值.解：解：（1）取上一点G,满足CG=3G3,连Cfi9FG,CGAFgbTbeac，又ECJ/AC,EC1=1AECJIFG,EC严FG四边形EFGC,为平行四边形EF/ZCfi又CQu平面BCCD，矿（Z平面BCCfi:.EF平面BCCQ.（2）延长BB“Cq交于一点P,且G为边长为2的正三角形,取AC的中点为0,连接PO,OB,则PO丄AC疗O丄4C,且