第五章_债券价格波动性的衡量

1、n影响债券价格变动的因素：影响债券价格变动的因素：n发行人的信用质量发行人的信用质量n经济的周期经济的周期n债券的供求关系债券的供求关系n利率的变动利率的变动第五章第五章 债券价格的利率敏感性债券价格的利率敏感性n利率变动是引起债券价格变化的最常见因素利率变动是引起债券价格变化的最常见因素n基本问题基本问题：n利率变化是如何引起债券价格波动？利率变化是如何引起债券价格波动？n如何测量债券价格的波动？如何测量债券价格的波动？第五章第五章 债券价格的利率敏感性债券价格的利率敏感性n本章内容提要本章内容提要： n价格波动与票面利率、到期时间和初始收益率的关系价格波动与票面利率、到期时间和初始收益率的

2、关系n价格波动的衡量价格波动的衡量-利率敏感性利率敏感性n价格波动的测量方法：价格波动的测量方法：n基点价格值法（价格的相对百分比）基点价格值法（价格的相对百分比）n久期法久期法n凸率法凸率法 第五章第五章 债券价格的利率敏感性债券价格的利率敏感性n债券价格的影响因素债券价格的影响因素: :n息票利率息票利率n期限期限n市场要求收益率市场要求收益率n嵌入期权嵌入期权第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征nnttrFrIV)1 ()1 (1n债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系：n债券价格与收益率呈反向变动债券价格与收益率呈反向变动n问题问题：债券价格与收益率呈怎样的反向变动

3、？债券价格与收益率呈怎样的反向变动？第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n例例1 一种债券的面值为一种债券的面值为1000元，票面利率为元，票面利率为6%，2009年年10月月15日到期，每年的日到期，每年的4月月15日和日和10月月15日分别支日分别支付一次。计算该债券在付一次。计算该债券在2002年年10月月15日的价格。日的价格。第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征第一节第一节 债券价格波动的特征债券价格波动的特征收益率收益率息票现值（元）息票现值（元）面值现值（元）面值现值（元）债券价格（元）债券价格（元）6.0%6.0%388.88388.88661.12

4、661.121000.001000.00第一节第一节 债券价格波动的特征债券价格波动的特征收益率收益率息票现值（元）息票现值（元）面值现值（元）面值现值（元）债券价额（元）债券价额（元）5.5%5.5%344.73344.73684.00684.001028.731028.736.0%6.0%388.88388.88661.12661.121000.001000.00第一节第一节 债券价格波动的特征债券价格波动的特征收益率收益率息票现值（元）息票现值（元）面值现值（元）面值现值（元）债券价额（元）债券价额（元）5.0%5.0%350.73350.73707.73707.731058.46105

5、8.465.5%5.5%344.73344.73684.00684.001028.731028.736.0%6.0%388.88388.88661.12661.121000.001000.00第一节第一节 债券价格波动的特征债券价格波动的特征收益率收益率息票现值（元）息票现值（元）面值现值（元）面值现值（元）债券价额（元）债券价额（元）5.0%5.0%350.73350.73707.73707.731058.461058.465.5%5.5%344.73344.73684.00684.001028.731028.736.0%6.0%388.88388.88661.12661.121000.00

6、1000.006.5%6.5%333.18333.18639.06639.06972.24972.247.0%7.0%327.62327.62617.78617.78945.40945.407.5%7.5%322.19322.19597.26597.26919.45919.458.0%8.0%316.89316.89577.48577.48894.37894.378.5%8.5%311.73311.73558.39558.39870.12870.129.0%9.0%306.68306.68539.97539.97846.65846.659.5%9.5%301.76301.76522.21522

7、.21823.97823.97第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征价格价格- -收益率曲线收益率曲线收益率收益率价格价格第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n价格收益率曲线的性质的验证价格收益率曲线的性质的验证：n记债券的价格收益率函数为记债券的价格收益率函数为P=P(r)，则有，则有n一阶导数小于零；一阶导数小于零；n二阶导数大于零。二阶导数大于零。第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n价格价格- -收益率曲线的解释收益率曲线的解释：n当收益率水平很高时，债券价值会很低，价格也低；当收益率水平很高时，

8、债券价值会很低，价格也低；n当收益率水平很低时，债券价值会很高，价格也高；当收益率水平很低时，债券价值会很高，价格也高；n当收益率接近于零时，债券价值接近于现金流的总当收益率接近于零时，债券价值接近于现金流的总和和。第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n市场利率、票面利率对债券价格的影响市场利率、票面利率对债券价格的影响：n市场利率与票面利率相等时，债券价格与面值相等；市场利率与票面利率相等时，债券价格与面值相等；n市场利率高于票面利率时，人们不会购买低票面利市场利率高于票面利率时，人们不会购买低票面利率的债券，该债券的价格必然下降；率的债券，该债券的价格必然下降；n债券价格高于

