物理竞赛10：曲线运动的动力学解ppt课件

1、 曲线运动发生的条件曲线运动发生的条件合外力方向与速度方向不在不断线合外力方向与速度方向不在不断线FvFnFt切向力改动速度大小切向力改动速度大小ttvFmamt 法向力改动速度方向法向力改动速度方向2nnvFmam 求解曲线运动的动力学方法求解曲线运动的动力学方法物体运动情况分析物体运动情况分析物体受力情况分析物体受力情况分析XY 如下图，滑块如下图，滑块A质量为质量为M，因绳子的牵引而沿程度导轨滑动，绳子的，因绳子的牵引而沿程度导轨滑动，绳子的另一端缠在半径为另一端缠在半径为r的鼓轮的鼓轮O上，鼓轮以等角速度上，鼓轮以等角速度转动不计导轨摩擦，求绳子的拉力转动不计导轨摩擦，求绳子的拉力FT

2、与间隔与间隔x之间的关系之间的关系 BxArO 分析滑块分析滑块A受力：受力： AMgFNFTvvtvn重力重力Mg、导轨支持力、导轨支持力FN，绳子拉力，绳子拉力FT 分析滑块分析滑块A运动：运动： A沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点沿导轨的运动可视做沿绳向绳与轮切点B的平动及以切点的平动及以切点B为中心的转动的合成为中心的转动的合成 tvr tannvr 由牛顿第二定律由牛顿第二定律: 2sinsinco:stTNvFFMXgMx A实践运动沿程度实践运动沿程度 sinTNMgFF 22tansinsinsincosTTrFMgFMgMx 由几何关系由几何关系 2222tancosrxr

3、xxr 422522TMrxxFr BA 如下图，套管如下图，套管A A质量为质量为MM，因受绳子牵引沿竖直杆向，因受绳子牵引沿竖直杆向上滑动绳子另一端绕过离杆间隔为上滑动绳子另一端绕过离杆间隔为L L的滑轮的滑轮B B而缠在鼓轮上当鼓而缠在鼓轮上当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v0v0求绳子拉力和间隔求绳子拉力和间隔x x之间之间的关系的关系 XY分析滑块分析滑块A受力：受力： MgFNFT重力重力Mg、绳子拉力、绳子拉力FT、导轨支持力、导轨支持力FN分析滑块分析滑块A运动：运动： vAv0vt 滑块沿导轨向上的运动滑块沿导轨向上的运动速度速度vA可

4、视作沿绳向滑轮可视作沿绳向滑轮B的法向速度的法向速度v0及以及以B为中心转动的切向速度为中心转动的切向速度vt的合成！的合成！ 0tantvv xL由牛顿第二定律由牛顿第二定律: 222sincos:tTNvFFMgMxXL A实践运动沿竖直，在程度方向满足实践运动沿竖直，在程度方向满足 sinTNFF 20222sincosTTLvxFFMgMxL 202222coscosTv LFMgMxxL 202221coscosTv LMgFgxxL 2222031v LxLMgxx g 如下图，长度为如下图，长度为l l的不可伸长的线系在竖直轴的顶端，的不可伸长的线系在竖直轴的顶端，在线的下端悬挂

5、质量为在线的下端悬挂质量为m m的一重物再在这重物上系同样长度的另的一重物再在这重物上系同样长度的另一根线，线的下端悬挂质量也为一根线，线的下端悬挂质量也为m m的另一个重物轴以恒定角速度的另一个重物轴以恒定角速度 转动试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所转动试证明第一根线与竖直线所成角度小于第二根线与竖直线所成角度成角度 mgmg设第一根线上拉力为设第一根线上拉力为FT1FT1，第二根线上拉力为，第二根线上拉力为FT2FT2FT2FT1在竖直方向在竖直方向1cos2TFmg 2cosTFmg 在程度方向在程度方向 2tansinsinmgml 212sinsinsinTTFF

6、ml 2tansinsinlg 22tantansinlg 2tantansin2lg 0 0 如下图，小物块质量为如下图，小物块质量为m m，在半径为，在半径为r r的圆柱面上沿的圆柱面上沿螺旋线形的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为螺旋线形的滑槽滑动，运动的切向加速度大小为at=gsinat=gsin，式中，式中 为为螺旋线的切线与程度面的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱螺旋线的切线与程度面的夹角，求：由于小物块沿槽滑下而使圆柱面绕其中心轴转动的力矩大小面绕其中心轴转动的力矩大小 rABCD小物块切向加速度的程度分量为小物块切向加速度的程度分量为 ： gsinsincostxag 产生这

