二次函数动轴与动区间考点技巧分类总结

1、二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数时称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般 分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x) = ax2+bx+c(a工0),求f (x)在x cni, n上的最大值与最小值。分析：将f(x)配方，得顶点为(一色，4aCb'L对称轴为x=-&-当a>0时,它的图象是开门向上的抛物线,数形结合可得在m, n上f(x)的最值:(1)当一葛中1，n时，f(x)的最小值是f(一() = 当卢，f(x)的最大值是f(m)> f(n)中的较大者。(2)当一b2a印1】，n时第5页(共9页)由f

2、(x)在卜11, n上是增函数则f (x)的最小值是f(m),最大值是f (11)若nc-2，由f(x)在卜11，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m),最小值是f(n)当a vO时，可类比得结论。二、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键,此类问题包括以卜泗种情形：(1)轴定，区间定 (2)轴定， 区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变.1 .轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的.我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值”。例L函数丫=-好+ 4乂一2在区间0,

3、3上的最大值是,最小值是 o解：函数丫=一(+ 4乂-2 = -(乂-2)2 + 2是定义在区间0, 3上的二次函数，其对称轴方 程是x=2,顶点坐标为(2, 2),且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0, 3上，如图1所示。函数的最大值为f(2) = 2,最小值为f(0) = -2。练习.已知2x?«3x,求函数f(x) = x" + x+l的最值。21上的二次函数。2图象开II向上。显然其顶点横坐标不在区间0, 1内，如图2所示。函数f(x)的最小值为f(0) = l,最大值为f19解：由己知2x?K3x,可得0<xK±,即函数f(x)是定义在区间0,2

4、将二次函数配方得f(x) = (x+；)其对称轴方程x=-；,顶点坐标(-；，J,且2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。例2.如果函数f(X)= (X-» + l定义在区叫t, t + 1上，求f(X)的最小值。解：函数f(X)=(X-l)2 + l，其对称轴方程为X=l，顶点坐标为(1, 1),图象开II向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间卜，t + 1左侧时，有Ivt,此时，当X = t时，函数取 得最小值 f(X)n1n=f(t)=(tl)2 + l。如图2所示，若顶点横坐标在区间卜，t + 1上时，&

5、lt;l<t + l,即OWtWL当x=l 时,函数取得最小值f (x)0 = f(l) = 1。如图3所示，若顶点横坐标在区间卜，t + 1右侧时，有t+lvL即t V0。当乂 = 1+1时,函数取得最小值f(x)1nm = f(t + l) = t? + l (t-l)3+l,t>l 综上讨论，f(x)nun = «l, 0<t<lt2+lt <0y /中to t+1 x图8例 3.已知 f(x)= £-2x+3,当xet, t + l(t£R)时，求 f(x)的最大值. 解：由已知可求对称轴为x=l.(1)当t>l时，故焉

6、=f(t + l) = t? + 2当 tWlWt + 1,即 OWtWl 时，.根据对称性，若上士 KL即° 7、5时，f(X)nux = f(t) = t2-2t+3 22t + t + 1 11若 2 > 2 即 2 <、时，f(x)1mx = f(t+l) = t+2 (3)当 t + l<l 即 t<0 时，(x)nwc = f(t) = t-2t+3t3 + 2,t >-综上，f(x)a2、 1t- -2t + 3,t <-2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？ 这些问题其实仔细思考就很容易解决

7、。不难观察：二次函数在闱区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨 论：而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个 理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a>0时 f(x)Nf>i(m+ n)(如图 1)2a 2f(n)»- < (m+ n)(如图 2)

8、 2a 2f(X)3f (n)»> n(如图 3)2af(- )» m<-<n(如图4)2a 2af (m),- < ni(如图5)2a当a<0时 f(x)a如图 6)f()» ni«K n(如图7) f(x) 1nm2a 2a(如图 8)f (m)，f(n),2 (m + n)(如图 9)2a 2-2<1(m+n)(如图 10)2a 23、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这 种情况是“动二次函数在定区间上的最值二例4.已知x?Kl,且a-220,求函数f(x) =

9、好+ 2乂+3的最值。解：由已知有一IWxWL a >2,于是函数f(x)是定义在区间卜1, 1上的二次函数，将 f(x)配方得：f(x) = (x+g +3一;/2、,图象开口向上二次函数f(x)的对称轴方程是x=-2顶点坐标为3- 2<247由 aN2可得x= - <-1>2显然其顶点横坐标在区间卜1, 1的左侧或左端点上。函数的最小值是f(1) = 4一 a ,最大值是f (1) = 4 +a。图3例5(1)求f(x)=x? + 2ax+l在区间12上的最大值。(2)求函数y=-x(x-a)在上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为x = -a,当-a<

10、L即 a>-L 时，f(x)ax = f(2) = 4a +5 ：2 2当-a 2即a 4时，f(x、3= f(-l) = 2a + 2o3 212a + 2,a W 综上所述：f(xK = ':。4a+ 5,a > 22（2）函数y=（x±）2 + L图象的对称轴方程为x=L 应分一1-<-1, 土>1即242222-2<a <2, a <-2和a >2这三种情形讨论，下列三图分别为（1）a <-2：由图可知 f（x）m = f（-l）a(2) -2 <a <2 ；由图可知 f(x)w = f(-)2(a +

