空间几何体的表面积与体积时综合学习教案

1、空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积(tj)时综合时综合第一页，共49页。【知识梳理(shl)】1.必会知识 教材回扣填一填(1)空间几何体的侧面积和表面积多面体的表面积:因为多面体的各面都是平面,所以多面体的表面积就是各个面的_,即展开图的面积,侧面积就是侧面展开图的面积.面积(min j)之和第1页/共49页第二页，共49页。旋转体的侧面展开(zhn ki)图及其表面积与侧面积:名称名称侧面展开图侧面展开图表面积表面积侧面积侧面积圆柱圆柱矩形矩形S=_S=_=_=_S S侧侧=_=_圆锥圆锥扇形扇形S=rS=r2 2+r+rl=r(r+=r(r+l) )S S侧侧=_=_2r2

2、+2rl2r(r+l)2rlrl第2页/共49页第三页，共49页。名称名称侧面展开图侧面展开图表面积表面积侧面积侧面积圆台圆台扇环扇环S=_S=_S S侧侧= =_球球S=_S=_(r(r为半径为半径) )(r2+r2+rl+rl)(r+r)l4r2第3页/共49页第四页，共49页。(2)几何体的体积柱体:V=_(S为底面面积,h为高),特别(tbi)地,V圆柱=_(r为底面半径,h为高);锥体:V=_(S为底面积,h为高),特别(tbi)地,V圆锥=_(r为底面半径,h为高);Shr2h1Sh321r h3第4页/共49页第五页，共49页。台体:V=_(S,S分别为上、下底面面积(min j

3、),h为高),特别地,V圆台=_;球:V=_(R为半径).1h(SSSS)3 34R3221h(rrrr )3 第5页/共49页第六页，共49页。2.必备结论 教材提炼记一记(1)长方体的外接球球心(qixn):体对角线的交点;半径:r= (a,b,c为长方体的长、宽、高).(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球外接球:球心(qixn)是正方体中心;半径r= (a为正方体的棱长);内切球:球心(qixn)是正方体中心;半径r= (a为正方体的棱长);与各条棱都相切的球:球心(qixn)是正方体中心;半径r= a(a为正方体的棱长).222abc23a2a222第6页/共49页第七页，共

4、49页。(3)正四面体(zhn s min t)的外接球与内切球(正四面体(zhn s min t)可以看作是正方体的一部分)外接球:球心是正四面体(zhn s min t)的中心;半径r= a(a为正四面体(zhn s min t)的棱长);内切球:球心是正四面体(zhn s min t)的中心;半径r= a(a为正四面体(zhn s min t)的棱长).64612第7页/共49页第八页，共49页。3.必用技法 核心总结看一看(1)常用方法:割补法与等体积转化法.(2)数学思想(sxing):转化与化归、函数与方程.(3)记忆口诀:台体体积公式记忆口诀:上底面、下底面,两底积根加号连,乘高

5、除三体积见.第8页/共49页第九页，共49页。3.真题小试(xio sh) 感悟考题试一试(1)(2014四川高考)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是()(锥体体积公式:V= Sh,其中S为底面面积,h为高)A.3B.2C. D.1133第9页/共49页第十页，共49页。【解析】选D.根据所给的侧视图和俯视图,该三棱锥的直观图如图所示.从俯视图可知(k zh),三棱锥的顶点A在底面内的投影O为边BD的中点,所以AO即为三棱锥的高,其体积为213V231.34第10页/共49页第十一页，共49页。(2)(2013天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 ,则

6、正方体的棱长为.【解析】设球半径为R,因为球的体积为 所以R= ,又由球的直径与其(yq)内接正方体的体对角线相等知正方体的体对角线长为3,故其棱长为 .答案:92349R32，3233第11页/共49页第十二页，共49页。(3)(2014山东高考)一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.【解析】设六棱锥的高为h,斜高(xi o)为h,则由体积V= 得:h=1,h= 所以侧面积为 2h6=12.答案:12311(2 2 sin 606)h2 332 ，223h2.12第12页/共49页第十三页，共49页。考点1 几何体的侧面积及表面积【典例1】(