9、面值所形成的资本损失恰好抵消票面利率高于债券价格高于面值所形成的资本损失恰好抵消票面利率高于市场利率的利差部分。市场利率的利差部分。n市场利率低于票面利率时，人们争相购买高票面利市场利率低于票面利率时，人们争相购买高票面利率的债券，该债券的价格必然上升。率的债券，该债券的价格必然上升。债券价格低于面值债券价格低于面值所形成的资本利得恰好弥补票面利率低于市场利率的利差部所形成的资本利得恰好弥补票面利率低于市场利率的利差部分。分。第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n市场利率与票面利率的大小决定债券价格与面值的市场利率与票面利率的大小决定债券价格与面值的关系：关系：n市场利率市场利率

10、 = = 票面利率，价格票面利率，价格 = = 面值面值n市场利率市场利率 票面利率，价格票面利率，价格 面值面值n市场利率市场利率 面值面值第二节第二节 债券的价值债券的价值n问题：问题：以下关于债券价格的叙述是否正确？以下关于债券价格的叙述是否正确？n（1 1）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。n（2 2）收益率固定，溢价交易的债券将不断增值。）收益率固定，溢价交易的债券将不断增值。n 第第1 1句句 第第2 2句句n A A 正确正确 正确正确n B B 正确正确 不正确不正确n C C 不正确不正确 正确正确n D D 不正确不正确 不正确不

11、正确第二节第二节 债券的价值债券的价值n问题：问题：以下关于债券价格的叙述是否正确？以下关于债券价格的叙述是否正确？n（1 1）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。）收益率固定，折价交易的债券将不断增值。n（2 2）收益率固定，溢价交易的债券将不断增值。）收益率固定，溢价交易的债券将不断增值。n 第第1 1句句 第第2 2句句n A A 正确正确 正确正确n B B 正确正确 不正确不正确n C C 不正确不正确 正确正确n D D 不正确不正确 不正确不正确n答案：答案：B B。不管必要收益率是多少，债券的价格将随着到期期。不管必要收益率是多少，债券的价格将随着到期期限的临近，不断趋于面值

12、。限的临近，不断趋于面值。第二节第二节 债券的价值债券的价值n债券价格、到期期限以及到期收益率的数学方法分析债券价格、到期期限以及到期收益率的数学方法分析n 常清英（中国农业大学），林清泉(中国人民大学）n中国农业大学学报2003（8）n摘要：摘要：对债券市场价格与息票率、到期收益率以及到期期限等参数关系的研究通常采用实证方法。本文采用数学分析方法，利用计算机进行数据处理，对以上各参数之间关系进行严格论证。通过对量化结果的讨论，提出分析各参数对债券影响的有效方法，得出一些有意义的结果。第二节第二节 债券的价值债券的价值n债券期限与发行价格的关系探讨债券期限与发行价格的关系探讨n 舒敏(浙江财经

13、学院) 财会月刊2010（28）n摘要：摘要：本文通过分析与举例来说明债券期限与债券发行价格两者之间的关系：n当市场利率小于票面利率时，期限越长债券发行价格越高；n当市场利率大于票面利率时，期限越长债券发行价格越低；当市场利率等于票面利率时，期限不影响债券发行价格。第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n债券价格与到期时间的关系债券价格与到期时间的关系：n当票面利率大于市场利率时，期限越长，债券发行当票面利率大于市场利率时，期限越长，债券发行价格越高；价格越高；n当票面利率小于市场利率时，期限越长当票面利率小于市场利率时，期限越长, ,债券发行价债券发行价格越低；格越低；n当票面利

14、率等于市场利率时，期限不影响债券发行当票面利率等于市场利率时，期限不影响债券发行价格。价格。第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n嵌赎回权债券收益率价格曲线嵌赎回权债券收益率价格曲线价格收 益率无期权债券嵌 赎 回 权 债券y*第一节第一节 债券价格变化的特征债券价格变化的特征n嵌回售权债券收益率价格曲线嵌回售权债券收益率价格曲线价格收 益率无期权债券嵌 回 售 权 债券y*第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n价格风险价格风险-是指由于利率变动引起债券价格的下是指由于利率变动引起债券价格的下降而导致投资者的资本损失。降而导致投资者的资本损失。n价格的利率敏感性价格

