弯曲变形PPT课件

1、1材 料 力 学南京航空航天大学陶秋帆等第六章弯 曲 变 形2第六章 弯曲变形本章内容:1 工程中的弯曲变形问题2 挠曲线的微分方程3 用积分法求弯曲变形4 用叠加法求弯曲变形5 简单静不定梁6 提高弯曲刚度的一些措施6. 1 工程中的弯曲变形问题6. 2 挠曲线的微分方程对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。大多数情况下，要求梁的变形不能过大；一些特殊情况下，要利用弯曲变形。求解静不定问题需要计算梁的变形。挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。对称弯曲时，是一条平面曲线。346. 2 挠曲线的微分方程1 基本概念形的度量挠度横截面形心沿y方向的位移，用v表示。挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。对称弯曲时，

2、是一条平面曲线。弯曲变5挠度横截面形心沿y方向的位移，用v表示。转角变形后，横截面相对其原来位置转过的角度。用 表示。转角 以逆时针为正。挠曲线方程v = f (x)转角即为挠曲线在该点的切线与x轴的夹角。dvdxtan =d v dv 62 挠曲线的微分方程上一章中，已得到：忽略剪力对变形的影响时，梁对称弯曲时的曲率为由高等数学公式M(x)EI=1(x)=1(x)3/22 2 2dx 1+ dx=dx dv d v1=dx(x) dv =EI1(x)3/2 3/2 M(x),EId2v22 1+ dx222 1+ dxM(x)这就是挠曲线的微分方程。7d v dv d vdx挠曲线的近似微分

3、方程3/22 2 2dx 1+ dxM(x)EI=在小变形的情况下， 1dvdx22M(x)EI=方程中正负号的确定8d vdxd vdx9挠曲线的近似微分方程在小变形的情况下， 1dvdx22M(x)EI=方程中正负号的确定所以方程中应取正号。M(x)EI=22d vdxdx10挠曲线的近似微分方程在小变形的情况下， 1dvdx22M(x)EI=方程中应取正号。方程中正负号的确定M(x)EId2v2=转角:注意: 挠曲线的近似微分方程仅适用于小变形的平面弯曲问题。dvdx tan =d vdxv =dx dx+Cx+D6. 3 用积分法求弯曲变形挠曲线近似微分方程积分一次，得M(x)EI22

4、=dvdx =再积分一次，得 M(x) EI边界条件11=dx+CM(x)EI其中，C、D为积分常数，由边界条件确定。12边界条件几种典型的边界条件简支梁v(0) =0, v(l) =0悬臂梁v(0) =0, v(0) =0弯曲变形的对称点处 =v=0连续条件在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。13梁的刚度条件maxff , max 连续条件在挠曲线的任意点处，有唯一的挠度和转角。D点和C点的连续条件各为什么？1D =2D2D 3D中间铰处，挠度连续，转角不连续。D点： v1D =v2D=0C点： v2D =v3D ,14例 2 (书例6.3)已知：简支梁受集中力作用。解：求：转角和挠曲线

5、方程。(1) 求支反力，列弯矩方程,PblRA =PalRB =支反力弯矩方程AC段：x1PblM1 =(0 x1 a)AC段： EIv1 =EIv1 =x1 +C1 ,x1 +C1x1 + 15D1(1) 求支反力，列弯矩方程弯矩方程AC段： M1 =Pbx1l(0 x1 a)Pblx2 P(x2 a)CB段： M2 =(a x2 b)(2) 列近似微分方程，积分x1PblPb 1 2l 2Pb 1 3l 6EIv1 =AC段： EIv1 =EIv1 =x1 +C1 ,x1 +C1x1 +D1x2 P (x2 a) +C2x2 P (x2 a) +C2x2 +D2(2) 列近似微分方程，积分

6、x1PblPb 1 2l 2Pb 1 3l 6EIv1 =Pblx2 P(x2 a)CB段： EIv2 =Pb 1 2 1 2l 2 2Pb 1 3 1 3l 6 6 16EIv2 =EIv2 =(l b )(3) 确定积分常数连续条件v1 (a) =v2 (a)v1(a) =v2(a)C1 =C2,D1 = D2边界条件 x1 =0时, v1 =0;x2 =l 时, v2 =0代入相应的方程，得: D1 = D2 =0Pb 2 26l 17C1 =C2 = (l b )(l b 3x1 ),(l b x1 )(l b 3x2)+边界条件 x1 =0时, v1 =0;x2 =l 时, v2 =

