湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测(二)数学(文)试题(解析版)

1、2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题1 .已知复数z= （1 + i） （3-i） （i为虚数单位），则 z的虚部为（）A. 2B. 2iC. 4D. 4i2 .已知集合 A=x|x+1w0, B=x|x>a,若AUB=R,则实数a的值可以为（）A. 2B, 1C. 0D, - 23 .命题p： m = 2,命题q：直线（m-1） x - y+m - 12= 0与直线mx+2y- 3m=0垂直，则p是命题q成立的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4,若 a=log23, b=log47, c=0.74,则实数 a, b, c 的大小关

2、系为（）A . a> b>cB. c>a>bC. b>a>cD. c>b>a5.已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a6+a3-a5 = 3,则S7=()6.A. 42B. 21C. 7D. 3已知向量£e，*若则实数m的值为（）7.在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E为BCi的中点，则异面直线DE与AiBi所成角的正切值为（）则该程序运行后输出的值是（8.若某程序框图如图所示,A. 5B. 4C. 3D. 29 .设F为抛物线 y2 = 2x的焦点，A, B, C为抛物线上三点，若 标+而近=3，则位|+|手百+|而I

3、为（）A. 9B. 6C, 4D, 310 .三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵 爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含 四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2X勾X股+ （股-勾）2=4X朱实+黄实=弦实，化简，得勾 2+股2=弦2,设勾股中勾股比为1:雷，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据 731.732,也=1.414）C. 138D. 14211 .已知函数f （x） = x3 - x,则曲线y=f （x

4、）过点（1, 0）的切线的条数为（）A. 3B. 2C. 1D. 012 .关于函数f （x） = cos|x|+|sinx|有下述四个结论:f （x）的图象关于y轴对称；f （x）在-兀，兀有3个零点；f （x）的最小值为-J5；f （x）在区间（二工，兀）单调递减.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.、填空题13 .在4ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 A=60° , a2=bc,则 sinBsinC14 .已知实数x, y满足(0,则目标函数z=3x+y-1的最大值为 .I V>115 .直三棱柱 ABC - AiBiCi的顶点都

5、在同一球面上，若AB = AC=2, AAi=3, / BAC =90。，则此球的表面积等于 .16 .如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 O (0, 0) , M (- 4, 0) , N (4, 0) , P(0, - 2) , Q (0, 2) , H (4, 2).线段OM上的动点A满足赢三久而1(入£(Q, 1)； 线段HN上的动点B满足瓦=入市.直线PA与直线QB交于点L,设直线PA的斜率 记为k,直线QB的斜率记为k',则k? k'的值为;当入变化时，动点L 一定在 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.三、解答题：共 70分.解答题应该写

6、出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1719为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题17 .如图，在三棱锥 P-ABC中， PAC为正三角形， M为棱PA的中点，ABXAC, AC= -j-BC ,平面 PABL 平面 PAC.(1)求证：ABL平面PAC;(2)若AC = 2,求三棱锥 P-BMC的体积.4B18 .等差数列an的公差为2, a2, a4, a8分别等于等比数列bn的第2项，第3项，第4项.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列Cn满足皂4三-3 ,求数列Cn的前2020项的和.al a2 an19 .新型冠状病毒肺炎疫情

7、爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心.某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心.为了检验大家对新冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在1575岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间15,35)和35, 75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19: 21.其中“青少年人”中有 40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2

8、: 1.(1)求图中a, b的值；(2)现采取分层抽样在25, 35)和45, 55)中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？(3)根据已知条件，完成下面的2X2列联表，并根据统计结果判断：能否有 99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？了解全面了解不全面合计11青少年人中老年人合计附表及公式：K2=-吗 其中 n=a+b+c+d.(a+b) (c+d) ta +c) (b+d)0.001P (K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0056.6357.87910.8282220 .已知椭圆C：

9、J+J=1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 Fi, F2, P是椭圆上的一点， H II为 PF1F2的内切圆圆心，S3IF=2S1F三-S“PIF：,且PF1F2的周长为6.(1)求椭圆C的方程.(2)已知过点(0, 1)的直线与椭圆 C交于A, B两点，若2市=3 (怎+55),求四 边形OAPB面积的最大值.21 .已知函数 f (x) =x-lnx-里一.(1)求f ( x)的最大值；(2)若f(X)+(xT>- bx>1恒成立，求实数b的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-4 :坐