15、的利率敏感性-是指相对利率变动一定百分是指相对利率变动一定百分比时价格变动的百分比。比时价格变动的百分比。n利率敏感性是衡量价格风险的大小指标利率敏感性是衡量价格风险的大小指标第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n影响债券价格的三个因素影响债券价格的三个因素：n息票利率息票利率n到期时间到期时间n到期收益率到期收益率n影响债券价格的因素也影响债券价格的利率敏感性影响债券价格的因素也影响债券价格的利率敏感性第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n影响债券利率敏感性的三个因素影响债券利率敏感性的三个因素：n息票利率息票利率n到期时间到期时间n到期收益率到期收益率第二节第二

16、节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n利率敏感性与三因素的关系利率敏感性与三因素的关系：n利率敏感性与票面利率呈反向变动；利率敏感性与票面利率呈反向变动；n利率敏感性与到期时间呈正向变动；利率敏感性与到期时间呈正向变动；n随着到期时间的增长，利率敏感性增加，但增加的随着到期时间的增长，利率敏感性增加，但增加的幅度越来越小；幅度越来越小；n利率敏感性的不对称性利率敏感性的不对称性-收益率上升导致价格下收益率上升导致价格下跌的幅度比等规模的收益率下降带来价格上涨的幅跌的幅度比等规模的收益率下降带来价格上涨的幅度小；度小；n利率敏感性与到期收益率呈反向变动。利率敏感性与到期收益率呈反向变动。第二

17、节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n马尔凯债券马尔凯债券- -定价关系定价关系：n债券价格与收益率成反比。债券价格与收益率成反比。n债券到期收益率升高会导致其价格变化幅度小于等债券到期收益率升高会导致其价格变化幅度小于等规模的收益下降。规模的收益下降。n长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。长期债券价格对利率变化的敏感性比短期债券更高。n当到期时间增加时，债券价格对收益率变化的敏感当到期时间增加时，债券价格对收益率变化的敏感性以下降的比率增加。性以下降的比率增加。n利率风险与债券息票率成反比。利率风险与债券息票率成反比。第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n霍

18、默和利伯维茨霍默和利伯维茨n债券价格对其收益率的敏感性与当前出售债券的到债券价格对其收益率的敏感性与当前出售债券的到期收益率成反比。期收益率成反比。第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性例例1 假设有假设有A、B、C、D四种债券，相关资料如下：四种债券，相关资料如下：债券债券票面利率票面利率到期时间到期时间初始收益率初始收益率A A10%10%5 5年年9%9%B B10%10%2020年年9%9%C C4%4%2020年年9%9%D D4%4%2020年年5%5%第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性债券债券息票息票期限期限到期收益到期收益A A10%10%5 59%

19、9%B B10%10%20209%9%C C4%4%20209%9%D D4%4%20205%5%收益率收益率价格价格ABCD第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n利率敏感性与债券息票利率敏感性与债券息票率负相关率负相关n比较债券比较债券B B、C C：n票面利率越低，债券价票面利率越低，债券价格的利率敏感性越强，格的利率敏感性越强，价格风险就越大。价格风险就越大。n零息债券的价格风险最零息债券的价格风险最大。大。债券债券 息票息票 期限期限 到期到期收益收益A A10%10%5 59%9%B B10%10%20209%9%C C4%4%20209%9%D D4%4%20205%

20、5%收益率价格ABCD第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n利率敏感性与债券期利率敏感性与债券期限正相关限正相关n比较债券比较债券A A、B B：n长期债券的利率敏感长期债券的利率敏感性比短期债券的利率性比短期债券的利率敏感性更强，因此价敏感性更强，因此价格风险就越大。格风险就越大。n永续债券的风险最大永续债券的风险最大债券债券息票息票期限期限到期到期收益收益A A10%10%5 59%9%B B10%10%20209%9%C C4%4%20209%9%D D4%4%20205%5%收益率价格ABCD第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n随着到期时间的增长，随着到期

21、时间的增长，利率敏感性增加的速利率敏感性增加的速度变慢度变慢n比较债券比较债券A A、B B：n债券债券B B的期限是债券的期限是债券A A的期限的的期限的4 4倍，其利率倍，其利率敏感性低于敏感性低于4 4倍。倍。债券债券息票息票期限期限到期到期收益收益A A10%10%5 59%9%B B10%10%20209%9%C C4%4%20209%9%D D4%4%20205%5%收益率价格ABCD第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n进一步的例子：进一步的例子： n例例4 三种息票债券三种息票债券A、B、C如下表。半年付息一次，下一次付如下表。半年付息一次，下一次付息在半年以后。

22、分别计算收益率下降息在半年以后。分别计算收益率下降2个百分点时三个债券的个百分点时三个债券的价格波动百分比，并与收益率上升价格波动百分比，并与收益率上升2个百分点是的结果相比较个百分点是的结果相比较C CABC票面利率票面利率8%8%8%面值（元）面值（元）100100100信用评级信用评级AaAaAa到期时间到期时间5年年10年年15年年收益率收益率8%8%8%价格（元）价格（元）100100100第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性债债 券券10% 上升上升2个百分点个百分点8%6% 下降下降2个百分点个百分点价格价格 变动变动%价格价格价格价格 变动变动%A（5年）年）92