7、个加速度的切向程度力大小：产生这个加速度的切向程度力大小： sincosFmg 此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方此力反作用力为圆柱面所受沿柱面且方向程度之力，其对轴产生的力矩即为使向程度之力，其对轴产生的力矩即为使柱面绕中心轴转动的力矩：柱面绕中心轴转动的力矩： sincosMmgr sin22mgr vv 如下图，质量为如下图，质量为m m，半径为，半径为r r的圆木搁在两个高度一样的圆木搁在两个高度一样的支架上，右支架固定不动，而左支架以速度的支架上，右支架固定不动，而左支架以速度v v从圆木下面向外从圆木下面向外滑求当两个支点间隔滑求当两个支点间隔 时，圆木对固定支架的压力时，圆木对固

8、定支架的压力FNFN两支架开场彼此靠得很两支架开场彼此靠得很近，圆木与支架之间的摩擦不计近，圆木与支架之间的摩擦不计 2ABr BrOAr2AOB 由几何关系知由几何关系知分析圆木受力分析圆木受力 mgFNAFNB重力重力mg、支架、支架A、B支持力支持力FNA、 FNB 分析圆木运动：分析圆木运动： 圆木质心圆木质心O绕绕A点转动点转动v圆木与圆木与B接触接触,故接触点具有一样的法向速度故接触点具有一样的法向速度 O对对A点转动的线速度点转动的线速度 22Ovv 22v圆木的运动方程圆木的运动方程222ONAvmgFmr 45 22vmr 2222NAvmgrF vOFN2222NFvmgr

9、 22vgr 否那么圆否那么圆木已与固定支架脱离木已与固定支架脱离 元贝驾考 ybjx 元贝驾考2019科目一 科目四驾考宝典网 jkbdw/ 驾考宝典2019科目一 科目四 如下图，用手握着一绳端在程度桌面上做半径为如下图，用手握着一绳端在程度桌面上做半径为r r的的匀速圆周运动，圆心为匀速圆周运动，圆心为O O，绳长为，绳长为L L，质量可以忽略，绳的另一端系，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为着一个质量为m m的小球，恰好也沿着一个以的小球，恰好也沿着一个以O O点为圆心的大圆在桌面点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，求：手对细绳做功的功率上运动，小球和桌面之间有摩擦，

10、求：手对细绳做功的功率P P；小球与桌面之间的动摩擦因数小球与桌面之间的动摩擦因数 VrvLf22RrL小球圆运动的半径设为小球圆运动的半径设为RR22VrL 分析小球受力分析小球受力 T 绳拉力绳拉力T；桌面摩擦力；桌面摩擦力 f 小球圆周运动，在法向有小球圆周运动，在法向有222cosTmrL 手拉端速度手拉端速度 PTv 322rLmrL vr 小球匀速圆周运动，在切向有小球匀速圆周运动，在切向有sinfT 222R RLmL 有两个一样的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它有两个一样的单摆，把一个拴在另一个的下面，使它们各在一个程度面内做匀速圆周运动，设两条摆线们各在一个程度面内做匀速圆

11、周运动，设两条摆线( (长长) )与竖直线所与竖直线所成的夹角都很小知在运动过程中两条摆线不断坚持在同一平面内，成的夹角都很小知在运动过程中两条摆线不断坚持在同一平面内，求此平面转动的角速度，以及两质点轨道半径之比求此平面转动的角速度，以及两质点轨道半径之比 两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种能够两线两球在竖直面内的态势可以有左、右图示两种能够R mgF1F2F1mgF2R分析各球受力及运动轨迹分析各球受力及运动轨迹 rr mg mg2212tansinsinmgmRFFmr 下下球球上上球球其其中中122coscosmgmgFF tan2tantanRr 在在、小角度的条件下小角度

12、的条件下 sintanxxx12 21Rr 22gL 等号两边相除得等号两边相除得 2 sinsinsinLL 由几何关系得由几何关系得 2 2 2 gR 2 2 程度直径以上各点的临界速度程度直径以上各点的临界速度 在程度直径以上各点弹力方向是指在程度直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车过山车线线绳绳v mgFT2sinTvFmgmR RsinRg 当当FT =0时，时，v 临临界界= v轨轨道道mgFN 在程度直径以上各点不脱离轨道在程度直径以上各点不脱离轨道因此可做完好的圆运动的条件是因此可做完好的圆运动的条件是 ：sinvg