7、0代入相应的方程，得: D1 = D2 =0Pb 2 26lC1 =C2 = 将求得的积分常数代回方程，得:AC段：Pb 2 2 26lEIv1 = Pbx1 2 2 26lEIv1 = 2 2 23lbPb6l(x2 a)218CB段： EIv2 = (l b 3x1 ),(l b x1 )(l b 3x2)+(x2 a) (l b 3x2)x2 + (x2 a) 19将求得的积分常数代回方程，得:AC段：Pb 2 2 26lEIv1 = Pbx1 2 2 26lEIv1 = 22 2 23lbPb6lCB段： EIv2 = 2 2 2 l 3bPb6lEIv2 = (4) 求最大转角和最大

8、挠度Pb(l b )20(4) 求最大转角和最大挠度最大转角由图，最大转角可能发生在A点或B点。2 26EIlA = Pab(l +b)6EIl= Pab(l +a)6EIlB =最大挠度l b(l b )21最大挠度经分析，最大挠度发生在AC段。322令： v1 =0 x0 =2 2 3Pb9 3EIlfmax = 经讨论知，不论P力作用在何处，最大挠度总发生在中点附近(或中点)。所以可近似地以中点的挠度作为最大挠度。22本例中 (书例6.3)书上 p. 222:采取了一些措施PblAC段：M1 =关于确定积分常数Pblx2 P(x2 a)x1 CB段： M2 =(1) 列弯矩方程措施1 各

9、段的坐标原点为同一点：左端点。措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。23关于确定积分常数措施1 各段的坐标原点为同一点：左端点。措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。措施3 有分布载荷时，需将其延长到梁的右端，并在延长部分加上等值反向的分布载荷。措施4 有集中力偶时，采用 m(xi-ai)0 的形式。d vdx246. 4 用叠加法求弯曲变形叠加法M(x)EI22=在线弹性小变形的条件下，得到挠曲线近似这是一个线性的常微分方程。微分方程在第四章中，证明了在小变形的条件下，弯矩与外载荷成线性关系，可用叠加法求弯矩图。设：M(x) = M1(x)+M2(x)d vdxd v1dxd

10、 v2dxd vdxd (v1+v2)d v1dxd v2dxM(x)EI22=这是一个线性的常微分方程。挠曲线近似微分方程设：M(x) = M1(x)+M2(x),22M1(x)EI=M2(x)EI22=则共同作用时：22EI222225+EI= M(x) = M1(x)+M2(x) = EI2= EIdx2d vd v1d (v1+v2)dx26则共同作用时：2 2dx dxd2v22+EI即：共同作用下的挠度等于分别在M1(x) 、M2(x)单独作用下的挠度的代数和。综合以上讨论得到：在线弹性小变形的条件下，外载荷与挠度 (力与位移)成线性关系，可用叠加法计算梁的挠度。EI 2 = M(

11、x) = M1(x)+M2(x) = EI 22= EI 2 v=v1+v2dx叠加法的基础熟记简单载荷作用下的挠度和转角。见教材 p. 224 表6.1 。要求记住：1、2、4、6、8、10。叠加法的两种类型(1) 载荷叠加法将载荷分解为几个简单载荷，分别求解后，进行叠加；(2) 变形叠加法在内力不变的前提下，将梁分解(或刚化)为几段，求出各段的变形，然后进行叠加。 27例 1已知： q , l , EI= 常数。求：vC, B。解：分解为三个简单载荷。285ql由p. 224 表6.1 中的104384EIvC1 = ql324EIB1 =由表6.1 中的8295qlqlPlql30由p.

12、 224 表6.1 中的104384EIvC1 = 324EIB1 =由表6.1 中的8Pl348EIvC2= 216EI=B2ql448EI= 316EI=qlPlqlml2ql31由表6.1 中的8Pl348EIvC2 = 216EIB2 =由表6.1 中的6vC3 = ml3EIB3 =4=16EI 16EIql33EI= 448EI= 316EI=ql4mlql11ql32由表6.1 中的6vC3 = ml3EIB3 =2=16EI 16EI33EI= 叠加11ql4384EIvC = vC1 +vC2 +vC3 =348EIB =B1 +B2 +B3= 33例 2已知： q , l