7、1)(2014安徽高考(o ko)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A.21+B.18+C.21D.1833第13页/共49页第十四页，共49页。(2)(2015石家庄模拟(mn)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.第14页/共49页第十五页，共49页。【解题提示】(1)将三视图还原为原几何体,求各个(gg)面面积的和.(2)将三视图还原为原几何体,可得该几何体是长方体内挖去圆柱后剩下的部分.第15页/共49页第十六页，共49页。【规范(gufn)解答】(1)选A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24,两个全等的三棱

8、锥是以正方体的相对顶点为顶点,侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形,其侧面面积的和为3,三棱锥的底面是边长为 的正三角形,其表面积的和为 ,故所求几何体的表面积为24-3+ =21+ .3233第16页/共49页第十七页，共49页。(2)由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱(yunzh)体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为432+312+412=38,圆柱(yunzh)的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为211=2,圆柱(yunzh)的两个底面面积和为212=2.故该几何体的表面积为38+2-2=38.答案:38第17页/共49页第十八页，共49页。

9、【易错警示】解答本例题(1)有两点易出错:(1)由三视图将对应的几何体的结构特征还原错,而误选.(2)还原几何体正确,但忽视截去三棱锥后截面是一个(y )边长为 的正三角形,其面积和为 ,而误选C.32第18页/共49页第十九页，共49页。【互动(h dn)探究】把本例题(2)中的三视图改为如下图形,求该几何体的表面积.第19页/共49页第二十页，共49页。【解析】由三视图知,这是一个底面是矩形(jxng)的四棱锥,矩形(jxng)的长和宽分别是6,2,四棱锥的高是4,所以四棱锥的表面积是26+2 25+64 + 62=34+6 .12121255第20页/共49页第二十一页，共49页。【规律

10、方法】几何体表面积的求法(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形来解决.(3)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的处理.(4)若以三视图的形式给出,解题的关键(gunjin)是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.第21页/共49页第二十二页，共49页。【变式训练(xnlin)】(2015合肥模拟)如图所示,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的表面积为()A.15

11、3 3 B.9 3 C.306 3 D.18 3第22页/共49页第二十三页，共49页。【解析】选C.图中所示的三视图对应的是一个横放(hn fn)的四棱柱,该四棱柱四个侧面都是矩形,上、下两个底面是平行四边形,其表面积为233+232+23 =30+6 .33第23页/共49页第二十四页，共49页。考点2 几何体的体积知考情空间几何体的体积计算是近几年高考考查空间几何体的一个(y )重要考向,常与空间几何体的三视图、空间的平行、垂直关系等知识综合,主要以选择、填空题的形式出现.第24页/共49页第二十五页，共49页。明角度命题角度1:根据几何体的直观图计算体积(tj)【典例2】(2014山东

12、高考)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积(tj)为V1,P-ABC的体积(tj)为V2,则 =.【解题提示】本题考查了空间几何体的体积(tj),可以由底面积和高的比值求出体积(tj)的比值.12VV第25页/共49页第二十六页，共49页。【规范(gufn)解答】分别过E,C向平面PAB作高h1,h2,由E为PC的中点得 由D为PB的中点得SABD= SABP,所以V1V2= 答案:12h1h2，12ABD1ABP2111( Sh ) ( Sh ).33414第26页/共49页第二十七页，共49页。命题角度2:根据几何体的三视图计算体积【典例3】(2014

13、重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(本题源于教材(jioci)必修2P29B组T1)A.12B.18C.24D.30第27页/共49页第二十八页，共49页。【解题提示】直接(zhji)根据三视图还原为几何体,然后求出该几何体的体积.【规范解答】选C.由三视图可知,该几何体为如图所示的一个三棱柱上面截去一个三棱锥得到的.三棱柱的体积为 345=30,截去的三棱锥的体积为 334=6,所以该几何体的体积为24.121213第28页/共49页第二十九页，共49页。悟技法计算(j sun)几何体体积的常见类型及解题策略常见类型常见类型解题策略解题策略球的体积球的体积问题问题直接