13、R 在程度直径以上各点弹力方向是在程度直径以上各点弹力方向是背叛圆心的情况，例如车过拱形桥背叛圆心的情况，例如车过拱形桥轨轨道道vmgFN2sinNvmgFmR sinRg 当当FN =0时，时，v 临临界界= 在程度直径以上各点在程度直径以上各点不脱离轨道的条件是不脱离轨道的条件是 ：sinvgR 机械能守恒机械能守恒2211222mgRmvmv 下下上上最高点与最低点的弹力差最高点与最低点的弹力差2vFmgmR 下下下下6mgFF 下下上上能到达最高点的最低点速度能到达最高点的最低点速度5vRg 下下恰能到达最高点，最低点加速度恰能到达最高点，最低点加速度5ag v上上mgFN上上v下下

14、mgFN下下2vmgFmR 上上上上2211222mgRmvmv 下下上上竖直面内的匀速圆周运动竖直面内的匀速圆周运动mgFNFfvmgFNvFfW0 非非 如下图，一长为如下图，一长为a的细线系着一小球悬挂在的细线系着一小球悬挂在O点静止不动假设使小点静止不动假设使小球获得一个程度初速度球获得一个程度初速度 ，略去空气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点，略去空气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点O 023vag 小球运动轨迹会经过悬点小球运动轨迹会经过悬点O，是由，是由于线绳在程度直径上方与程度成某于线绳在程度直径上方与程度成某一角度一角度时，绳恰不再张紧，小球时，绳恰不再张紧，小球开场脱离

15、圆轨道而做斜上抛运动开场脱离圆轨道而做斜上抛运动Ovv0yx0 绳上张力为零时小球达临界速度绳上张力为零时小球达临界速度sinvag 该过程机械能守恒该过程机械能守恒: : 22011sin1sin22mvmagmga 图示图示 23sin21sinagagga sin33 h小球做斜上抛运动设当小球做斜上抛运动设当y y方向位移为方向位移为-h-h时历时时历时t, t,有有21cos2hvtgt 3/ 3ag2361332avtgt 232 2 32 30gtagta 2 3tag 这段时间内小球完成的程度位移为这段时间内小球完成的程度位移为sinxvt 332 333aagg 6cos3a

16、a Oyx063a 阐明小球做斜抛运动过程中，阐明小球做斜抛运动过程中，经过了坐标为经过了坐标为 63,33aa 的悬点的悬点O!33a 图中，图中，A是一带有竖直立柱的木块，总质量为是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于程度地面上，位于程度地面上B是一质量为是一质量为m的小球，经过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端现拉动小球，使绳伸直并的小球，经过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端现拉动小球，使绳伸直并处于程度位置处于程度位置.然后让小球从静止形状下摆如在小球与立柱发生碰撞前，木块然后让小球从静止形状下摆如在小球与立柱发生碰撞前，木块A一直未发一直未发生挪动，那么木块与地面之间的静摩擦因数至少为多

17、大？生挪动，那么木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？ BAmgv分析小球分析小球B下摆时受力：下摆时受力： L2sinTvFmgmL 小球动力学方程小球动力学方程 小球机械能守恒小球机械能守恒 21sin2mgLmv 分析木块分析木块A受力：受力： AMgFNTFfmF 木块静止须满足木块静止须满足 cossinTfmTFFMgF cossinTTFMgF 23sin cos3sinmgMgmg 23 cossin1 cot3mMm 23tan1 cot3mMm 33tancotmMmM 由根本不等式性质：由根本不等式性质： 3tancotMmM 当当tan3MMm m ax323mM Mm

18、 323mM Mm 则则FT 如下图，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子如下图，有一个质量均匀的大球壳，正好静止在桌边上，球壳与桌子无摩擦，对球壳悄然一推，使其滚下桌子，计算球壳不再接触到桌子的瞬间，球壳中心的无摩擦，对球壳悄然一推，使其滚下桌子，计算球壳不再接触到桌子的瞬间，球壳中心的速率速率 mgFNCO球壳静止时，与桌边接触的一点球壳静止时，与桌边接触的一点O为其支点，球壳二力平衡为其支点，球壳二力平衡! 轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心轻推球壳，即给球壳一微扰，球壳的质心C将以将以支点支点O为轴，以球半径为轴，以球半径R为半径在竖直面内从初速度为半径在竖直面内从初

