四川大学自动控制原理第二章

1、第二章 控制系统的数学描述u引言（引言（数学模型的概念和意义数学模型的概念和意义）u输入输出描述法输入输出描述法 数学模型的分类，传递函数，典型环节，数学模型的分类，传递函数，典型环节， 系统的相似性，线性化系统的相似性，线性化u结构图（方块图）及其等效变换结构图（方块图）及其等效变换u反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 闭环传递函数，特征多项式与特征方程闭环传递函数，特征多项式与特征方程22.1 2.1 引言引言数学模型的定义数学模型的定义: : 描述系统输入、输出变量以及内部各变量描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式之间关系的数学表达式建模方法：机理分析法、实

2、验法（系统辨识）建模方法：机理分析法、实验法（系统辨识）类型：动态模型、静态模型类型：动态模型、静态模型动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等动态模型：微分方程、差分方程、状态方程等系统系统u(t)y(t)白箱法白箱法黑箱法黑箱法灰箱法灰箱法+3为何要建立数学模型？为何要建立数学模型？例例1：椅子问题：椅子问题椅子在不平的椅子在不平的地面上是否一地面上是否一定可以放稳？定可以放稳？2个简单的静态模型例子：个简单的静态模型例子：4 设地面光滑，椅子腿为设地面光滑，椅子腿为A A、B B、C C、D D，腿长相等，腿长相等; ;椅子转动的角度椅子转动的角度为为,并定义并定义f(f() )：腿：腿

3、A A、C C与地面距离之和与地面距离之和 g(g() )：腿：腿B B、D D与地面距离之和与地面距离之和ADCBADCB起码三腿着地，起码三腿着地，必有必有 f(f()=0 )=0 或或 g(g()=0 )=0 令令 h()= f()-g(h()= f()-g() )椅子转动的数学模型，椅子转动的数学模型，输入输入，输出，输出h h，问题：是否有问题：是否有h(h()=0 )=0 ？设设 f(0)=0f(0)=0，g(0)0g(0)0，则当则当=0 =0 时，时， h(0)h(0)0;0; ; 0)(h,0)2(g,0)2(f BD AC 交换位置，交换位置，与与时，时，当当2 。使使，必

4、有点必有点0)h(2011 5即使地面不平，只要地面的曲面是连续变即使地面不平，只要地面的曲面是连续变化的，则一定能通过转动椅子将其放稳。化的，则一定能通过转动椅子将其放稳。6例例2 ：帆船推力问题：帆船推力问题航向和风向已知，航向和风向已知，如何调整风帆角如何调整风帆角度以获得最大推度以获得最大推力？力？7作用在帆上的力为作用在帆上的力为帆船的数学模型，帆船的数学模型，输入输入，输出，输出F F2 2，问题：问题：=？时？时F F2 2最大最大帆与船的夹角帆与船的夹角= =风向与风向与船的夹角的一半时推力最大船的夹角的一半时推力最大 , 可调可调已知，已知， )sin(FF1 作用在船上的推

5、力为作用在船上的推力为 sin)sin(FsinFF12 0)2sin(cos)2cos(sinFsin)cos(cos)sin(FddF2 )2(tgtg 即即 2 对对F F2 2求导可得求导可得风力FF1F2帆帆思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？思考：风向与航程一定时，如何以最短时间走完全程？8为何要建立控制系统的数学模型？为何要建立控制系统的数学模型？控制装置控制装置受控对象受控对象检测环节检测环节给定信号给定信号扰动扰动反馈信号反馈信号控制量控制量误差误差被控量被控量根据受控对象的模型和性能要求，设计控制器或控根据受控对象的模型和性能要求，设计控制器或控制装置；制装置；

6、分析反馈控制系统的性能，进行仿真、实验、调整、分析反馈控制系统的性能，进行仿真、实验、调整、校正、综合等。校正、综合等。9动态模型例动态模型例: R-L-C: R-L-C串联网络的数学模型串联网络的数学模型问题：求输入问题：求输入u(t)u(t)与输出与输出u uc c(t(t) )之间的关系。之间的关系。)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCdt)t (duC)t ( i)t (udt)t (diL)t (Ri)t (uCC2C2CC 10nm)t (ubdt)t (dubdt)t (udb)t (yadt)t (dyadt)t (ydadt)t (yd01mmm011