23、.28 -7.72100108.53 8.53B（10年）年）87.54 -12.46100114.88 14.88C（15年）年）84.63 -15.37100119.60 19.60n长期债券利率敏感性比短期债券的更高长期债券利率敏感性比短期债券的更高n随着到期时间增加，利率敏感性增加的速度减慢随着到期时间增加，利率敏感性增加的速度减慢第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n利率敏感性的不对称利率敏感性的不对称性性: :收益率升高导致收益率升高导致价格变化幅度小于等价格变化幅度小于等规模收益下降导致价规模收益下降导致价格变化幅度。格变化幅度。n债券价格对于收益率债券价格对于收益

24、率的降低的敏感性比对的降低的敏感性比对于收益率的上升的敏于收益率的上升的敏感性更强。感性更强。债券债券息票息票期限期限到期到期收益收益A A10%10%5 59%9%B B10%10%20209%9%C C4%4%20209%9%D D4%4%20205%5%收益率价格ABCD第二节第二节 债券价格波动的衡量债券价格波动的衡量债债 券券10% 上升上升2个百分点个百分点8%6% 下降下降2个百分点个百分点价格价格 变动变动%价格价格价格价格 变动变动%A（5年）年）92.28 -7.72100108.53 8.53B（10年）年）87.54 -12.46100114.88 14.88C（15年

25、）年）84.63 -15.37100119.60 19.60n收益率下降时价格波动的幅度比上升时更大收益率下降时价格波动的幅度比上升时更大n随着到期时间增加，价格波动的不对称幅度更大随着到期时间增加，价格波动的不对称幅度更大第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性债债 券券10% 上升上升2个百分点个百分点8%6% 下降下降2个百分点个百分点价格价格 变动变动%价格价格价格价格 变动变动%A（5年）年）92.28 -7.72100108.53 8.53B（10年）年）87.54 -12.46100114.88 14.88C（15年）年）84.63 -15.37100119.60 19

26、.60n随着到期时间增加，利率下降时价格波动增加的速随着到期时间增加，利率下降时价格波动增加的速度比利率上升时价格波动减慢的速度更大度比利率上升时价格波动减慢的速度更大第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性n利率敏感性与到期收利率敏感性与到期收益率成反比益率成反比n比较债券比较债券C C、D D：n到期收益率较低的债到期收益率较低的债券的利率敏感性更强券的利率敏感性更强债券债券息票息票期限期限到期到期收益收益A A10%10%5 59%9%B B10%10%20209%9%C C4%4%20209%9%D D4%4%20205%5%收益率价格ABCD第三节第三节 利率敏感性的测量利

27、率敏感性的测量n利率风险是债券所面临的主要风险，可用利率敏感利率风险是债券所面临的主要风险，可用利率敏感性来度量。性来度量。n测量利率敏感性的常用方法测量利率敏感性的常用方法：n基点价格值法基点价格值法n久期法久期法n凸率法凸率法第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n基点价格值基点价格值：是指利率变动一个基点债券价格变动是指利率变动一个基点债券价格变动的数值，又称为的数值，又称为全价法全价法。n价格变动百分比价格变动百分比，是指价格变化的相对值，即基点，是指价格变化的相对值，即基点价格值与初始价格之比。价格值与初始价格之比。n价格变动百分比价格变动百分比是对利率敏感性的准确测量。是对

28、利率敏感性的准确测量。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n例例1 有有A、B、C三种债券，半年付息一次，下一次三种债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，相关资料如下表。分别计算它们的付息在半年后，相关资料如下表。分别计算它们的基点价格值。基点价格值。A AB BC C票面利率票面利率8%8%8%8%8%8%面值（元）面值（元）100100100100100100信用评级信用评级AaAaAaAaAaAa到期时间到期时间5 5年年1010年年1515年年收益率收益率8%8%8%8%8%8%价格（元）价格（元）100100100100100100第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性

29、的测量债券A 债券B 债券C价格 基点价变动 格值价格 基点价变动 格值价格 基点价变动 格值上升1个基点 0.0405 0.0679 0.0864下降1个基点 0.0406 0.0680 0.0865第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n例例2 对例对例1中的中的A、B、C三种债券，分别计算收益率三种债券，分别计算收益率变动变动10个基点和个基点和100个基点时三种债券的价格波动。个基点时三种债券的价格波动。A AB BC C票面利率票面利率8%8%8%8%8%8%面值（元）面值（元）100100100100100100信用评级信用评级AaAaAaAaAaAa到期时间到期时间5 5

