最新苏教版六年级数学同步思维训练(下册)

1、同步数学思维训练知识链接第一讲：扇形统计扇形统计图是用整个圆表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各 部分量占总量的百分之几，扇形统计图中各部分的百分之和是单位“1”。通过扇 形统计图可以很清楚地表示出部分数量与总数之间的关系，根据这种百分比的关 系可以求总量或部分的数量。此外，还可以根据扇形统计图求圆心角的度数。例题L知行学校为了举办“庆祝建国70周年”的活动，对本校全体学生进行了 调查，调查结果如图所示。请你根据图中所给的信息，求出知行学校参加演讲比赛的学生有多少人?【思路点拨】通过观察扇形统计图和条形统计图可以发现：文艺演出的学生占总人数的 40舟,而文艺演出的学生又是160人

2、，由关系式“总量二部分量9对应部分所占百分率”，可求得总量。160 : 40归400 （人），因为演讲比赛的学生人数占1-40%-35%=25%,用400X25%=100 （人）。例题2：看条形统计图绘制一个扇形统计图。第24-28届奥运会我国获金牌情况统计图金牌球【思路点拨】绘制扇形统计图，关键是要知道每个扇形圆心角的度数，可以先计算出每知识链接个部分占总数的百分之几，再用360。X每个部分所占的百分数，就得到每个扇形圆心缸 就能画通岛开支 总数是5+16+16+28+32=97块，第24, 25, 26, 27, 28届奥怪牌总数的5.2%, 16. 5%, 16. 5%, 28.9%,

3、33%,表示这几届的扇形圆心角分别是19。，59°, 59°, 104°, 119°,最后按这样的角度，画出扇形就成为扇形统计图。1、下图是养兔专业户养的黑兔、灰兔、白兔的扇形统计图。如图这个养兔专业户共养兔3000只，算出三种兔各养了多少只？（白 540 灰 900 黑 1560）*朝达双语Z1哪六年级（9）班学生参加课外情况统计图如下，请你把统计表填完整。能力提升音乐A/r _ YU.第一饼:人致占总人数的百分比体育小组64%音乐小组8美术小组10柱的表面积2、六（1）班在“六一”儿童节前要评选一名区雏鹰队员，采取一名学生只投一票的方式进行评选，投票

4、结果如下:姓名杨洋郑益刘强王华票数/张241284卜图（）能表示这个投票结果。举一反三/我们用的许多容器都是圆柱形的，如杯子、水桶等，我们常常会遇到一些有关圆柱的表面积计算问题。圆柱的表面积等于上、下两个底面的面积加上一个侧面积，上、下两个底面是面 积相等的两个圆，侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长和高分别为圆柱的底 面周长和高。名师助学例题1： 一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽1. 6米，直径是0. 8米，前轮转动一周,压路的面积是多少平方米?【思路点拨】压路机压路是用圆柱形滚筒的侧面在压路，因此求前轮转动一周的压 路面积就是求圆柱滚筒的侧面积。用圆柱形滚筒的底面周长乘轮宽就可以求出圆柱形滚

5、 筒的侧面积，也就是压路的面积。例题2： 一只高9分米的无盖圆柱铁桶，底面周长L 57米，做这只桶需要多少铁 皮？【思路点拨】这是一只无盖的圆柱形铁桶，因此求做这只桶需要多少铁皮，只要这 只桶的侧面积和一个底面积。题目中已告诉我们圆柱的底面周长和高，直接用底面周长 乘高就可以求出侧面积；再求底面积，题目中没有告诉我们底面半径，已知的是底面周 长，先要根据底面周长求出底面半径，再求底面积；最后用侧面积加上一个底面积就是 做这只桶需要的铁皮。例题3：把一根长L 2米，底面半径1分米的圆柱形钢材截成3段，表面积增加多 少平方分米？【思路点拨】把一根圆柱形钢材截成3段，要截2次，增加的表面积就是截2次

6、的 “切面”面积，“切面”是圆柱的底面。截一次，增加2个“切面”面积，截2次，就 增加4个“切面”的面积。用圆柱的底面积乘4就是增加的表面积。枭识链接1、大厅里有6根圆柱，每根圆柱的高是6米，直径是1米，把这些圆柱油漆一次, 元，需要购买多少元油漆？2、做一对无盖的圆柱形水桶，每只底面周长都是12. 56分米，高都是4分米，至 少需铁皮多少平方分米？(得数用进一法保留平方分米)(126)3、把一根2米长的圆柱体木料截成3段，已知木料横截面直径为10厘米，那么表 面积比原来增加了多少平方厘米？(314)4、一个圆柱的表面积是628平方厘米，底面周长是3L 4厘米，它的高是多少厘米？ (15)阳这