7、n1n1nnn 线性连续时间单变量系统数学模型的一般形式线性连续时间单变量系统数学模型的一般形式: :系统系统u(t)y(t) , , 随时间变化。随时间变化。时变系统：时变系统：为常数为常数定常系统：定常系统：iiiibaba实际系统不可能出现实际系统不可能出现 m n m n 的情况，或者讲的情况，或者讲系统在物理上不可实现系统在物理上不可实现112.2 2.2 输入输出描述法输入输出描述法时时域域模模型型（微微分分方方程程模模型型）传传递递函函数数频频率率特特性性结结构构图图信信号号流流图图复复、频频域域模模型型输输入入输输出出模模型型数学模型的分类数学模型的分类:121 1. . 传递

8、函数的定义传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比与输入量的拉氏变换之比, , G(s)=Y(s)/U(s)。对于对于n n阶线性定常系统，阶线性定常系统，)t (ubdt)t (dubdt)t (udb)t (yadt)t (dyadt)t (ydadt)t (yd01mmm011n1n1nnn 设初始条件为零，经拉氏变换后设初始条件为零，经拉氏变换后注意注意系统系统u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)结构图结构图U(s)bsU(s)bU(s)sbY(s)asY(s)aY(s)saY(s)s01mm011

9、n1nn 13nn阶线性定常系统的输入输出传递函数为阶线性定常系统的输入输出传递函数为 n1iim1iin1iim1iign21m21m011n1nn011m1mmm)1s(T)1s(K)p(s)z(sK)p(s)p)(sp(s)z(s)z)(sz(sbasasasbsbsbsbU(s)Y(s)G(s) 根轨迹增益根轨迹增益系统增系统增益益z zi i、p pi i 分别为传递函数的分别为传递函数的零点和极点（零点和极点（z zi ippi i）零极点表零极点表达形式达形式时间常数时间常数表达形式表达形式14G(s)U(s)Y(s)s(U)t (u)s(Y)t (ysdtdnnn 传递函数传递

10、函数G(s) 的拉氏反变换是系统的单位脉冲的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应；响应；2. 2. 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明 是复变量是复变量s s的真有理分式；的真有理分式； 只取决于系统或元件的结构和参数，只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量无关；与输入量无关； 与微分方程可相互转换；与微分方程可相互转换； 只适用于线性定常系统只适用于线性定常系统 反映系统零初始状态下的响应；反映系统零初始状态下的响应； 无零极点相消时传递函数是系统的一种完全描述。无零极点相消时传递函数是系统的一种完全描述。15例例: R-L-C: R-L-C串联网络的传递函数串联网络的传递函数输入输入

11、u(t)u(t)，输出，输出u uc c(t(t) )，求传递函数，求传递函数? ?)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCCC2C2 由输入输出微分方程由输入输出微分方程)s(U)s(U)s(RCsU)s(ULCsCCC2 可可得得1RCsLCs1)s(U)s(U)s(G2C 传传递递函函数数为为G(s)U(s)UC(s)163. 3. 系统的相似性及非线性系统的线性化系统的相似性及非线性系统的线性化例例1：RC电路电路1TsK1RCs1(s)U(s)Uio uoui R Cdt)t (duCi)t (uRi)t (u0oi )t (u)t (udt)t (duRCio0

12、 输入输出传递函数为输入输出传递函数为G(s)Ui(s)Uo(s)17例例2：小车速度与推力的关系：小车速度与推力的关系设小车速度为设小车速度为v(tv(t) )，推力为，推力为F F，zvkvkf221风风阻阻摩摩擦擦阻阻力力为为 dtdvmvkvkF221 则有则有20201000vkvkFF,zz,vv 设稳态工作点为设稳态工作点为属于非线性方程，忽略风阻属于非线性方程，忽略风阻则为线性方程则为线性方程非线性方程的线性化：非线性方程的线性化：zv0v0zvvk2vkvvk2zzvz02202020z 为为的的关关系系可可近近似似地地线线性性化化与与则则zzz,vvv,FFF000 围绕工

13、作点有围绕工作点有mFfv0vvdvdz 181021021021)vk2k(K,vk2kmT1TsKvk2kms1F(s)V(s) 其中其中 输入输出传递函数为输入输出传递函数为dt)vv(dm)vvk2vk()vv(k)FF(vkvkF002202010221 系为系为所以线性化后的近似关所以线性化后的近似关Fv)vk2k(dtvdm021 即即G(s)s(F )s(V mFfv19例例3 3：水箱系统：水箱系统HiQoQ,QQtdHdAoi HkQo iQHktdHdA oo0ii0oiqQQ,hHH,qQQ,HH,QQQ 则有则有设平衡点为设平衡点为设水箱横截面积为设水箱横截面积为A