19、速度为零开场做圆周运动，其间重力势能减少，动能添加；为零开场做圆周运动，其间重力势能减少，动能添加；当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，当球壳质心做圆运动所需向心力仅由重力来提供时，球与桌支持点间无挤压，即开场脱离桌子球与桌支持点间无挤压，即开场脱离桌子设球壳设球壳“不再接触桌子的瞬时球心速度为不再接触桌子的瞬时球心速度为v vmgv 2cosvmgmR 1 coskmgRE 球壳动力学方程球壳动力学方程球壳机械能守恒球壳机械能守恒 质心对质心对O的转动动能的转动动能212OEmv 球壳对质心球壳对质心C的转动动能的转动动能 2111 cos23mgRmv 22516vgRvgR61

20、1vgR 2112 lim2nCi iniEm v 22112lim2sinsin22224nnimvRRiRinnRnR xy用微元法计算球壳对质心的转动动能用微元法计算球壳对质心的转动动能ECECC2n i将球壳面分割成宽将球壳面分割成宽的一条条极细的环带的一条条极细的环带2Rn 第第i条环带的质量条环带的质量22sin224immRRinnR 第第i条环带的速率条环带的速率sin2ivvRiRn 整个球壳对过整个球壳对过C而垂直于竖直面的轴的转动动能为而垂直于竖直面的轴的转动动能为2311limsin222nnimvinn 2111lim3sinsin322422nnimviinnn 2

21、131 3sinsinsinsin12 2222 222lim 33822sinsin44nnnnnnnnnmvnnnn 211383mv 213mv 前往前往 筑路工人为了提高任务效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐筑路工人为了提高任务效率，把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑至山下如索道外形为里，沿一条钢索道滑至山下如索道外形为 的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量为以看作质量为m的质点，求箩筐自的质点，求箩筐自x=2a处自在滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对处自在滑至抛物线顶点时的速度，并求此时箩筐对钢索的压力钢索的压力. 2

22、4xay 在以竖直向上方向为在以竖直向上方向为y轴正方向轴正方向建立的坐标系中，钢索呈顶点为建立的坐标系中，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线坐标原点、开口向上的抛物线0yxa2avvg由质点机械能守恒由质点机械能守恒 212mgamv 2vag 质点在抛物线顶点的动力学方程质点在抛物线顶点的动力学方程FNmg2NvFmgm 其中抛物线顶点的曲率半径由其中抛物线顶点的曲率半径由22vgvg 2NFmg 如下图，一轻绳跨越一固定程度光滑细杆，其两端如下图，一轻绳跨越一固定程度光滑细杆，其两端各系一小球，球各系一小球，球a a置于地面，球置于地面，球b b从程度位置由静止向下摆动，设两从程度位

23、置由静止向下摆动，设两球质量一样求球质量一样求a a球恰要分开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角球恰要分开地面时跨越细杆的两绳之间的夹角 balL设设a球恰要离地时两绳夹角为球恰要离地时两绳夹角为，此时，此时a球球与地面无挤压与地面无挤压,绳上张力恰与绳上张力恰与a球重力相等球重力相等 mg mgFTFT21cos2mvmgl b球机械能守恒球机械能守恒 b球动力学方程球动力学方程2cosTvFmgml mgcos2cosmgmgmg 3cos1 11cos3 如下图，长为如下图，长为l l的轻杆上端有一个质量为的轻杆上端有一个质量为m m的小重物，的小重物，杆用铰链固接在杆用铰链固接在A A点，

24、并处于竖直位置，同时与质量为点，并处于竖直位置，同时与质量为MM的物体相互的物体相互接触由于微小扰动使系统发生运动试问质量之比接触由于微小扰动使系统发生运动试问质量之比 M/m M/m为多少情为多少情况下，杆在脱离物体时辰与程度面成角况下，杆在脱离物体时辰与程度面成角 /6/6，这时物体的速度，这时物体的速度u u为为多少？多少？ MmlA小重物与物体恰要脱离时两者接小重物与物体恰要脱离时两者接触而无挤压触而无挤压, 故物体的加速度为零故物体的加速度为零!小重物只受重力，小重物与物体程度速度一样小重物只受重力，小重物与物体程度速度一样 mg30 vu则则2vu 过程中系统机械能守恒过程中系统机

25、械能守恒2111 sin622mglmvMu 224vmglmvM 小重物动力学方程小重物动力学方程2sin6vmgml 22glv 4mM 2glv8ugl 如下图，质量均为如下图，质量均为m m的两个小球固定在长度为的两个小球固定在长度为l l的轻的轻杆两端，直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处忽然发生微小杆两端，直立在相互垂直的光滑墙壁和地板交界处忽然发生微小的扰动使杆无初速倒下，求当杆与竖直方向成角的扰动使杆无初速倒下，求当杆与竖直方向成角 时，时，A A球对墙的作球对墙的作用力用力 BA当当A A球对墙恰无作用力时，球对墙恰无作用力时，杆与竖直所成临界角为杆与竖直所成临界角为 201