13、, EI= 常数。求：vC, C。解： 表中没有对应的情况。方法：凑成表中相应的情况。再分为两种载荷。由p. 188 表6.1中的4qlqlqlql34再分为两种载荷。由p. 188 表6.1中的448EI36EIvC1 = C1 = 由p. 224 表6.1中的4q(l /2)8EI4vB2=q(l/2)6EI3=B2,4128EI=348EI=qlqlqlqll7qlql35由p. 188 表6.1中的4q(l /2)8EI4vB2=q(l/2)6EI3, B2 =4128EI=348EI=注意，变形后BC为直线。vC2 = vC21 +vC224128EI= vB2 +B2 l /234

14、8EI 2+4384EI=348EIC2 =B2=ql41ql36ql4128EI=vC2 = vC21 +vC22 = vB2 +B2 l /2ql3 l48EI 2+7ql4384EI=348EIC2 =B2=所以7ql 348EIC =C1+C2=vC = vC1 +vC24384EI= 37例 3 (书例6.5)已知：P1 , P2 , a,l, EI = 常数。求：vC, B。解：简化为外伸梁如图。将AC梁分为两个部分。简支梁在B处的内力: Q=P 1M =P 1aP 1alP 2lP 1alP 2l38将AC梁分为两个部分。简支梁在B处的内力: Q=P 1M =P 1a求 B由p.

15、 188 表6.1中的6Ml3EI(B)M =33EI=由表6.1中的8216EI(B)P2 = 33EI所以 B = (B)M +(B)P2 =216EIQ不引起变形。P 1alP 2lvC1 = aB=P 1aP 2al39所以2B =(B)M +(B)P33EI=216EI求 vCC点的位移由两部分组成：由B截面转角引起的位移和由悬臂梁BC的变形P 1a2l33EI216EI33EI由表6.1中的2 vC2 =引起的位移。vC1 = aB=P 1aP 1a lP 2alP 1aP 2al40求 vCC点的位移由两部分组成：由B截面转角引起的位移和由悬臂梁BC的变形2 33EI216EI3

16、3EI由表6.1中的2 vC2 =引起的位移。vC = vC1 +vC223EI=216EI(a+l)41例 4已知：P, l, EI,EA。求：vE。(1) 将刚架看成是刚体则AB相当于简(2) 刚架变形支梁。vE1vE2= vB / 2解： 思 路42(1) 将刚架看成是刚体则AB相当于简(2) 刚架变形支梁。vE1vE2 =vB /2求 vB(3) CD看成刚体vB1(4) BC看成刚体43求 vB(3) CD看成刚体vB1(4) BC看成刚体vB2 , vB3具体计算对BC，由表6.1中的2CD的压缩变形P/2 l33EIP/ 2 lEAvB1 =vB2 =P/2 lvB = vB1

17、+vB2 +vB3 =C =+2EA具体计算对BC，由表6.1中的23P/2 l3EIvB1 =2P/2 lEI44CD的压缩变形P/ 2 lvB2EACD的弯曲变形，由表6.1中的13所以， vB3 =lC =EI 32Pl3EIPlP/2 l2Pl3C =+又: vE2 = vB452P/2 lEIPl2EA12CD的弯曲变形，由表6.1中的13所以， vB3 =lC =EIvB = vB1 +vB2 +vB3 =3EI对简支梁AB,由表6.1中的8Pl3vE1 =48EI2PlPl又: vE2 = vBPlPl4633EIvB =Pl2EA+348EIvE1 =对简支梁AB,由表6.1中

18、的8348EI12vE = vE1 +vE2 =33EI+Pl4EA+6. 5 简单静不定梁本节讨论简单静不定梁的求解。例子车床上被加工的工件。计算简图如图是一次静不定问题。基本概念静定基47基本概念静定基将静不定系统中的多余约束解除后，得到的“静定基本系统”。相当系统 在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与静不定系统完全相同的“相当系统”。本例中解除B处可动支座约束，得到静定基。4849解除B处可动支座约束，得到静定基。在静定基上加上P和RB, 得到相当系统。PRB求B点挠度用叠加法在静定基上加上P和RB, 得PRB到相当系统。求B点挠度fB =(fB)P +(fB)RB变形协调条件用叠加法fB =(fB)P +(fB)RB= 0具体计算B点挠度50RBl由表6.1中的2 ( fB)RB = aa(3 2 3 )变形协调条件fB =(fB)P +(fB)RB= 0具体计算B点挠度由表6.1中的3Pa26EI(3l a)( fB)P =2 3l lP233EI代入变形协调条件，可解出 RB =求出RB后，就可象求解静定梁一样求解了。 5152说明静定基不是唯一的，可有多种选法。d