14、利用球的体积公式求解直接利用球的体积公式求解, ,在实际问题中要在实际问题中要根据题意作出图形根据题意作出图形, ,构造直角三角形确定球的构造直角三角形确定球的半径半径锥体、柱体的锥体、柱体的体积问题体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高根据题设条件求出所给几何体的底面积和高, ,直接套用公式求解直接套用公式求解第29页/共49页第三十页，共49页。常见类型常见类型解题策略解题策略以三视图为以三视图为载体的几何体载体的几何体体积问题体积问题将三视图还原为几何体将三视图还原为几何体, ,利用空间几何体的体利用空间几何体的体积公式求解积公式求解不规则几何不规则几何体的体积问题体的体积问题常

15、用分割或补形的思想常用分割或补形的思想, ,若几何体的底不规则若几何体的底不规则, ,也需采用同样的方法也需采用同样的方法, ,将不规则的几何体或平将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形面图形转化为规则的几何体或平面图形, ,易于易于求解求解第30页/共49页第三十一页，共49页。通一类1.(2014浙江高考(o ko)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.72cm3 B.90cm3 C.108cm3 D.138cm3第31页/共49页第三十二页，共49页。【解析】选B.由三视图可知,原几何体是一个长方体和一个三棱柱(lngzh)的组合体,如图所示:

16、所以其体积为V=346+ 343=90.12第32页/共49页第三十三页，共49页。2.(2014新课标全国卷)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 ,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为() 【解析】选C.因为B1C1BD,所以(suy)BD面AB1C1,点B和D到面AB1C1的距离相等,所以(suy) 33A.3 B. C.1 D.2211111111A B DCD AB CB AB CCABB11VVVV2331.32 3第33页/共49页第三十四页，共49页。考点3 空间几何体的外接球、内切球问题【典例4】(1)(2014湖南高考)一块(y kui)石材表示的几

17、何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4第34页/共49页第三十五页，共49页。(2)(2015西安模拟(mn)四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB平面BCD,BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()A. B.12 C.16 D.32323第35页/共49页第三十六页，共49页。【解题提示】(1)先由三视图画出直观图,判断这个几何体是底面是边长为6,8,10的直角三角形,高为12的水平放置的直三棱柱,底面的内切圆的半径就是(jish)得到的最大球的半径.(2)将四面体ABCD补形成正三棱柱,转化为

18、正三棱柱的外接球问题求解.第36页/共49页第三十七页，共49页。【规范解答】(1)选B.由三视图画出直观图如图,判断这个几何体是底面是边长为6,8,10的直角三角形,高为12的水平放置(fngzh)的直三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r= =2,这就是得到的最大球的半径.68 102 第37页/共49页第三十八页，共49页。(2)选C.将四面体ABCD补形成正三棱柱,则其外接球的球心为上、下底面的中心连线(lin xin)的中点,底面BCD的外接圆半径为 ,所以外接球的半径R= =2,球O的表面积S=4R2=16.22AB3()23第38页/共49页第三十九页，共49页。【规律方法】空间几

19、何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段(xindun)PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.第39页/共49页第四十页，共49页。巧思妙解8 巧用补形法解决(jiju)立体几何问题【典例】(2015唐山模拟)如图:ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB平面ABC,且AEFCBD,BD=3,FC=4

20、,AE=5.则此几何体的体积为.第40页/共49页第四十一页，共49页。【常规解法】如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割(fng)法”把原几何体分割(fng)成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.由题知三棱柱ABC-NDM的体积为V1= 863=72.12第41页/共49页第四十二页，共49页。四棱锥D-MNEF的体积(tj)为: 则几何体的体积(tj)为:V=V1+V2=72+24=96.答案:962MNEF111VSDN126 824,332 梯形第42页/共49页第四十三页，共49页。【巧妙解法(ji f)】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA=BB=CC=8,所以V几何体= V三棱柱= SABCAA= 248=96.答案:96121212第43页/共49页第四十四页，共49页。【方法指导】(1)补形法的应用思路:“补形法”是立体几何(ltjh)中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,对于还原