30、年年1010年年1515年年收益率收益率8%8%8%8%8%8%价格（元）价格（元）100100100100100100第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量债券A 债券B 债券C价格 基点价变动 格值价格 基点价变动 格值价格 基点价变动 格值上升10个基点0.4045 0.04050.6765 0.06790.8594 0.0864下降10个基点0.4066 0.04060.6825 0.06800.8699 0.0865当收益率变动的幅度较小时（如当收益率变动的幅度较小时（如10个基点），收益率变动个基点），收益率变动n个个基点，价格就近似变动基点价格值的基点，价格就近似变动基点

31、价格值的n倍。倍。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量债券A 债券B 债券C价格 基点价变动 格值价格 基点价变动 格值价格 基点价变动 格值上升100个基点3.9564 0.04056.5040 0.06798.1444 0.0864下降100个基点4.1583 0.04067.1062 0.06809.1960 0.0865当收益率变动的幅度较大时（如当收益率变动的幅度较大时（如100个基点），价格变动却不个基点），价格变动却不是基点价格值的倍数。是基点价格值的倍数。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期法指标久期法指标: :n麦考雷久期麦考雷久期n理论久期理论久期

32、n修正久期修正久期n实实际久期际久期n提高久期法的准确性提高久期法的准确性-凸率分析凸率分析第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期概念久期概念n利率敏感性与利率敏感性与债券期限债券期限密切相关。密切相关。n由于债券的敏感性当期限增加时其敏感性增加的速由于债券的敏感性当期限增加时其敏感性增加的速度减弱，债券的期限并不能完全度量利率敏感性。度减弱，债券的期限并不能完全度量利率敏感性。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n另外一个问题：另外一个问题： 人们在投资一个项目的时候，往往人们在投资一个项目的时候，往往关注的是需要多长时间能收回投资？关注的是需要多长时间能收回投资？

33、n债券的投资者关心的是，多长时间能够收到债券承债券的投资者关心的是，多长时间能够收到债券承诺的全部现金流？诺的全部现金流？n零息债券的期限就是唯一的现金流支付的时间；零息债券的期限就是唯一的现金流支付的时间；n附息债券的现金流有多期，其期限就不能刻画所有附息债券的现金流有多期，其期限就不能刻画所有现金流的支付时间。现金流的支付时间。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n例如，一个面值例如，一个面值100100元、票面利率元、票面利率5%5%的的3 3年期债券，年期债券，n3 3笔现金流：笔现金流：5 5，5 5，105105，n收到的时间：第收到的时间：第1 1年末，第年末，第2 2

34、年末，第年末，第3 3年末年末n笼统地说笼统地说“三年才收回投资本息三年才收回投资本息”显然不妥。显然不妥。n问题问题：如何确切地表达收回债券本息现金流的有效：如何确切地表达收回债券本息现金流的有效到期时间？到期时间？第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n麦考利（麦考利（19381938）引入一种现金流的平均到期时间来统）引入一种现金流的平均到期时间来统计债券的有效到期时间计债券的有效到期时间-久期久期。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n麦考利久期麦考利久期n普通债券的久期普通债券的久期，是该债券各期现金流发生时间的加，是该债券各期现金流发生时间的加权平均，其权重是每期

35、现金流的现值占债券总现值权平均，其权重是每期现金流的现值占债券总现值（当前价格）的比重，记为（当前价格）的比重，记为D，即，即tyCFyCFDTtTttttt11)1 ()1 (tPyCFDTttt1)1(TtttyCFP1)1 (PyCFWttt)1 ( TtttWD1 是现金流时间的权重，即第是现金流时间的权重，即第 期现金流的现值占债券价期现金流的现值占债券价格的比重，权重之和等于格的比重，权重之和等于1。tWt第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量例例1 面值为面值为100元，票面利率为元，票面利率为8%的的3 3年年期债券，半年付息一次，期债券，半年付息一次，下一次付息在半年

36、后。如到期收益率为下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期，求它的久期时间（期数）时间（期数）t t现金流现金流CFtCFt现金流的现值（元）现金流的现值（元）权重权重WtWtWtWtX Xt t123456第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量例例1 面值为面值为100元，票面利率为元，票面利率为8%的的3 3年年期债券，半年付息一次，期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期，求它的久期时间（期数）时间（期数）t t现金流现金流CFtCFt现金流的现值（元）现金流的现值（元）权重权重WtWtWtWtX X

37、t t14243444546104总计总计第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量例例1 面值为面值为100元，票面利率为元，票面利率为8%的的3 3年年期债券，半年付息一次，期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期，求它的久期时间（期数）时间（期数）t t现金流现金流CFtCFt现金流的现值（元）现金流的现值（元）权重权重WtWtWtWtX Xt t143.8095243.6281343.4554443.2908543.1341610477.6064总计总计94.9243第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量例

