二次函数压轴题分类精选---矩形

1、1.如图，已知二次函数y=m2x2-2mx-3 （m是常数，m>0）的图象与x轴分别相 交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴交于点C,对称轴为直线l .点C关于 l的对称点为D,连接AD.点E为该函数图象上一点，AB平分/ DAE（1）线段AB的长为m求点E的坐标；（、中的结论均用含 m的代数式表示）（2）设M是该函数图象上一点，点N在l上.探索：是否存在点M.使得以A、E、 M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在， 求出点M坐标；如果不存在，说明理由.【分析】（1）令y=0,求出抛物线与x轴的交点坐标；根据抛物线解析式确定出对称轴，和 y轴交点坐标；（2）先设出M点的坐标，分两种

2、情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出 点M的坐标，再用勾股定理计算即可.【解答】解：（1）令y=0,则（mx- 3） （mx+1） =0,x=-或 x, m m .A （一工 0）, B （-, 0）, mid AB二，故答案为巴；m,二次函数 y=m2x2 - 2mx- 3,C (0, 3),对称轴 l: x,. D (2, - 3) m. AB 平分 / DAE,点D关于x轴的对称点Q (一, 3)在直线AE上,直线AE的解析式为y=mx+1,.点E是抛物线和直线AE的交点，E (&, 5). m(2)设 M (x, m2x2-2mx-3), N (, a). A (-L 0

3、), E (2 5). rnm以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，以AE, MN为对角线时，AE, MN的中点重合,- -+=x+, mm mx=2x IDM （二，-3）, 皿v MA2+ME2=A,Q425 _ 曰9/+64哆+25, mnim - m=- t-（舍）,或 m=7j-M （4, -3）,以AN, ME为对角线时,AN, ME的中点重合,x=-IDM (-，21),mAE2+AM2=ME2,+256,2D,以AM, NE为对角线时, .AM, NE的中点重合，x+ ( -) -+-, in m m6x, IDM (, 21), mA片+EM2=AM2,25n*225+J_+

4、256='1Jro m+441,此方程无解,即：存在，M (4, 3)或有121).【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标， 对称轴, 勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线AB解析式.2.如图，抛物线y= - x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴 交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与y轴交于点E.备用国L函用置2(1)求直线AD的解析式；(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点 F,过点F作FG，AD于点G,彳FH 平行于x轴交直线AD于点H,求4FGH周长的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点

5、P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A, M, P, Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对 称，求点T的坐标.【分析】(1)先求出C (0, 3), A ( - 1, 0), B (3, 0),再利用配方法得y=- (x -1) 2+4,则抛物线对称轴为直线x=1,于是可确定D (2, 3),则可利用待定系数 法求直线AD的解析式；(2)由E (0, 1)可判断 OAE为等腰直角三角形，则/ EAO=45,由于FH/ OA, 则可得到 FGH为等腰直角三角形，过点F作FN±x轴交AD于N,如图，则 FNH 为等腰直角三角形，所以 GH=NG于是彳FG

6、H周长等于 FGN的周长，由于 FG=GN=1TN,则4FGN周长=(1+6)FN,所以当FN最大时，zFGN周长的最大， 设 F (x, x2+2x+3),贝U N (x, x+1),贝U FN=- x2+2x+3 - x - 1,利用二次函数的最 值问题可得当x=1时，FN有最大值, 于是 FGN周长的最大值为受警；(3)直线AM交y轴于R, M (1, 4),利用待定系数法求出直线 AM的解析式为 y=2x+2,则R (0, 2),然后分类讨论：当 AQ为矩形AMPQ的对角线，如图1,利 用RtAAOKRtAPOA可计算出OP卷 则P点坐标为(0,-接着利用平移 可得到Q (2, 5),

7、于是由点T和点Q关于AM所在直线对称，根据线段中点坐标公式易得T点坐标为(0,");当AP为矩形APQM的对角线，反向延长QA交y轴 11于S,如图2,同理可得S点坐标为(0,易得R点为AM的中点，则R点为PS的中点，所以PM=SA, P (0, Z),加上PM=AQ,则AQ=AS于是可判断点Q关于AM的对称点为S,即T点坐标为(0, -1).【解答】解：(1)当 x=0 时，y= - x2+2x+3=3,贝U C (0, 3),当 y=0 时，一x2+2x+3=0,解得 xi = - 1, x2=3,贝U A ( 1, 0), B (3, 0),. y=-x2+2x+3=- (x-