10、标系与参数方程22 .在新中国成立 70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖 国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型 曲线.如图，在直角坐标系中，以原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为p= 1 - sin 0 (p=1-sin。，p> 0), M为该曲线上的任意一点.(1)当二时，求M点的极坐标；(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转 三与该曲线相交于点 N,求|MN|的最大值.选彳4-5:不等式选讲(本小题满分0分)一、1.、223 .函数 f (x) = (x+1) 2.(1

11、)证明：f (x) +|f (x) 2|>2;(2)若存在xCR,且xw - 1,使得4f 、+f (x) w |m2-m- 1|成立，求 m取值范围.12 个小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效1 .已知复数z= （1 + i） （3-i） （i为虚数单位），则 z的虚部为（）A 2B 2iC 4D 4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案解：1.1 z= （1 + i） （ 3 i） = 3+1 i+3i = 4+2i,，z的虚部为2,故选： A2 .已知集合 A=x|x+1

12、W0, B=x|x>a,若AUB=R,则实数a的值可以为（）A. 2B. 1C. 0D, - 2【分析】可以求出 A = x|x< - 1,根据AUB = R即可得出aw - 1,从而得出a的值可 以为-2.解：A=x|x< - 1, B=x|xRa,且 AU B = R,a< - 1,，a的值可以为-2.故选：D3 .命题p： m = 2,命题q：直线（m-1） x - y+m - 12= 0与直线 mx+2y- 3m=0垂直，则 p 是命题 q 成立的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件【分析】先根据垂直求出参数，然后判断充要

13、性解：,直线（m1） x y+m 12= 0 与直线 mx+2y 3m= 0 垂直，（m1） m+ （ 1） X2=0,解之得 m= - 1, m= 2,，m = 2是m= - 1, m=2的充分不必要条件，故选： A4,若 a=log23, b=log47, c=0.74,则实数 a, b, c 的大小关系为（）A . a> b>cB. c>a>bC. b>a>cD. c>b> a【分析】容易得出1口匐%1口且/7,而1口叼3>1口芯2中>1 ,且0.74V1,从而得出a, b, c的大小关系.解：1<1 菖47=1口 回祝7

14、MLe1宫23 , 0.74V 1 ；a>b> c.故选：A.5 .已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a6+a3-a5 = 3,则S7=（）A. 42B. 21C. 7D. 3【分析】利用等差数列通项公式求出ai+3d=3,再由S7= （a 1 +si7） = 7 （ai+3d）,能求出结果.解：:数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a6+a3-a5=3, a+5d+a+2d a1 4d = a+3d= 3,cl,、 - S7=、置+次7)=7 (a+3d) =21.故选：B.6 .已知向量|1 | = 1, E=/,面, 若（a+b）_L （3 - b）,则实数m的值为

15、（）V31如a. +-B. C- yD.土Tt 2fz 1一 一 一【分析】根据条件即可求出四=L b 十京，而根据即可得出1a4b”（ a=b） =0,从而求出m的值.解:f22a _1 r b =m- J- l >二一2 丁Z. . . I 一 -；1，解得m=±V37 .在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线 DE与A1B1所成角的正切值为（【分析】如图所示，由 DC/A1B1, DCXB1C,可得：/ EDC为异面直线DE与A1B1所成角.利用直角三角形的边角关系即可得出.解：如图所示, DC / A1B1, DCIBiC./ EDC为

16、异面直线DE与AiBi所成角.tan / EDC =DC故选：C.D1C8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（A. 5B. 4C. 3D. 2【分析】直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果.解：根据程序框图,在执行循环前：n = 6, i=1,执行第一次循环：n=3, i = 2.执行第二次循环时，n = 4, i=3,由于执行第三次循环时，n = 2,故输出：i = 4,故选：B.9 .设F为抛物线 y2 = 2x的焦点，A, B, C为抛物线上三点，若 标+而+=伺，则 位|+|府|+|箴I为（）A, 9B. 6C. 4D. 3【分析】由 菽+而+前=3可得F为三角形ABC