26、1cos2mglmv 由由20cosvm gml 12cos3 当杆与墙夹角当杆与墙夹角 时时A球对墙无作用力球对墙无作用力当杆与墙夹角当杆与墙夹角 时时 mgvFN过程中过程中B球机械能守恒球机械能守恒 211cos2mglmv 此时此时B球动力学方程球动力学方程2cosNvmgFml 3cos2NFmg NF A球对墙的作用力球对墙的作用力sinNFF 3cos2 sinmg R 一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的恣意点的恣意点P，在重力，在重力作用下由静止开场往下滑，从作用下由静止开场往下滑，从Q点分开球面，求点分开球面，求PQ两点的高度差两

27、点的高度差h. 设球半径为设球半径为R RPQHmgv h 由机械能守恒由机械能守恒:212mghmv Q点动力学方程为点动力学方程为:2sinvmgmR 由几何关系由几何关系:sinHhR 3hH 2HRmghmgRR 假设质点从球顶部无初速滑下，那么可沿球假设质点从球顶部无初速滑下，那么可沿球面滑下面滑下R/3的高度，释放高度的高度，释放高度H越小，沿球面越小，沿球面滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模滑下的高度越短这是一个有趣又有用的模型型 前往前往xOmyR 质量为质量为MM、半径为、半径为R R的光滑匀质半球，静止在光滑程的光滑匀质半球，静止在光滑程度面上，在球顶有一质量为度面上，在

28、球顶有一质量为m m的质点，由静止沿球面下滑，求的质点，由静止沿球面下滑，求m m分开分开MM以前的轨迹方程和以前的轨迹方程和m m绕球心绕球心O O的角速度的角速度 先确定先确定m沿球面下滑的轨迹：沿球面下滑的轨迹：xMM 在图示坐标系中，沿在图示坐标系中，沿x 方向系统动量守恒方向系统动量守恒 0sinMMMxm Rx sinMRMxmm 那么那么m的坐的坐标标xysinsincosMMRxRxMmyR 221MmyxMRR 消去参数消去参数即得即得m在在M上运动时的轨迹方程上运动时的轨迹方程设对应于设对应于角角,m绕球心绕球心O的角速度为的角速度为,M速度为速度为VM那么那么m的速的速度

29、度cossinxMyvRVvR MVR 由由x 方向系统动量守恒方向系统动量守恒 0MxMVmv cosMxMmmVvRVMM cosMmRMmV cosxMRMmv sinyRv 由系统机械能守恒由系统机械能守恒 222111cos22MxymgRMVm vv 221cossing MmR Mm 222221coscossinMgRRRMm ml相对做匀角速度转动的非相对做匀角速度转动的非惯性参考系静止的物体惯性参考系静止的物体小球受绳拉小球受绳拉力而匀速转力而匀速转动动小球受绳拉力小球受绳拉力而静止而静止?TFinFma 20TTiFmFlF 在相对于惯性参考在相对于惯性参考系具有向心加速

30、度的参系具有向心加速度的参考系中所引入的使牛顿考系中所引入的使牛顿定律仍能适用的力就是定律仍能适用的力就是惯性离心力惯性离心力! !牛顿运动定律仍可适用牛顿运动定律仍可适用相对做匀角速度转动的非相对做匀角速度转动的非惯性参考系运动的物体惯性参考系运动的物体AOu r2mr 2mu 2r 2 u Aa FfFNinFma Fk科里奥利力是转动参考系中引入的假想的科里奥利力是转动参考系中引入的假想的惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度惯性力，其大小等于引起科里奥利加速度的真实力，方向相反物体在转动平面上的真实力，方向相反物体在转动平面上沿任何方向运动时，都将遭到一个与运动沿任何方向运动时，都将遭到一个与运动方向垂直的科里奥利力方向垂直的科里奥利力 : :2kFmu 如下图，一对绕固定程度轴如下图，一对绕固定程度轴O O和和OO同步转动的凸轮，同步转动的凸轮，使传送安装的程度平板发生运动问凸轮以多大角速度转动时，放使传送安装的程度平板发生运动问凸轮以多大角速度转动时，放在平板上的零