复变函数教学学习教案

1、会计学1复变函数复变函数(hnsh)教学教学第一页，共32页。2问题问题: : 任一个解析函数能否任一个解析函数能否(nn fu)(nn fu)用幂级数来表达？用幂级数来表达？DKz.内任意点内任意点, )( 内解析内解析在区域在区域设函数设函数Dzf , 0为中心的任一圆周为中心的任一圆周内以内以为为zD如图如图:r0z.Krz 0 圆周圆周. 0rz , , KD 记为记为它与它的内部全包含于它与它的内部全包含于第1页/共31页第二页，共32页。3由柯西积分由柯西积分(jfn)公式公式 , 有有 Kzfizf,d)(21)( 其中其中(qzhng) K 取取正方向正方向., , 的内部的内

2、部在在点点上上取在圆周取在圆周因为积分变量因为积分变量KzK . 1 00 zzz 所以所以0001111zzzzz 则则第2页/共31页第三页，共32页。4 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)( NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 第3页/共31页第四页，共32页。5由高阶导数由高阶导数(do sh)公式公式, 上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中(qzhng) KNnnnNzzzfizR d)()()

3、(21)(010, 0)(lim zRNN若若可知可知(k zh)在在K内内 000)()(!)()(nnnzznzfzf第4页/共31页第五页，共32页。6, )( 内可以用幂级数来表示内可以用幂级数来表示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 , )( )(内内解解析析在在DKDzf 则在则在K上连续上连续(linx), , 10, qq且且无关的量无关的量是与积分变量是与积分变量 , )( 上上也也连连续续在在因因此此Kf , )(上上有有界界在在 Kf 第5页/共31页第六页，共32页。7即存在一个即存在一个(y )正常数正常数M,.)( MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd

4、)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 122nn NMqrr .1NMqq 第6页/共31页第七页，共32页。8lim0NNq K0)(lim zRNN在在内成立内成立,从而从而(cng r)在在K内内 圆周圆周K的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要K内成立内成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展开式泰勒展开式,)(zf在在0z泰勒泰勒(ti l)级数级数第7页/共31页第八页，共32页。9如果如果0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dz

5、z 0因为凡满足因为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒泰勒(ti l)展开定理展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数 的收敛半径的收敛半径R至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf第8页/共31页第九页，共32页。10, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒泰勒(ti l)级数级数泰勒泰勒(ti l)展开式展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0

6、时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍第9页/共31页第十页，共32页。11说明说明(shumng):001. ( ) , , ;f zDdzdz如如果果在在内内有有奇奇点点 则则等等于于到到最最近近一一个个奇奇点点之之间间的的距距离离 即即02.0,;z 当当时时 级级数数称称为为麦麦克克劳劳林林级级数数3.任何解析任何解析(ji x)函数在一点的泰勒级数是唯一的函数在一点的泰勒级数是唯一的. 第10页/共31页第十一页，共32页。12 )( zf因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用

7、所以复变函数展为泰勒级数的实用(shyng)范范围就围就要比实变函数广阔的多要比实变函数广阔的多.注意注意(zh y)问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否开式是否(sh fu)(sh fu)唯一？唯一？第11页/共31页第十二页，共32页。13 : )( 0已已被被展展开开成成幂幂级级数数在在设设zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末(n m),)(00azf ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此(ync), 任何解析函数展开成幂级数的结果任何解析函数展开成幂级数的结果

8、就是泰勒级数就是泰勒级数, 因而是唯一的因而是唯一的.第12页/共31页第十三页，共32页。14常用方法常用方法: : 直接直接(zhji)(zhji)法和间接法法和间接法. .1.直接直接(zhji)法法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数第13页/共31页第十四页，共32页。15例如例如(lr)，. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因

9、为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因为因为第14页/共31页第十五页，共32页。16仿照仿照(fngzho)上例上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在与与可得可得 zzz第15页/共31页第十六页，共32页。172. 间接间接(jin ji)展开法展开法 : 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函结合解析函数的性质数的性质(xngzh), 幂级数运算性质幂级数运算性质(

10、xngzh) (逐逐项求导项求导, 积分等积分等)和其它数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等) , 求函求函数的泰勒展开式数的泰勒展开式.间接间接(jin ji)(jin ji)法的优点法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接因而比直接展开更为简洁展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 .第16页/共31页第十七页，共32页。18例如例如(lr)， . 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnnizni

11、zi第17页/共31页第十八页，共32页。19附附: 常见函数常见函数(hnsh)的泰勒展的泰勒展开式开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z第18页/共31页第十九页，共32页。20,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!

12、)1()1( nznn )1( z第19页/共31页第二十页，共32页。21例例1 1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成z第20页/共31页第二十一页，共32页。22 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式两边上式两边(lingbin)逐项求导逐项求导,第21页/共31页第二十二页，共32页。23例例2 2. 0 )1ln( 泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主

13、值求对数函数的主值 zz分析分析(fnx), 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 Ro1 1xy第22页/共31页第二十三页，共32页。24NoImagezzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端将展开式两端(lin dun)沿沿 C 逐项逐项积分积分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲线的

14、曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 第23页/共31页第二十四页，共32页。25例例3 3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第24页/共31页第二十五页，共32页。26例例4 4 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因为因为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1

15、,12)1(012 znznnn第25页/共31页第二十六页，共32页。27例例5 5.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432第26页/共31页第二十七页，共32页。28 通过本课的学习通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法, 能

16、比较熟练的把一些能比较熟练的把一些(yxi)解析函数解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.第27页/共31页第二十八页，共32页。29奇、偶函数的泰勒奇、偶函数的泰勒(ti l)级数有什么特点级数有什么特点?思考题思考题第28页/共31页第二十九页，共32页。30 奇函数的泰勒奇函数的泰勒(ti l)级数只含级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项, 偶函数偶函数的泰勒的泰勒(ti l)级数只含级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案(d n)放映结束放映结束(jish)(jish)，按，按EscEsc退退出出. .第29页/共31页第三十页，共32页。31Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylor第3