7、根水管内外表面涂漆,(6838.9)第三讲：求涂漆的面积。(单位：厘米) 3-11圆柱和圆锥的体积(1)这一讲，我们研究圆柱、圆锥体积的计算问题。圆柱的体积等于底面积乘高， 圆锥的体积等于底面积乘高再乘三分之一；圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱 体积的三分之一，反过来，圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥体积的三倍。通过 研究，进一步提高空间想象能力和解决实际问题的能力。名师助学例题1：圆柱的底面周长为18. 84分米，高为5分米，体积是多少立方分米？【思路点拨】圆柱的体积等于底面积乘高。这道题已知圆柱的底面周长，先根据圆 柱的底面周长求出底面半径，再求出底面积，用底面积乘高求出圆柱的体积。例题2

8、： 一个圆柱体的体积是502. 4立方厘米，底面直径是8厘米，圆柱高是多少？【思路点拨】圆柱的体积二底面积X高，根据乘、除法之间的关系，圆柱的体积除 以底面积就可以求出圆柱的高，圆柱的体积除以高就可以求出圆柱的底面积。如果已知圆锥的体积和底面积，求圆锥的高，先要用圆锥的体积乘3,再除以底 面积：已知圆锥的体积和高，求圆锥的底面积，先要用圆锥的体积乘3,再除以圆锥的 r§J o例题3： 一个立方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如 图，纸盒的容积有多大？【思路点拨】因为圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等, 因此可以设正方体的棱长为a厘米，则圆柱体的底面积为n

9、 X(i-a)22o圆柱体的体积是V=nX Ua) 2Xa2Q3 rl %28(立方厘米)。因 24此。3=6282+ n = 800立方厘米。即立方纸盒的容积是800立方厘米。 4举一反三斛半径是2分米，侧面积是62. 8平方分米，这个圆柱体的体积是(62.8)2、挖一个底面直径是4米的圆柱形蓄水池，要使其能装下56. 52立方米的水，应该挖几米深?(4.5)枭识链接3、一个酒瓶里面深30厘米，底面直径是10厘米，瓶里的酒深15厘米，把瓶口塞 紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米（见图），问酒瓶的容积是多少立方厘米？4、有一个长、宽、高分别为8分米、7分米、6分米的长方体，把它加工成一个最

10、 大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？(230.79)5、把一个圆柱体的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的与圆柱等 底等高的长方体，表面积比原来增加了 200平方厘米，已知圆柱体的高是10厘米，求 圆柱体的体积。（3140）能力提升在一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径为5厘米的圆钢。如果把它全部放入水历9厘米；如果把水中的圆钢露出8厘米长，那么这时桶里的水面就下降4厘米，这段圆钢的体积是多少?(1413)第四讲：圆柱和圆锥的体积（2）举一反三已知一个数的几分之几是多少，求这个数，此类题就是分数除法应用题。解题 时，先要确定单位“1”的量，再分析题中具体数量所对应的分率，最后用这

11、个具 体数量除以对应的分率，就可求得单位“1”的量。当题目中的具体数量、分率较 多时，我们可以借助线段图来分析量和率的对应关系，再列式解答。例题1：把一个底面积是6. 28平方厘米，高是9厘米的圆柱体铁块熔铸成一个底面积是18. 84平方厘米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少厘米?【思路点拨】将圆柱熔铸成圆锥，体积不发生变化。求圆锥的高，只要用圆锥的体积X3底面积。列式：6. 28X9X34-18.84=9 （厘米）例题2：把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积为40立方厘米。原来圆柱的体积是多少？【思路点拨】把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体的体积是圆柱体体积的 乙（等底等高），

12、削去部分的体积是原来圆柱体积的而削去部分的体积是40立 33 319方厘米,所以原来圆柱的体积是4。9（1-） =40-=60 （立方厘米）。例题3：在仓库的一角有一堆稻谷，呈四分之一圆锥形（如图），经测量底面弧长2.4米，圆锥高为L 57米。已知稻谷每立方米重725千克，求这堆稻谷重多少千克?【思路点拨】因为圆锥底面弧长为2.4米，那么一个整圆锥底面4 R周长为2.4乂4=9.6（米），底而半径为9.6+3. 14+2二，这堆稻谷 3.14的体积为：x 3.14 x （梆之x 1.57 x3=0.96 （立方米），稻谷重725x0. 96=696 （千克）。1、把一块长31. 4厘米，宽20

13、厘米，高4厘米的长方体钢坯熔化浇铸成底面半径是4厘米的圆柱体，圆柱体的高是多少厘米?枭识链接2、从圆锥顶点沿着高切成两半后，表面积增加了 30平方厘米，已知原来圆锥的高 是5厘米，求等底等高圆柱的体积。（141.3）3、有一个圆锥形的沙堆，底面周长是12.56米，高是0. 9米，用这堆沙在宽4米的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（47. 1）4、一个长方形以竖着的一条长为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积（如图 1）, 一个三角形以横着的一条短直角边为轴旋转一周（如图2）,求所形成的立体图形的体积。（单位：分米）懑如图ABCD是个直角梯形，以CD为轴旋转一周，得到一个立体图形，它的体积是