11、1), a < 2即y-=,-2<a <2 4a-1,a >2(3)a >2时：由图可知 f(x)E= fQ)f(-l),a <-24.轴变区间变二次函数是含参数的函数,一最大=< f(1),-2<a<2： f，a >2而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6己知=43他_59>0）,求ii = （x_3>+y2的最小值。解：将 = 4a（x-a）代入中，得以二（及一？+40（大一） = 了一（32以）Z + 12a 8a" x a9 +oo）（1）3- 2a,>a t

12、即0<aM时，= 12a 8ai3-2<°,即。> 1 时，/（£）2 二/（以）二（ 一 3产所以-/(0 <a <1)a >1)(二)、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7.已知函数fAa + Zax+l在区间-3,2上的最大值为4,求实数a的值。解:f(x) = a(x+l)2 +1-a,xe-3,2(1)若a=O,f(x)=l,不符合题意。(2)若 a >0,则 f (x)z = f(2) = 8a+l由8a+ 1 = 4,得a = 38(3)若a <0 时，则 f(x)z= f(-1

13、) = 1一由l-a = 4,得a=-3综上知a = ?或a = -3 8例8.己知函数f(x) =+x在区间nin上的最小值是3nl最大值是3n,求n】，n的值。2解法1:讨论对称轴工=1中1与*吧上,1】的位置关系。f(x)g = f(n) = 3nf(x)g= f(m) = 3mcin+n若<1 <n ,2f(x)a = fQ) = 3iif (x) = f(m) = 3mm+ n若in <1 <2f(x)a = f(l) = 3n2，无解f(x)g= f(n) = 3m若1山 Jf(x)z = "m) = 3n、f(x)m = f (n) = 3m无解

14、综上，m=-4,n = 0f(x)a = f(n) = 3nf(x)mm= f (m) = 3m解析 2：由 f(x) = -L(x-l> + 9,知3n<L,n«L,则(-叫1, 2226又在mu1上当x增大时f(x)也增大所以 解得 m=-4,11 = 0评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m, n的取值范围，避 开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例9.已知二次函数*乂)=胃+(2-1)乂+1在区间一|,2上的最大值为3,求实数a的值。 这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a >0与a <0两大类五种情形讨论，过程繁

15、琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函 数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：2a 1(1)令 f(-)= 3,得a2a此时抛物线开11向下，对称轴方程为x=-2,且-2任故-;不合题意:(2)令 f(2) = 3 ,得a =；此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a = g符合题意：(3)若 f(?) = 3,得a=4 23此时抛物线开H向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=-4符合题意。3综上，a = 9或a=-2 23解后反思：若函数图象的开II方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参 数一致，可采用先斩

16、后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程 简洁、明了。三、巩固训练1 .曲数y = x? + x+1在-口上的最小值和最大值分别是(均1,3(B) - ,3(C) - ,3(D) -,34242 .函数y=-x2 + 4x-2在区间1,4上的最小值是()(A)-7(B)-4(C)-2(D)283 .函数y=-的最值为()x- -4x+5(A)最大值为8,最小值为0(B)不存在最小值，最大值为8(C)最小值为0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值4 .若函数y = 2 - V-

17、x3+4x, x W 0,4的取值范围是5 .已知函数f(x) = ax2 + (2a-l)x-3(a#0)在区间-9, 2上的最大值是1,则实数a的 值为6 .如果实数x,y满足x?+y? =1,那么Q-xy)(L + xy)有()(A)最大值为1,最小值为1CB)无最大值，最小值为三24(C)最大值为1,无最小值。)最大值为1,最小值为m47 .已知函数y= x? -2x+3在闭区间O,n上行最大值3,最小值2,则n】的取值范围是 ( )(A) 1,+s)0,2(C) 1,2)(一卬8 .若xN0,yN0,x+2y = 1,那么2x+3y?的最小值为9 .设n】£ RXpX?是方

18、程X?-2nix+l nf =0的两个实根，则x+x：的最小值10 .设f(x) = 乂2-4*-4/6K4 + 1。£&,求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。11 .已知f(x)-x2-ax十士，在区间0刀上的最大值为g(a),求居(a)的最小值。 212 ( 2009江苏卷)设a为实数，函数£仪)=2幺+3-2)|乂-8.(1)若f(o)Ni，求a的取值范围：C)求f(x)的最小值：(3)设函数h(x)=f(x),xe(a,+s),辛倭耳中(不需给出演算步骤)不等式h(x)Nl的解集【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活 运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问即的综合能力。(1)Zi f (0) >1 * 贝U-a | a |21 =>3,=>a <-1a >1(2)当 X2a 时,f(x) = 3x2-2ax+a2,1f(a).a>0 j2aa>0W« = |fca)a<Q» 2aa<0第10页(共9页)当xKa时,f(x) = x3 + 2ax-a f(x)f(-a),a >