8、 1) 2+4,抛物线对称轴为直线x=1,而点D和点C关于直线x=1对称， D (2, 3),设直线AD的解析式为y=kx+b,把A ( - 1 , 0), D (2, 3)分别代入得(-解得2k+b=3 b=l直线AD的解析式为y=x+1;(2)当 x=0 时，y=x+1=1,则 E (0, 1),v OA=OE . OAE为等腰直角三角形， ./ EAO=45,v FH/ OA, .FGH为等腰直角三角形，过点F作FN±x轴交AD于N,如图，FN± FH, .FNH为等腰直角三角形，而 FG± HN,GH=NG .FGH周长等于 FGN的周长， FG=GN=二

9、FN, 2 .FGN周长=(1+/2) FN, 当FN最大时， FGN周长的最大，设 F (x, - x2+2x+3),则 N (x, x+1),. FN=- x2+2x+3- x- 1 = - (x-1-) 2+1,当xg时，FN有最大值日， .FGN周长的最大值为( 1或)x=,即4FGH周长的最大值为"返；(3)直线 AM 交 y 轴于 R, y= -x2+2x+3= (x1) 2+4,贝U M (1, 4) 设直线AM的解析式为y=mx+n,把A ( - 1 , 0)、M (1, 4)分别代入得1 甲,解得上, nr+'ii二 4i n2直线AM的解析式为y=2x+2

10、,当 x=0时，y=2x+2=2,则 R (0, 2),当AQ为矩形APQM的对角线，如图1,/ RAP=90, 而 AO± PR, RttA AOR RtA POA,解得OP专，向右平移2个单位得到M (1, 4), 向右平移2个单位得到Q (2, 1), AO: OP=OR OA,即 1: OP=2: 1, .P点坐标为(0, 点A(- 1, 0)向上平移4个单位， 点P (0, -)向上平移4个单位， 点T和点Q关于AM所在直线对称，一.T点坐标为(0,当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S,如图2,同理可得S点坐标为（0, -1） .R点为AM的中点， .R点为

11、PS的中点， . PM=SA P （0,卷），PM=AQ, AQ=AS 点Q关于AM的对称点为S, 即T点坐标为（0, -i-）.综上所述，点T的坐标为（0,卷）或（0, -L）.爸用图1曾用图2*【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、二次函数与 轴的交点问题和矩形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活运用相似三角 形的性质计算线段的长；记住坐标系中点平移的规律.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a4-2ax- 3a (a<0)与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l: y=kx+b与y轴交于点C,与抛物 线的另一个交点为 D,且

12、CD=4AC(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k, b用含a的式子表 示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点，若 ACE的面积的最大值为总，求a的 值；(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点A, D, P, Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P的坐标；若不能，请说明理由.备用图【分析】(1)由抛物线y=a/-2ax-3a (a<0)与x轴交于两点A、B,求得A点的坐标，作DF, x轴于F,根据平行线分线段成比例定理求得 D的坐标，然后利用待 定系数法法即可求得直线l的函数表达式.(2)设点 E (m, a (m+1) (m-3), y

13、AE=kix+bi,利用待定系数法确定 yAE=a (m3) x+a (m 3),从而确定 & ace= (m+1) a (m 3) a匚(m三)2 -a, 上ZZo根据最值确定a的值即可；(3)分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可.【解答】解：(1)令y=0,则ax2-2ax- 3a=0,解得 x1=-1, x2=3点A在点B的左侧,A ( 1, 0),如图1,作DF，x轴于F,DF/ OC,1 口 OA AC'v CD=4AC.,.=4, OA ACV OA=1,OF=42 .D点的横坐标为4,代入 y

14、=aX2 - 2ax - 3a 得，y=5a,3 D (4, 5a),把A、D坐标代入y=kx+b得解得b=a直线l的函数表达式为y=ax+a.(2)如图1,过点E作EN±y轴于点N设点 E (m, a (m+1) (m 3), yAE=k1x+b1,解得:CkpaGn-S:yAE=a (m 3) x+a (m 3), M (0, a (m 3) . MC=a(m 3) a, NE=m(m+1) a (m 3)&ace=&acm+S1CEM=i- a (m - 3) - a+y- a (m - 3) - a m有最大值一(3)令 裳-2ax- 3a=ax+a,即 ax