14、多第五讲解决问题的策略（综合应用）同学们已经掌握了多种解决问题的策略，比如分析法、综合法、画图、列表、 假设法、转化很多实际问题可以从不同的角度，运用不同的思维方式来解答, 经常进行多种解题方法的综合应用的训练，可以锻炼我们的思维。在综合应用各 种方法解决问题时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不 同的思考方向，就能找到不同的解题方法，同时，还应该特别选择解决问题的简 便方法和最佳途径。这样，同学们可以进一步积累解决问题的经验，提高学好数 学的信心。例题1：甲、乙两队合挖一条长620米的水渠，甲队挖的;与乙队挖的;相等，甲队 45比乙队多挖多少米?【思路点拨】方法一：根据“甲

15、队的女乙队的士”得到甲队挖的：乙队挖的金：再 455 4把620米按16: 15分配。甲队挖的=620X*_=320 （米），乙队挖的二620Xi一二300 16+1516+15（米），甲队比乙队多挖了 320-300=20米。方法二：根据“乙队的上甲队的三”，把乙队的:挖的看用单位“1”，把乙队挖的2平 5455416均分成3份，甲队有这样的4份，所以甲队是乙队的£ 4-3X4=,甲、乙两队的和是 OXO+1,乙队挖的=620+券300 （米），甲队挖的二300X%320 （米），甲队比乙队多15151315挖的：320-300=20 （米）。例题2：把99个彩色玻璃球装进大小两种

16、盒子中，每个大盒子装12个，每个小盒 子装5个，正好装完。已知盒子个数大于10个，大小盒子各有多少个？【思路点拨】方法一：画图，因为总共 有99个玻璃球，可以先画20个小盒子， 再调整成一些大盒子，使大、小盒子正好装 99个，并且盒子数大于10个。娜匐匐副副葡氨钊氮毓 钟匐匐鼠匐匐御匐匐OOO OO O OOO OO OO O O OOO OOO OOO15个小盒子和2个大盒子正好装满99个，这时共有17个盒子，如果再拿12个小盒子换5个大盒子，小盒子还有3个，大盒子有7个，也正好装99个玻璃球，但这 时盒子总数只有10个，不符合题意，所以大盒子有2个，小盒子有15个。2+15>10,符

17、合要求；7+3=10,不符合要求。所以有2个大盒，15个小盒。举一反三客、货两车同时从甲、乙两地相向而行，相遇时客车比货车少行32千米，已知客车肉的？甲、乙两地相距多少千米？ O(352)2、一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子，车棚里放着自行车和三轮车共10辆，共有25个车轮，自行车和三轮车各有多少辆？(5 5)3. - + - + i + + +一248162048(2047)20484、学校买来钢笔、笔记本和文具盒三种奖品，其中买钢笔用去210元，买笔记本用去总钱数的3买文具盒的钱与另外两种文具钱数的比是2: 3,买奖品一共用去多少钱？ 4(600)如图，长方形的面积是35平方厘米

18、(边长大于1厘米的整数)，ZXADE的面积是5平DEC闻面积是7平方厘米，求中间4DEF的面积是多少？ (15.5) 能力提升第六讲：比例两个数相除又叫做两个数的比，表示两个比相等的式子叫做比例。比的基本性质：比的前项和后项都乘或者除以相同的数(零除外)，比值不变。比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。这一讲主要研究沟通比和分数之间的联系及解答稍复杂的比的应用题的方 法。举一反三先师助学例题1:分数二，分子、分母分别加上、减去同一个数以后，约分后的最简分数为求分子加上、分母减去的这个数。47+x【思路点拨】解：设分子加上、分母减去的这个数为X,根据题意可列出比例：-例题2：

19、一辆汽车2小时行驶130千米。照这样的速度，从甲地到乙地共行驶5小 时，甲、乙两地相距多少千米？（用比例解）【思路点拨】解：设甲、乙两地相距%千米，根据速度不变可列出比例：=-，解比例得广325。想一想：还可以列出怎样的比例？ 25例题3： 一本书第一天读了总页数的j第二天读的页数与第一天读的页数之比是 6： 5,还剩64页没读，全书共多少页？【思路点拨】根据“第二天读页数与第一天读的页数之比是6: 5”可以知道，第二 天读的页数是第一天读的J第一天读了总页数的g第二天读了总页数的乙X三公 两S335 5天一共读了总页数的还剩1-,那么没有读的64页所对应的分率就是 35 1515 154.4

20、一，644-240 （页）全书共 240 页。15151、一个分数分子分母的最简比是1： 2,分子分母同时加上12以后，约分后的最简分数为；求原来的分数是多少? O笈识链揉2、修一条公路，原计划每天修120米，30天可以修完。如果要提前5天修完，每天要修多少米？（用比例解）(144)3、修一条公路，原计划按10： 7分配给甲、乙两个筑路队修，实际甲队修了 2000米，超过分配任务的士乙队因事只完成了分配任务的60%,乙队实际修了多少米? 4(672)4、圆A与圆B的一部分重叠重叠部分的面积是圆A的丁圆B的7求A,B两圆的面积的比。甲、乙、丙三人进行200米赛跑（他们的速度保持不变），甲到终点时