38、例1 面值为面值为100元，票面利率为元，票面利率为8%的的3 3年年期债券，半年付息一次，期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期，求它的久期时间（期数）时间（期数）t t现金流现金流CFtCFt现金流的现值（元）现金流的现值（元）权重权重WtWtWtWtX Xt t143.80950.0401243.62810.0382343.45540.0364443.29080.0347543.13410.0330610477.60640.8176总计总计94.92431第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量例例1 面值为面值

39、为100元，票面利率为元，票面利率为8%的的3 3年年期债券，半年付息一次，期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如到期收益率为下一次付息在半年后。如到期收益率为10%，求它的久期，求它的久期时间（期数）时间（期数）t t现金流现金流CFtCFt现金流的现值（元）现金流的现值（元）权重权重WtWtWtWtX Xt t143.80950.04010.0401243.62810.03820.0764343.45540.03640.1092443.29080.03470.1388543.13410.03300.1650610477.60640.81764.9056总计总计94.924315.43

40、51久期是久期是5.43515.4351（半年），即（半年），即5.4351/2=2.71765.4351/2=2.7176（年）（年）第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量12345678100080060040020012008 8年期息票率年期息票率9%9%，面值，面值10001000元，到期收益率为元，到期收益率为10% 10% 第二节第二节 利率敏感性及其特性利率敏感性及其特性现金流现金流的现值12345678100080060040020012008 8年期息票率年期息票率9%9%，面值，面值10001000元，到期收益率为元，到期收益率为10% 10% 第二节第二节 利率

41、敏感性及其特性利率敏感性及其特性现金流现金流的现值债券的久期=5.97年例例2 有一种面值为有一种面值为100元的三年期零息债券，如果到期收益率为元的三年期零息债券，如果到期收益率为10%，计算它的久期。，计算它的久期。 时间（期数）时间（期数）现金流（元）现金流（元）现金流的现值（元）现金流的现值（元）权重权重权重权重X X时间时间150000610074.621516总计总计74.621516久期是久期是6 6（半年），即（半年），即3 3（年）。（年）。可见，零息债券的久期就是其到期时间。可见，零息债券的久期就是其到期时间。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量第三节第三节 利率

42、敏感性的测量利率敏感性的测量n久期是债券买卖报价的重要依据，即在流动性与税负久期是债券买卖报价的重要依据，即在流动性与税负等条件皆相同的条件下，如果附息债券与零息债券的等条件皆相同的条件下，如果附息债券与零息债券的久期相同，那么市场对它们所要求的收益率是相同的，久期相同，那么市场对它们所要求的收益率是相同的，因而价格也相同。因而价格也相同。n影响久影响久期的因素期的因素n票面利率票面利率n到期收益率到期收益率n到期时间到期时间第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期的性质久期的性质：n久期性质久期性质1 1：债券久期随票面利率的增高而缩短；：债券久期随票面利率的增高而缩短；n久期性

43、质久期性质2 2：债券久期随到期收益率降低而增长；：债券久期随到期收益率降低而增长；n久期性质久期性质3 3：一般来说，债券久期随到期时间的增加：一般来说，债券久期随到期时间的增加而增长；而增长；n久期性质久期性质4 4：零息债券的久期等于其到：零息债券的久期等于其到期时间；期时间；n久期性质久期性质5 5：永续债券的久期为：永续债券的久期为( (1+1/y)1+1/y)（y为到期收益率）第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期性质久期性质1 1：债券久期随票面利率的增高而缩短。：债券久期随票面利率的增高而缩短。n该法则对应于马尔凯第五关系，它归因于早期息票支该法则对应于马尔凯第五

44、关系，它归因于早期息票支付对债券支付平均期限的影响。付对债券支付平均期限的影响。n息票越高，早期现金流的现值越大，占债券价格的比息票越高，早期现金流的现值越大，占债券价格的比重也越大，使得时间的加权平均变小，即久期越短。重也越大，使得时间的加权平均变小，即久期越短。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期性质久期性质2 2：债券久期随到期收益率降低而增长。：债券久期随到期收益率降低而增长。n到期收益率越低，后期现金流的现值越大，占债券价到期收益率越低，后期现金流的现值越大，占债券价格的比重也越大，使得时间的加权平均变大，即久期格的比重也越大，使得时间的加权平均变大，即久期越长。越长