15、2 - 3ax- 4a=0,解得 Xi=- 1, X2=4,D (4, 5a),y=a/- 2ax- 3a,抛物线的对称轴为x=1,设 Pi (1, m),若AD是矩形的一条边，由AQ/ DP知Xd-Xp=xa Xq,可知Q点横坐标为-4,将x=- 4带入抛物线方程得Q (-4, 21a),m=yD+yQ=21a+5a=26a,贝U P (1, 26a),.四边形 ADPQ为矩形,./ADP=90,.aD2+pd2=ap?,. AD2=4 (1) 2+ (5a) 2=52+ (5a) 2,PD2= (1-4) 2+ (26a- 5a) 2=52+ (5a) 2,.4 (1) 2+ (5a) 2

16、+ (1-4) 2+ (26a- 5a) 2=( -1-1) 2+ (26a) 2,a2=7T, a<0, . a=一P1 (1,图2图3若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为(一，争)，Q (2, - 3a),m=5a ( 3a) =8a,贝U P (1, 8a),.四边形ADPQ为矩形, ./APD=90,AP2+PD2=AD2,AF2= 1 - (1) 2+ (8a) 2=22+ (8a) 2,PD2= (4-1) 2+ (8a-5a) 2=32+ (3a) 2,AD2=4- (1) 2+ (5a) 2=52+ (5a) 2,22+ (8a) 2+32+ (3a) 2=5

17、2+ (5a) 2,解得 a2', / a<0,，a=-二，42P (1, -4).综上可得，P点的坐标为P1 (1, -4), P2 (1, -2誓).图1【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次 函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a4+bx+c (a<0)与x轴交于A (-2, 0)、B (4, 0)两点，与y轴交于点C,且OC=2OA(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y=kx+1 (k> 0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线

18、BC交于点M ,记m=-,试求m的最大值及此时点P的坐标； DM(3)在(2)的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是 否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在， 请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由.【分析】(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A (-2, 0)、B (4, 0)两点，所以可以 假设y=a (x+2) (x-4),求出点C坐标代入求出a即可；(2)由ACMDsFMP,可得m=PM =PF ,根据关于m关于x的二次函数，利用二 DM DC次函数的性质即可解决问题；(3)存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成

19、的四边形是矩形.分两种 情形分别求解即可：当DP是矩形的边时，有两种情形；当 DP是对角线时；【解答】解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A (-2, 0)、B (4, 0)两点， 所以可以假设y=a (x+2) (x-4), v OC=2OA OA=2,. C (0, 4),代入抛物线的解析式得到a=- y=一(x+2) (x 4)或 y=x2+x+4 或 y=-(xT)(2)如图1中，作Pnx轴于E,交BC于F.v CD/ PE,.CMDs AFMP, .m叁里、直线y=kx+1 (k>0)与y轴交于点D,则D (0, 1),: BC的解析式为y=- x+4,设 P (n,

20、- n2+n+4)，贝U F (n, - n+4), .PF=- -Ln2+n+4- ( - n+4)=(n-2) 2+2, 22.m=-=-工 (n-2) 2+-, CD 63- L o, 6当n=2时，m有最大值，最大值为一，此时P (2, 4). 3(3)存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2-1中，四边形DQNP是矩形时,有(2)可知P (2, 4),代入y=kx+1中，得到直线DP的解析式为y=1x+1,可得D (0, 1), EiZ-10),由DOa zQOD可得OQ 0D . OD2=OE?OQ9 . 1?OQ,

21、 .OQ=1, Q (二，0).根据矩形的性质，将点P向右平移!个单位，向下平移1个单位得到点N,2. N (2+4, 4 - 1),即 N (工，3), Q (8, 0),根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N, N (0+6, 1-4),即 N (6, - 3).当 DP是对角线时，设 Q (x, 0),则 QD2=x2+1, QP2= (x-2) 2+42, PD2=13,.Q是直角顶点,QD2+QP2=PD2, X2+1+ (x- 2) 2+16=13,整理得x2 - 2x+4=0,方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为(不，3)或(6,

22、 -3).【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质.相似三角形 的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最 值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.5.如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，O是坐标原点，抛物线y=- x2+bx+c (c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA/ x轴交抛物线于点A,在AC 延长线上取点B,使BCAC,连接OA, OB, BD和AD.（1）若点A的坐标是（-4, 4）.求b, c的值；试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；请直接写出一个符（2）是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形？若存在, 合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由.c的值；再根据勾股定理可【分析】（1）将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出 b、