21、，乙还差20米，丙离终点还有25米,乙到达终点时，丙还差几米?能力提升第七讲：正比例和反比例用比例知识解应用题，步骤是：1.审题，找出题中相关联的两种量；2.根据 正、反比例的概念进行判断，分析相关联的两个量是什么关系，看两个量是商一 定还是积一定，如果是商一定就是正比例关系，如果是积一定就是反比例关系； 3.找出两种相关联量的对应数值；4.设未知数，列出比例式；5.解比例式；6.检 脸，写答句。解答比例应用题时，还要灵活运用“比”和“分数”之间的转化。例题L在比例尺是康的地图上,量得A、B两地距离是15厘米,一辆汽车以每小时45千米的速度从A地出发，经过多少小时才能到达B地?【思路点拨】因为

22、图上距离实际距离二比例尺，所以实际距离800000,可以用比例的知识求出实际距离，再根据“路程速度二时间”，求出行驶的时间。这道题还可以这样思考：比例尺是一，即图上距离是实际距离的一，实际 800000800000距离是图上距离的800000倍。用图上距离除以一-一或者用图上距离乘800000,都可 800000以求出实际距离，求出实际距离后再求行驶的时间。例题2：在比例尺是L 6000000的地图上，量得济南到青岛的距离是8厘米。在 比例尺是1： 8000000的地图上，济南到青岛的距离是多少厘米？【思路点拨】先根据“在比例尺是1: 6000000的地图上，量得济南到青岛的距离 是8厘米”，

23、求出济南到青岛的实际距离；再用实际距离乘一-或者除以8000000, 8000000求出在比例尺是1: 8000000的地图上济南到青岛的图上距离。例题3： 一批零件，甲、乙两人单独完成，所需的时间比是3： 5。现两人合做，完 成任务时，甲比乙多加工30个，则这批零件有多少个？【思路点拨】因为工作效率X工作时间二工作总量（一定），所以工作效率和工作时 间成反比例。”所用的时间比是3: 5"，那么甲、乙两人工作效率的比就是5: 3o又因为工作总量+工作效率=工作时间（一定），所以工作总量和工作效率成正比例。 甲、乙两人工作效率的比是5: 3,那么完成任务时两人的工作总量比就是5: 3,

24、也就 是说甲完成了 5份，乙完成了 3份，一共完成了 8份。“甲比乙多加工30个”，这30个 是5-3二2份，这批零件一共有30 2X8=120 （个）。1、在一幅L 3000000的地图上，量得甲、乙两地公路长14厘米，一辆汽车从中地到乙地行驶了 7小时，平均每小时行多少千米？（60）2、在比例尺是1： 8000000的地图上，量得A、B两个城市的距离是12厘米，在比 例尺是1： 6000000的地图上，量得A、B两个城市的距离是儿厘米？（16）3、甲、乙两学生上学，甲比乙多走'的路程，而乙比甲走的时间少乙，甲、乙两人 610的速度比是多少？（21： 20）4、某单位买甲、乙两种圆珠

25、笔共150支，已知甲圆珠笔每支3元，乙圆珠笔每支2元，且中、乙两种圆珠笔所用钱数一样多。中、乙两种圆珠笔各买了多少支？（甲60乙90）一对互相咬合的齿轮，主动轮有60个齿，每分钟转80圈，从动轮有40个齿，每 分钟转多少圈？ （120）能力提升枭识链接第八讲速算与巧算六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数的简便计 算的方法相同外，还有其独特的巧算方法。常用的简便方法有：运用运算定律使计算简便(如乘法分配律)；运用拆项法 使计算简便：运用等差数列求和法使计算简便；运用数形结合的方法使计算简便 等。例题L计算吟7乎泊【思路点拨】这道题中被除数和除数是两个算式，可以把它们写成含有

26、;和，相加的形式, 并把;与，的和作为一个数来参与运算，使计算中含有乘除法，再利用乘法的交换律和 结合律使计算简便。,22、5 S、(9一+7)4- (-+-) 797 9,65 65、，5 5、=()4- (-+-)797 9=65X (-+) -r 5X (+-)J7 97 9= 654-5 =13例题 2：计算：(1+'2+3 + (i+i+i)2 3 42 3 4【思路点拨】前后括号里都有可设用代数法来做，可以化2 3 42 3 4繁为简。解： 令 则 原式二(1+A) +A+1.由于 A=LL工11, 所 以工上 2 3 4a2 3 4 12a 12因此原式二三+1=1上12

27、13例题 3：计算：(1-1) x (1-1) X (l-i) XX 例装)【思路点拨】此题不可能真的一一相乘去计算，不妨先算出括号里的差，观察数的特点，再进行计算。(1-i) X (I-) X (1-b X-、/1 12X (1)二一 X - X201423三XX上上X啊三-420132014 2014举一反三41、46 +15c z 8 12,20 x . z S 2 32、( +) (+9 13 1111 9 133、 (1-1) XXX20144、696969X696696969969X969696能力摄升1 41 - 3 +1 - 2 /|X!/1 - 5 +1 - 4 +1 - 3