17、的重心，由 三角形的重心公式可得 A,B, C的横坐标之和，再由抛物线的性质，大焦点的距离等于到准线的距离，可得所求的结果.=XF解：因为FA+FE；+FC= 0，所以可得F为三角形ABC的重心，所以由抛物线的方程可得准线方程为： x=-所以 Xa+xb+xc =由抛物线的性质可得，I而|+位|+|而I为A, B, C到准线的距离之和,所以 |应|+|而|+|而| = xa+xb+xc+3X10 .三国时期吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及

18、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2X勾X股+ （股-勾）2=4X朱实+黄实=弦实，化简，得勾 2+股2=弦2,设勾股中勾股比为1:近，若向弦图内随机抛掷 1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据 行1.732,1.414）A. 130B. 134C. 138D. 142【分析】设勾为a,则股为丘a,弦为2a,求出大的正方形的面积及小的正方形面积,再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案.解：如图，设勾为a,则股为N/ga|，.弦为2a,则图中大四边形的面积为4a2,小四边形的面积为(4-2日 *，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为

19、，落在黄色图形内的图钉数大约为1000134.则曲线y=f (x)过点(1,0)的切线的条数为(A. 3B. 2C. 1D. 0【分析】设出切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程，代入点(1,0),求解切点的横坐标，进而可得切线方程，则答案可求.解：设切点为(，X0, y。)，f (x) = x3-x 的导数为 f' ( X)= 3X2- 1,则有切线的斜率为 3x02-1,切线的方程为y-耳口 +x0=( 3x02- 1) ( x- x0),代入(1, 0),可得-町，+Xo= ( 3x02- 1) ( 1 - xo),整理并解得：xo = 1或耳口,则过点(1,0)的切线方程为y=

20、2x - 2或y=-二x+,共两条.4 4故选：B.12 .关于函数f (x) = cos，|+|sinx|有下述四个结论:f (x)的图象关于y轴对称；f(x)在-兀，兀有3个零点；f (x)的最小值为IS；f (x)在区间 吟，冗)单调递减.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和关系式的恒等变换的应用求出结果.解：关于函数f (x) = cosxi+|sinx|有下述四个结论：对于由于x CR,且f ( - x) = f (x),所以函数为偶函数，故 f (x)的图象关于y轴 对称；故正确.，一，“一3兀一 “一_由于函数f (x)为偶函数，所

21、以当x=时，函数的值为 0,所以在-兀，兀有2个零点；故错误.函数f (x)在x=兀时，函数的最小值-1;故错误.由于 xF -冗),所以一；-二1*+-4一7T冗则 f (x) = cosxi+|sin*|=百6门(及丁)在区间(，冗)单调递减.故正确.故选：C.二、填空题：共 4小题，每小题5分，共20分.请将你的答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13 .在4ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 A=60° , a2=bc,则 sinBsinC一-4 一【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值即可求解.解：A

22、= 60 , a2=bc,，由正弦定理可得 sinBsinC= sin2A= () 2=.故答案为：.414 .已知实数x, y满足（,则目标函数z=3x+y-1的最大值为 6 .【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z= 2x+y过点（2, 1）时，z最大值即可.乂打4 3解：先实数x, y满足，画出可行域，然后平移直线0=3x+y,当直线z= 3x+y- 1过点（2, 1）时，z最大值为6.故答案为：6.15 .直三棱柱 ABC - A1B1C1的顶点都在同一球面上，若 AB = AC=2, AA1=3, / BAC =90。，则此球的表面积等于17兀.【分析

23、】设球的半径为 R,球心为O,利用勾股定理即可得出 R2,可得球的表面积.解：设球点半径为 R,球心为O, 则R2=（企/+号）2=丁 此球的表面积=4 tR2= 17 7t.故答案为：17兀.16 .如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 O (0, 0) , M (- 4, 0) , N (4, 0) , P(0, - 2) , Q (0, 2) , H (4, 2),线段OM上的动点A满足干尸入而(X £(Q，1); 线段HN上的动点B满足诬=入市.直线PA与直线QB交于点L,设直线PA的斜率 记为k,直线QB的斜率记为k',则k? k'的值为/_；当入变化时，

24、动点L 一定在 双 曲线 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.【分析】根据向量关系得到 A, B的坐标，再根据斜率公式可得 kk'=；设P (x, y),根据斜率公式可得P点轨迹方程.解：一百三，诵 O £ (。, 1)； A ( 4 入，0),又 P (0, 2),12人'"、一"r '- -、. ,2-2 入-(-2) 九 ,= B(4, 2 - 2 X) , . k = " -z-,一kkZ、r、y+2,y-2,Y+-2y-2 yi-4设 L (x, y),贝U k = k =, - kk =?= S ，x-0