45、。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期性质久期性质3 3：一般来说，债券久期随到期时间的增加：一般来说，债券久期随到期时间的增加而增长。而增长。n注意：注意：n久期增长的速度比到期时间的增长速度要慢。久期增长的速度比到期时间的增长速度要慢。n久期并不总是随到期时间的增加而增长：对于到期收久期并不总是随到期时间的增加而增长：对于到期收益率很高的债券，随到期时间增加久期会缩短。益率很高的债券，随到期时间增加久期会缩短。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期性质久期性质4 4：零息债券的久期等于其到：零息债券的久期等于其到期时间。期时间。n零息债券的现金流只有一次支付时

46、间。零息债券的现金流只有一次支付时间。n相同期限的息票债券的久期比零息债券的久期要短相同期限的息票债券的久期比零息债券的久期要短，因为早期息票支付的权重减小了支付时间加权平均的因为早期息票支付的权重减小了支付时间加权平均的数值。数值。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n久期性质久期性质5 5：永续债券的久期：永续债券的久期= =(1+1/y)。n( (1+1/y)1+1/y)使附息债券的久期具有一个上限。使附息债券的久期具有一个上限。n溢价债券的久期，随着期限的延长逐步增大并趋于溢价债券的久期，随着期限的延长逐步增大并趋于( (1+1/y)1+1/y)；n折价债券的久期，随着期限的

47、延长逐步增大达到最大折价债券的久期，随着期限的延长逐步增大达到最大值，而后转为下降并趋于值，而后转为下降并趋于( (1+1/y)1+1/y)。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n票面利率越低，息票债券的久期越长票面利率越低，息票债券的久期越长 零息债券的久期与票面利率无关零息债券的久期与票面利率无关 n到期收益率越低，息票债券的久期越长到期收益率越低，息票债券的久期越长 零息债券的久期与到期收益率无关零息债券的久期与到期收益率无关 n到期时间越长，息票债券的久期越长到期时间越长，息票债券的久期越长, ,但延长速度减但延长速度减慢慢 零息债券的久期与到期时间增长的幅度相同零息债券的久

48、期与到期时间增长的幅度相同 第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n理论久期理论久期n一般债券的久期一般债券的久期，是指价格变化的百分比与收益率变是指价格变化的百分比与收益率变化的百分比的比率，即化的百分比的比率，即n上式表明久期为债券的价格弹性，即市场利率变动的百分比所上式表明久期为债券的价格弹性，即市场利率变动的百分比所引起金融工具价格变动的百分比。前面的负号表示金融工具市引起金融工具价格变动的百分比。前面的负号表示金融工具市场价格与利率成反方向变化。场价格与利率成反方向变化。 第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量)1 ()1 ()1 (yyPPyyPPDn两个久期定义的

49、说明两个久期定义的说明：n一般定义是对任何债券都适用的。一般定义是对任何债券都适用的。n麦考利久期只适用于普通债券。麦考利久期只适用于普通债券。n对普通债券而言，两个定义是等价的对普通债券而言，两个定义是等价的：第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量ntttyCFP1)1 (两边求导两边求导TtttPyCFtyPdydP11)1 (111n久期性质的严格证明久期性质的严格证明n久期与息票率呈反向变动；久期与息票率呈反向变动；n久期与到期收益率呈反向变动。久期与到期收益率呈反向变动。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量yyDPP1n

50、债券价格波动的计算：债券价格波动的计算：n债券的债券的利率敏感性的计算：利率敏感性的计算：)1 (yyPPDyyDPP1n练习练习 一不可提前赎回债券的有效久期为一不可提前赎回债券的有效久期为7.267.26，运用，运用久期计算当收益率提升久期计算当收益率提升2525个基点是该债券价格的变化个基点是该债券价格的变化百分比。百分比。 A. -1.815%A. -1.815%； B. -0.018%B. -0.018%； C. 0.018%C. 0.018%； D. 1.815%D. 1.815%n答案：答案：A A。n价格变化百分比公式：价格变化百分比公式：- -久期久期y y100%100%。

51、因此，用。因此，用久期估量价格变化的百分比为：久期估量价格变化的百分比为：n -7.26-7.260.00250.0025100% =-1.815%100% =-1.815%第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量)1/(*yDDn修正久期修正久期n修正久期越大，利率变动时价格波动就越大，从而利修正久期越大，利率变动时价格波动就越大，从而利率风险也就越大。率风险也就越大。yDPP*n例例6 如例如例1中的息票债券中的息票债券A，面值为，面值为100元，票面利率元，票面利率为为8%的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半的三年期债券，半年付息