28、1 - 21 - 5 +1+41 - 3 +1><(1 - 4 +1 - 3 +1 - 2枭识链接第九讲列方程解应用题在列方程解应用题时，是把已知量和未知量统一考虑，分析其数量关系，在 一个相等的式子中，把它们表示出来，构成一个方程。找数量关系，有的是利用条件中的相等关系，有的是利用周长和面积的计算 公式，有的是根据加、减、乘、除各部分之间的关系，我们只要先假设一个未知 数，然后再根据等量关系来列方程。例题1：汽车从甲地开往乙地，去时每小时行60千米，返回时每小时行50千米, 来回途中共用了 11小时。求中、乙两地相距多少千米。【思路点拨】去时和回来的路程都是甲、乙两地的路程，所以

29、等量关系是：去时速 度X去时时间二返回时速度X返回时时间。解：设去时用X小时，那么返回时用(11-%)小时。60X% =50X (11-%)% ;5答：甲、乙两地相距300千米。60X5=300（千米）例题2：把一个正方形的一边减少20%,相邻的一边增加2厘米，得到一个长方形。 这个长方形的面积与原来的正方形面积相等，求原来正方形的面积。【思路点拨】依题意画右图，变化后长方形的面积与原正方形面积相等，说明图中 这两个阴影部分面积相等。设原正方形边长为,那么ABCD的宽为20机CEFG的长为x X (1-20%);那么可列出方程:%X (1-20%) X2=xX2O%xx =8所以原来正方形的面

30、积为8义8=64 (平方厘米)例题3： 一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一 半，这条大鲨鱼全长多少米？【思路点拨】这条大遂鱼的全长包括头长、身长和尾长，如果直接设全长为，无法 列方程。可以设身长为米，再根据“尾长等于头长加身长的一半”用含的式子表示尾长，再根据“身长等于头长加尾长”列出方程。% =3 + (3 + i %)2% =12枭识链接所以全长为3 + 12 + (3 + i X 12) =24 (米)。 21 .在一个停车场上，现有24辆车。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子。这 些车共有86个轮子。那么，三轮摩托车有多少辆？ (10)2 .有一个分数，

31、如果分母加上6,分子不变，约分后为士如果分子加上4,原分母6不变，约分后为三原分数是多少？(三) 4603 .实验小学共有教师132人，如果男教师增加12人，女教师减少40%,那么男、女 教师人数相等。实验小学原有男、女教师各多少人？(男42女90)4 .现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的右而9年前弟弟的年龄只是哥哥年龄的%哥 哥现在多少岁？ (24)能力梃升小木、小林、小森三人去看电影。小木带的钱买三张电影票，还差55元；小林带 的钱买三张电影票，还差69元；三个人带去的钱买三张电影票还多了 30元。已知小森 带了 37元，那么买一张电影票要多少钱？(39)第十讲时钟问题时钟上的时针和分针的运动

32、是有规律的，时钟问题一般都是围绕时针、分针 或秒针的重合、垂直、成直线或夹角的度数等问题来进行研究的。钟面上一圈分为60小格，分针每小时走60小格，时针每小时走5小格，时针的速度是分针的土，分针每小时比时针多走1 -=三小格：还可以把钟面按 121212“度”来分，分针1小时走一圈是360° ,每分钟走360° +60=6° ,时针60分钟 走30° ,所以时针每分钟走300 60=0.5° ,分针每分钟比时针多走6° - 0.5° =5.5° o解时钟问题时，可以把它转化为行程问题中的“追及问题”来解 答，基本的

33、关系式是路程差+速度差二追及时间。祖师助学例题1：从时针指向4点开始，再经过多长时间，时针正好与分针重合?【思路点拨】先将本题转化为追及问题,4点时时针指向“4”，分针指向“12”，时 针与分针相距20小格，本题就转化为：时针与分针相距20小格，时针在前分针在后， 分针每小时比时针多走义小格，时针与分针同时出发，分针要用多少分钟可以追上时针?12路程差是20小格，速度差是2小格，根据“路程差+速度差二追及时间”求出追及时间。例题2： 7点多少分的时候，分针落后于时针100° ?【思路点拨】本题就转化为：分针每分钟走6° ,时针每分钟走0.5° ,7点多少分 的时候

34、，分针落后于时针100° ? 7点整，分针落后于时针210° ,题目要求“分针落 后于时针100° ”，也就是说分针要追上时针210° -100° =110° ,路程差是110° ,速 度差是 6° 0.5° =5.5° ,110° ;5. 5=20（分）。【思路点拨】这道题可以换一个角度进行思考，用转化例题3：五点过多少分时，时针与分针离“5”的距离相等，并且在“5”的两边?的思想，把追及问题变为相遇问题。假设五点整时，时针向 相反的方向行走，时针走到分针的到位时的时间，与分针从“1