25、£一口£ Ji J故答案为:三，即13三、解答题：共 70分.解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1719为必考题，每个试卷考生都必须作答.第 22、23为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题17 .如图，在三棱锥 P-ABC中， PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB±AC, AC=BC ,平面 PABL 平面 PAC .2(1)求证：ABL平面PAC;(2)若AC = 2,求三棱锥 P-BMC的体积.【分析】(1)由已知证明 CMXAB,结合ABXAC,利用线面垂直的判定可得 AB，平面 PAC;(2)由已知求得 AB,再由等积法求三棱锥 P-

26、 BMC的体积.【解答】(1)证明：在正三角形 PAC中，; M为棱PA的中点，CM ±PA,平面 PABL平面 PAC,平面 PABA平面 PAC = PA, CM?平面PAC,/.CM，平面 PAB ,得 CM ±AB ,又 AB LAC, AC ACM =C, . . AB，平面 PAC;(2)解：在 Rt BAC 中，AC=2, AC=-BC,.BC=4,贝U ab = 42-22=2V3-.一- L ' . -二"- ：18.等差数列an的公差为2, a2, a4, a8分别等于等比数列bn的第2项，第3项，第4项.(1)求数列an和bn的通项公

27、式;（2）若数列Cn满足皂4三-3 ,求数列Cn的前2020项的和.al a2 an【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式求得ai = 2 .则an可求.设等比数列bn的公比为q,求得q与b2,则bn的通项公式可求；（2）由（1）知，日b,二211.代入得士-二十,一二匚-二二？"，即可求得 % 七 an-l -数列Cnd 的通项公式；数列Cn的前 2020 项的和 与口2口=8+2乂 2 3+3X 2*+2020乂 22021 = 4+1 乂 22+2 x 23+3 x 24+ +2020 x 22021.然后利用错位相减法求解.解：（1）依题意得：二b2b2，

28、（日+6） J=（a +2）（a +14）,町 +12如+36 二% +16a+28,解得a1= 2. -an=2+2 (n T) = 2n .设等比数列bn的公比为q, q；3中4片= 2 a219又 b2=a2=4,二4父2(2)由(1)知,an=2n, bn=2n.A田，al a2 an-l anr C1 c2cn-l 皿当 n>2 时，H+= 2 ,al a2an-lGI由-得, = 2n,即%二。2":又当n=1时，i4=2.”满足上式,“，n=l、”Il±1，数列Cn的前 2020项的和 S2020-8*2X 23+3X 2“+2。20X 22021= 4

29、+1 x 22+2 X 23+3 X 24+2020 X22021.设马020 = 1乂 22+2X 23+3X 24+-+2019X 22WO-h2020X，贝U 2丁2加=1 义 2?+2X 24+3X25+-+-2OL9X 22cm+2。2。乂 22022,由-得:-T2O2Q-22fg3 + 24+-+221-20X 22022“J J- -i-i-2022=_&-2020 X /盛2 = - 4- 2019X 22022.12马呢/2。19乂 潭人4 S2020= T2020H=2019X S2022 +8.19.新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心.某市积

30、极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心.为了检验大家对新冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在1575岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间15,35)和35, 75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为 19: 21.其中“青少年人”中有 40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2: 1.(1)求图中a, b的值；(2)

31、现采取分层抽样在25, 35)和45, 55)中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？(3)根据已知条件，完成下面的2X2列联表，并根据统计结果判断：能否有 99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？了解全面了解不全面合计青少年人中老年人合计附表及公式：K2=L一-'叫了。)其中n=a+b+c+d.(d+b) (c+dJ Ca+c) (b+d)0.0100.0050.001P (K2>k)0.150.100.050.0256.6357.87910.82819： 21,【分析】(1)由频率分布直方图以及“青少年