52、一次，下一次付息在半年后，到期收益率为年后，到期收益率为10%。另有一种面值为。另有一种面值为100元，距元，距到期日还有到期日还有2.7176年的零息债券年的零息债券B。考察两债券的久期，。考察两债券的久期，并比较它们价格的利率敏感性。并比较它们价格的利率敏感性。n结论结论：债券：债券A、B的久期相等，价格的敏感性也相同的久期相等，价格的敏感性也相同第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量n例例7 例例3-1中债券的资料如下表，半年付息一次，下一中债券的资料如下表，半年付息一次，下一次付息在半年后。利用久期与价格波动的关系，计算次付息在半年后。利用久期与价格波动的关系，计算收益率变动收

53、益率变动1个、个、100个基点时，该债券的价格波动。个基点时，该债券的价格波动。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量票面利率票面利率面值面值信用评级信用评级到期时间到期时间收益率收益率价格价格8%8%100100元元Aa Aa 5 5年年8%8%100100元元n与例与例3-1中计算价格波动率的结果一并列表如下：中计算价格波动率的结果一并列表如下：n结论结论：n收益率变动较小时，用修正久期估计的价格波动率较为准确；收益率变动较小时，用修正久期估计的价格波动率较为准确；n随收益率变动增大，用久期估计价格波动的误差也增大。随收益率变动增大，用久期估计价格波动的误差也增大。 第三节第三节

54、利率敏感性的测量利率敏感性的测量基点价格值计算基点价格值计算久期计算久期计算上升上升1个基点个基点-0.0405%-0.0406%下降下降1个基点个基点0.0406%0.0406%上升上升100个基点个基点-3.9564%-4.0555%下降下降100个基点个基点4.1583%4.0555%n久期计算债券波动误差的原因：久期计算债券波动误差的原因：n久期计算债券变化率公式是一个近似公式久期计算债券变化率公式是一个近似公式第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量yDPP*第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量收益率变动收益率变动价格变价格变动百分动百分比比实际的实际的曲线曲线久期估

55、计久期估计的直线的直线O On久期计算债券波动误差的原因：久期计算债券波动误差的原因：n久期计算债券变化率公式是一个近似公式久期计算债券变化率公式是一个近似公式n为了改进久期计算的误差，引进一个修正项为了改进久期计算的误差，引进一个修正项-凸率凸率第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量yDPP*第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量222)(21dydyPddydydPdPPdyPdyPddyPdydPPdP1)(1211222久期？n凸率凸率n设设 是价格是价格收益率函数，二阶展开式为收益率函数，二阶展开式为)(yPP n债券的凸度债券的凸度-是指是指n凸度的计算凸度的计算-

56、对普通附息债券对普通附息债券第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量PdyPdC122TtttttPyCFyC122)()1 ()1 (1TtttyCFP1)1 (n凸度的计算与久期类似，区别在于它是凸度的计算与久期类似，区别在于它是 （而不是（而不是 ）的加）的加权平均，再除以权平均，再除以 ，权重仍是按到期收益率贴现的每期现，权重仍是按到期收益率贴现的每期现金流现值占债券市场价格的比重。金流现值占债券市场价格的比重。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量PyCFWttt)1 ( TttWttyC122)()1 (1tt 2t2)1 (yn例例9 面值为面值为100元，票面利率

57、为元，票面利率为8%的三年期债券，半的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率为为10%，计算它的凸度。，计算它的凸度。第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量时间时间现金流现金流现金流的现金流的现值现值权重权重 权重权重1 14 43.80953.80952 24 43.62813.62813 34 43.45543.45544 44 43.29083.29085 54 43.13413.13416 610410477.606477.6064总计总计94.924394.924

58、3 ) 1(tt第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量时间时间现金流现金流现金流的现金流的现值现值权重权重 权重权重1 14 43.80953.80950.04010.04012 24 43.62813.62810.03820.03823 34 43.45543.45540.03640.03644 44 43.29083.29080.03470.03475 54 43.13413.13410.03300.03306 610410477.606477.60640.81760.8176总计总计94.924394.92431 1 ) 1(tt第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量时间

59、时间现金流现金流现金流的现金流的现值现值权重权重 权重权重1 14 43.80953.80950.04010.04010.08020.08022 24 43.62813.62810.03820.03820.22920.22923 34 43.45543.45540.03640.03640.43680.43684 44 43.29083.29080.03470.03470.69400.69405 54 43.13413.13410.03300.03300.99000.99006 610410477.606477.60640.81760.817634.339234.3392总计总计94.92439

60、4.92431 136.769436.7694 ) 1(tt第三节第三节 利率敏感性的测量利率敏感性的测量时间时间现金流现金流现金流的现金流的现值现值权重权重 权重权重1 14 43.80953.80950.04010.04010.08020.08022 24 43.62813.62810.03820.03820.22920.22923 34 43.45543.45540.03640.03640.43680.43684 44 43.29083.29080.03470.03470.69400.69405 54 43.13413.13410.03300.03300.99000.99006 6104