35、2”开始，走到分针到位时的时间相同，此题就变成了：分针与时针所行的路程和是25小格，分针每分走1小格，时针每分走上小格，求相遇时是什么时间？举一反三1、中午12时以后，时针与分针第一次重合，表示的时间是儿时几分?（1时5三分）112、8点以后，什么时候分针与时针之间第一次形成120。夹角？（8点21一分）113、钟面上4点过几分时，时针和分针与“3”的距离相等，并且在“3”的两边?（4点过哈分）4、陈军3点多钟开始看书，时针和分针正好重合在一起，5点多钟看完书时，时针与 分针正好乂重合在一起，陈军看了多长时间书？（2小时10吧分）能力提升11小红家有两个旧挂钟，一个每天快20分钟，另一个每天慢

36、30分钟，晚上7点时将 两个旧挂钟同时调到标准时间，问它们何时再同时显示标准时间？(72)枭识链接第十一讲推理问题逻辑推理问题是一种由众多条件组成的判断性问题。它主要不是靠计算、作 图等专门的数学知识，而是要求从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某 种结论。讨论这种问题时，必须有条理清晰的思维和严谨有序的推理。要注意理 清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳， 对归纳做出正确的判断。解决这类问题常用的方法有：假设法、排除法、列图表法等。豺为师助学例题1：有一座四层楼（如右图），每层楼有3个窗户，每个窗户 有4块玻璃，分别是白色和茶色。如果每个窗户表示一个数字，

37、每 层楼的三个窗户从左到右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数 分别是612, 275, 791, 362。那么，第三层楼表示的三位数是多少？【思路点拨】观察四个三位数：612, 275, 791,362,其中“2”出现了 3次，两次在个位，一次在百位，很容易看出 田 表示2,则第四层表示275,即 田表示7：第二层表示791,即图表示1,则第三层应表示612。例题2：小赵、小钱和小孙一位是工人，一位是医生，一位是教师。现在只知道: 小孙比教师年龄大；（2）小赵和医生不同岁；（3）医生比小钱年龄小。请你判断一下，谁是工人?谁是医生?谁是教师？【思路点拨】由（2）和（3）可知：小赵和小钱都不是医

38、生，那么小孙是医生。再根据 （3）可知小孙（医生）比教师年龄大，比小钱年龄小，所以教师的年龄比小钱小。因此， 小钱不是教师，而是工人，剩下的小赵就是教师。答案：小孙是医生，小钱是工人，小 赵是教师。例题3： A、B、C、D四位外国朋友住在18层高的饭店里，他们分别来自埃及、法 国、朝鲜和墨西哥。（1）A住的层数比C住的层数高，但比D住的层数低；（2）B住的层数比朝鲜人住的三国八代钊叫如识链接县数低；（3）D住的层数恰好是法国人住的层数的5倍；（4）如果埃及人住的层数增加2吸住的层数的和。隔的层数，恰好与他和墨西哥人相隔的层数一样；（5）埃及人住的层根据上述情况，请你确定A、B、C、D分别是哪国

39、人，分别住哪一层？【思路点拨】由可知D>A>C,用"”表示楼层的高低顺序；由 可知, 墨西哥人埃及人朝鲜人>B。比较上面两个式子，可知D>A>C>B,从而墨西哥人）埃及 人朝鲜人>法国人。所以，埃及人A住在8楼，法国人B住在3楼，朝鲜人C住在5楼，墨西哥人D住在15楼。举一反三1、下图是标有1，2, 3, 4, 5, 6数字的正方体的三种不同摆法，问：三个正方体朝左那一面的数字之和是多少?(3)2、有三个盒子，一个装有两个红球，一个装有两个白球，还有一个装有红球和白球各一个，现在三个盒子上的标签全贴错了。你能只从一个盒子里拿出一个球来，就确

40、定这三个盒子里各装的是什么吗?（从一红一白的盒子中取球）3、甲、乙、丙三位老师分别上语文课、数学课、外语课。（1）甲上课全用汉语；（2） 外语老师是一个学生的哥哥；（3）丙是女的，比数学老师年轻。甲、乙、丙各教什么课?（甲是数学教师，乙是外语教师，丙是语文教师）4、一名警察抓获4个盗窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，他们的供词如下：甲说：“不是 我偷的。”乙说：“是甲偷的。”丙说：“不是我。” 丁说：“是乙偷的。他们四人中只有一 人说的是真话，你知道谁是小偷吗？（丙）第十二讲最优化问题在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：完成某件事情，怎样规划安 排，才能用最短的时间、最小的投入、最少的人力、最快的速

41、度，取得最好的效 果？我们将这样的问题称之为统筹或优化问题。在碰到最优化问题时，通常要注意 场地的选择、物资的调运、最佳路线的安排、合理地安排时间等，力求在许多方案 中，寻求一个最合理、最节约、最省事的方案。名师助学y例题1： 一个平底锅上只能煎两张饼,用它一张饼需要2分钟（正、反面各1分钟）, 煎3张饼需几分钟？怎样煎？【思路点拨】有人会认为需4分钟，实际上只需3分钟。因为一张饼有两面，3 张饼有6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3分钟。答案：先在这个平底锅上同时放两 张饼。1分钟后，把其中一张饼翻面，把另一张饼从锅中取出放在一边，把第三张饼放 进锅里。2分钟后，取出已煎熟的翻过面的那张饼，让