32、人”和“中老年人”的人数比为 列出关于a和b的方程组，解之即可;(2)根据频率分布直方图中的数据算出8人中属于“中老年人”的人数，然后结合对立事件的概率求解即可;(3)先补充完整2X2列联表，然后根据 K2的公式计算即可.因为“青少年人”和“中老年人”的人数比为19: 21 ,所以_19 a+a 01+0. 005X2 21解：(1)由频率分布直方图可知，(a+0.03+b+0.01+0.005+0.005 ) x 10= 1 即 a+b=0.05,由 解得，a =0.0325, b= 0.0175.n m q(2)年龄处于25, 35)和45, 55)的人数比为 十-言，所以随机抽取的8人中

33、，处于45, 55)年龄段的人数为8 *=2人,即8人中有2人是“中老年人”，“，、- c0 13故所求的概率为1一左二彳.L 9(3) 200人中属于“青少年人”的人数为 200X ( 0.0175+0.03) X 10= 95人,属于"中老年人"的人数为200- 95= 105人，又因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2:1,，一一一，-2 一一一所以了解全面的有 W5X = 70, 了解不全面的有105- 70=35人，J补充完成的2X2列联表如下所示，了解全 了解不 合计面 全面青少年405595人中老年7035105人合计 110902

34、00所以2=20QX(40X35-X70)/95X105X110X90>10.828.故能够有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识.a>b>0）的左、右焦点分别是I为乙PF1F2的内切圆圆心,F1, F2, P是椭圆上的一点,SPIF =2SF：% sPIj ,且PF1F2 的周长为 6.（1）求椭圆C的方程.（2）已知过点（0, 1）的直线与椭圆 C交于A, B两点，若25p = 3（6A+5S）,求四边形OAPB面积的最大值.【分析】(1)因为 SaPIF = 2S.1FSAPIt,所以 |PF1|+|pf2|=2|F1F2|,即 a =2

35、c，结合 PF1F2的周长为6,可算得a, c, b,进而得出答案.（2）设直线AB的方程为y=kx+1, A（X1,巾），B（x2, y2）,联立椭圆方程消y可得,(3+4k2) x2+8kx- 8=0,利用韦达定理得rA>0-8kx I + x亍 一 一一 3十铉，因为 20F = 30A+0B),-S3 2 ="T3+4kz所以S四边形OAPB = 3SaQAB ,从而可得S四边形OAPB面积表达式，逐步化简，求其最大值.解：(1)因为 sAPIF1 = 2SAIF.F：|- sAPIF.,所以 |PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 a= 2cD ,又因为 PF1F

36、2的周长为6,所以 |PF1|+|PF2|+|F1F2|= 6,即 2a+2c= 6，由 可得a=2, c= 1,则b=/3,所以椭圆的方程为=1(2)设直线 AB 的方程为 y=kx + 1, A (x1，yi) , B (X2, y2),产 k/l3+4k2)x2+8kx - 8=0,则由/ v2 ,联立消y可得, I 4 3 1rA>08k及1+工2二一-8盯 123 十 4k"因为2op =3 (市+而),所以s 四边形 OAPB = 3SaOAB ,洞q 3|y, 3寸 16(12 kF) /而.+1S OAPB|xi x2|223心3也产令历“=t>l，LL

37、O -I所以k2：，,6付所以S四边形OAPB =n = . 1 >2t%l 2t 5又因为y= 2*在区间1, +oo）上单调递增，所以y>3,所以S四边形OAPB < 2f5 .所以四边形OAPB的面积最大值为 2/621.已知函数 f （x） =x-lnx-里一.（1）求f （ x）的最大值；（2）若f （耳）+（工+-4） e* - bx>1恒成立，求实数 b的取值范围.【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值即可.（2）%"21 ?$ 夏白 -111工-1+鼠, f （耳）二又 日 +工门E ,令 h （x） = x2ex+in

38、x , h （x）在（0, XX+8）单调递增，h （x）在（0, 1）存在零点xo,即h工u ）二工十1 口X R ,推出b<2.。（x）在（0, xo）减，在（xo, +8）增，求出最小值得到 解：（1）M必xi世二，定义域（0，+°°）,）二1.k（kT）GT （厂/） "/2-2A xx由 ex>x + 1 >x, f （x）在（0, 1增，在（1, +8）减，f （x） max = f （1） = 1 - e.lnx +x+xex bx 一瞿 =i了£ 一In/一 1+k2）令中小注至必业，中，G” 口区 XX令 h （x） =x2ex+inx, h （x）在（0, +oo）单调递增,x-0, h （x） -oo, h（1）= e>0h （x）在（0