42、另两张饼同时翻面再煎1分钟。 3分钟后3张饼全部煎完。例题2：甲地有89吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量 是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升，运完这些货物最少耗油多 少升？【思路点拨】大卡车运一吨平均耗油14 7=2（升），小卡车运一吨平均耗油994二4 （升），因为大卡车运一吨货物耗油量少，要节省汽油应尽量用大卡车运。解答过程：（1）全部用大卡车运，因为897二12（趟）5（吨），所以必须运13趟， 耗油14X13=182（升）。（2）如果用大卡车运12趟，因为89=7X12+5,剩下的5吨用小 卡车运2趟，耗油：14X12+9X2=186（升）。（3

43、）如果用大卡车运11趟，因为89=7X11+12, 剩下的12吨要用小卡车运3趟，耗油：14X11+9X3=181 （升）。三种方法比较，安排大卡车运11趟，小卡车运3趟耗油最少，为181升。例题3：在公路上，每隔10千米有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在枭识链接g馆atti存放在一个仓库中，若1吨货物运输千米要o. 5元运输费，那么最少SIBB-10吨 2。吨40吨【思路点拨】当某一仓库的货物量大于或等于总货物量的一半时，最合理的安排方 式是把全部货物集中到这个仓库里去，这样花的运费最少。因为五号仓库存货

44、40吨， 大于总货量的一半，所以需要把货物都运到五号仓库（规律为：少向多靠）。答案：0.5X10X （10X4）+20X （10X3）=5000（元）。五个工厂A、B、C、D、E（如下图）,各厂每天都有10吨货物向外运。中】，使这五个口 的货物运到车站的行程总和越小越好。车站应建于何处？（C处）11 1 1 AB CI） E2、甲、乙两村相距10千米，要在两村之间联合建一所小学。甲村有60人上学， 乙村有40人上学。那么学校应建在什么地方，才能使这100名学生每天上学的总行程 最少？（甲村）3、5人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分 钟、2分钟、3分钟、4分钟和5

45、分钟。如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排打水 的顺序，使所有人排队和打水的时间总和最小?求出最小值。（由少到多排列，35分）0 甲城有157吨货物要运到乙城。大卡车载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，耗能力提升（大卡车31辆，小卡车1辆）九5升。则用多少辆大卡车和小卡车来运输，耗油量最省？第十三讲极值问题:举一反三，匕刃口 4 m里两个数相等时.它们的和最小。在数学中，经常会碰到在一定条件下求最大值或最小值的问题。这类问题没 有固定解法，往往要对所给的条件认真分析，准确判断，合理推理，最后才能得 到准确答案在解决这类问题时，常常用到下面的规律：1.当两个数的和一定时， 两个数的差越小，两个数

46、的积就越大；当两个数相等时，这两个数的积最大。2. 若几个数的和一定，当几个数相等时，它们的积最大。3.周长一定的长方形中，次%二少曜大。周长一定，边数相等的多边形中，正多边形的面积最大。周 毂中，边数越多面积越大，且圆的面积最大。4,若两个数的乘积例题1：下面等式中，B是什么数时，才能使A最大?A最大是儿?A 4-126=14B【思路点拨】A=14X126+Bf只有在B最大时，A才最大。根据余数要比除数小的 原则，除数是126,那么余数B最大是125,所以A最大是14X126+125=1889。例题2：把15分成几个自然数的和，使这些自然数的乘积尽可能大。这个乘积最 大是凡？【思路点拨】要把

47、15分拆成几个数的积，而15=5X3,所以可以把15分拆成 3+3+3+3+3,这时乘积最大，最大为3X3X3X3X3=243。例题3：要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长是以米为单位的 自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？【思路点拨】把7 2分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9 - 8=1, 这样才能保证它们的和最小，周长才最少。由此可知围墙长9米、宽8米时，围墙总长 最少，为（8+9） X2=34（米）例题4： 一把钥匙开一把锁。现有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁， 最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁？【思路点拨】这里“最多”的意思是“最不凑巧二因

48、为在最不凑巧的情况下试的 次数才最多。开第1把锁，最多试3次，第4把就不用再试了，一定能打开这把锁。同 样的道理，可知开第2把、第3把、第4把锁分别要试2次、1次、0次，所以最多要1、长方形的面积为144平方厘米,当它的长和宽分别为多少厘米时，周长最短?(12 12 48)2、一个长方体所有棱长的和是96厘米，当它的长、宽、高各是多少时，长方体的 体积才最大?最大体积是多少？(512)3、一把钥匙开一把锁。现有10把钥匙10把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最 多要试多少次能配好全部的钥匙和锁？(45)4、25个乒乓球中有一个是次品，次品较正品轻一些。现有一个天平，则最少称多 少次定能把次品找到

49、？(3)一次数学考试的满分是100分,6名同学在这次考试中平均得分是91分。这6名同:能力提升得分互不相同，其中1位同学仅得了 65分。那么，得分排在第三的同学至少得多第十四讲有关代数的问产在解决一些实际问题时，有些情况需要借助代数的方法来进行解答。借助代 数进行分析时，可以使复杂问题变得简单，讨论时更容易找出方法、规律。名师助学两辆汽车同时从A、B两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时，已知甲车每小时比乙车快35千米。A、B两城市间的 公路长多少千米？【思路点拨】此题如果用代数的方法来思考就比较简单。由于乙车用8小时行 驶的路程甲车只需4小时，可以得出两车行驶这段

50、路程的时间比为t甲：t c=1:2o又因 为路程一定，速度与时间成反比，得出即V吟V c=2:1,设乙车每小时行驶x千米，那 么甲车每小时行（x +35）千米，那么把坛二x =35o则两地之间的公路长：（35+35+35）X 1X 8=840（千米）。例题2：王大伯想用20块长2米、宽L2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。 为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽 应分别是多少？【思路点拨】如右图，设长万形的长和宽分别为X米和v米，鸡窝 所以有x+2y=1. 2X20=24。长方形面积为S=xyJ（xX2y）。因为x 2x和2y的和等于24是一个定值，故当x

51、与2y相等时，长方形面积S最大。于是有：工二12, y 二6。例题3：有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个正方形，就可 以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为儿 厘米?【思路点拨】如右图，设剪去的小正方形的边长为x厘米，那么纸盒的容积为 V=xX (24-2%) X (24-2%) =2X2%X (12-%) X (12-%) <> 因为2% +（12-无）+ （12-幻二24是一个定值，所以只有当2x=12-、时，其乘积最大，所以x =4,这样做成的纸盒的容积也最大。1、川铁丝扎一个长方体模型，为了使长方体的体积恰好是216立

52、方厘米，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？这根铁丝最短是多少厘米?(6 72)点口识链接2、如右图，平行四边形ABCD的周长为102厘米，以CD为底时高为20厘米，以BC 为底时高为14厘米，求平行四边形的面积。(420)3、李老师每天做户外运动，第一天他跑步2000米，散步1000米，共用26分。第 二天他跑步3000米，散步500米，共用23分钟。如果李老师跑步的速度总是一样，散 步的速度他总是一样，那么他跑步每分钟多少米？4、如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，AE、DF的长都是边长的|,三角形ECH 的面积为7平方厘米，EG的长是多少厘米？(3.5)下面两个图中线

53、段AB的长相等，哪个图中的阴影部分的面积大？(相等)能力提升第十五讲抽屉原理有这样一个例子：把5个苹果放入4个果盘中，那么一定有某个果盘中至少 有2个苹果。这就是最简单的抽屉原理的例子。规律一：如果把n+k(k21)件东 西放入n个抽屉里，那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。规律二： 把(mn+1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。规 律三：把(mnT)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m7)个物 体。如果物体总数恰好为(mXn)个时，把它放入n个抽屉中，那么必有一个抽屉例题1：某校六年级学生有31人是四月份出生的。请你证明：至少有两个人出生

54、 在同一天。【思路点拨】四月份共有30天，31个人共有31个出生日，我们把30天看作30个 抽屉，把31个人看作31个物体，根据抽屉原理，至少有两个出生日在同一个抽屉里， 即至少有两个人出生在同一天。例题2：袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸的结 果是一样的，至少要摸多少次？【思路点拨】当摸出的2个球颜色相同时，可以有4种不同的结果。当摸出的2个 球颜色不同时，最多可以有3+2+1=6（种）不同的结果。我们把这4+6=10种不同的结果 作为10个抽屉，要保证有10次摸出的结果相同，至少要摸9X10+1=91 （次）。例题3：图书角剩下科技书和文艺书各2本。现有4个学生

55、来借阅，每人可以从中 任意借2本。请你证明：必有两名学生借阅的图书完全相同。【思路点拨】学生借阅的图书只有以下三种情况：两本科技书、一本科技书一本文 艺书、两本文艺书。把这三种情况看作3个抽屉,4个学生看作4个物体，根据抽屉原 理，必有两个物体在同一抽屉中，也就是说，必有两名学生借阅的图书完全相同。1、在入学的一年级新生中，有181人是2010年出生的，这些新生中，至少有多少人是2010年的同一个月出生的？（16）举一反三2、六年级共有男生57人，证明：其中至少有2名男生在同一个星期内过生日。(2)3、一副扑克牌有54张，至少抽取多少张，才能保证其中必有一张是“A”？(51)4、有红、黄、绿小球各10个，混合在布袋里。一次至少摸出多少个，才能保证有4个是同色的？ (10)5、体育室有篮球、足球、排球各7个，现有7名学生来借球，每人从中任意借走2个，证明：必有两名学生借的球完全相同