14、A，则有，则有属于非线性方程属于非线性方程非线性方程的线性化：非线性方程的线性化：oQH0HQhH2kqhq0oo 为为的的关关系系可可近近似似地地线线性性化化与与0oHHdHdQ 20i0qhH2ktdhdA HiQoQoQH0HQkH2K,kHA2TKqhtdhdT00i 其中其中或或输入输出传递函数为输入输出传递函数为1TsK)s(Q)s(HG(s)i G(s)Qi(s)H(s)21结论结论同一形式的数学描述可以代表不同的实际系统，同一形式的数学描述可以代表不同的实际系统，这些系统具有相同的输入输出特性；这些系统具有相同的输入输出特性；对于不同的实际系统，只要其数学描述相同，则对于不同的

15、实际系统，只要其数学描述相同，则分析和设计的思路、方法及过程也基本一致。分析和设计的思路、方法及过程也基本一致。注：上述例子采用的是机理建模方法，但很多实际注：上述例子采用的是机理建模方法，但很多实际系统是无法进行机理建模的，而必须借助于系统是无法进行机理建模的，而必须借助于“系统系统辨识辨识”，即通过采集输入输出的实验或运行数据，即通过采集输入输出的实验或运行数据，用一个最接近这些数据的数学方程来代表系统的模用一个最接近这些数据的数学方程来代表系统的模型，系统辨识可以离线或在线进行。型，系统辨识可以离线或在线进行。222121n1in1i1i22iim1im1i1i22ii011n1nn01

16、1m1mmmn2nn,m2mm)1sbs()1s(s)1sds(d)1s(cKasasasbsbsbsbG(s)1212 2.2.3 2.2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数j0s复平面上复平面上零极点的分布零极点的分布典型环节的零极点主要分布在虚轴及其以左典型环节的零极点主要分布在虚轴及其以左的复平面上的复平面上23动态方程：动态方程：y(t) = Ku(t)传递函数：传递函数：G(s) = K1、比例（放大）环节、比例（放大）环节比例系数比例系数Ku(t)y(t)KU(s)Y(s)G(s)01ioRR(s)U(s)U 比比例例调调节节器器uouiR1+R0RbF1F2杠杆系统杠杆系

17、统例：例：其他如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。其他如齿轮系统、电位器、纯电阻电路等。24比例（比例（P）控制作用）控制作用误差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制误差幅度越大，控制量越大，是最基本的控制方式；方式；即时是恒值控制系统，调节过程结束、系统达即时是恒值控制系统，调节过程结束、系统达到稳态后仍有误差（稳态误差到稳态后仍有误差（稳态误差0）。比例控制比例控制受控对象受控对象检测环节检测环节给定信号给定信号扰动扰动反馈信号反馈信号控制量控制量误差误差被控量被控量252、惯性环节、惯性环节)t (Ku)t (ydt)t (dyT 1TsKG(s) 惯性环节惯性环节u(t)y(t)G(s)

18、U(s)Y(s)很多实际系统都可近似看很多实际系统都可近似看作惯性环节，如作惯性环节，如 RC电路、电路、炉温系统、水箱系统、汽炉温系统、水箱系统、汽车的加减速过程等。车的加减速过程等。K=1时的单位阶跃响应曲线时的单位阶跃响应曲线T1T2T=2T1 =T20.6321.0t0 y(t)斜率斜率1/T T=T1特点：特点：T越大，响应速度越慢。越大，响应速度越慢。263、积分环节、积分环节积分环节积分环节u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)例：例：特点：只要输入不为零，特点：只要输入不为零，输出就会变化，输入为零输出就会变化，输入为零后，输出不再变化；常用后，输出不再变化；常用来消除跟踪误

19、差。来消除跟踪误差。 t0iidt)t (uK)t (y，)t (uKtd)t (yd 或或sKG(s)i sKQ(s)H(s)i 水箱系统水箱系统 h q t0iq(t)dtKh(t) uouiC+R0RbCsR1(s)U(s)U0io 积积分分调调节节器器27比例比例+积分（积分（PI） 控制作用控制作用比例控制的作用同前，是最基本的控制方式；比例控制的作用同前，是最基本的控制方式；对于恒值控制系统，积分控制可使误差最终为对于恒值控制系统，积分控制可使误差最终为零，即稳态误差零，即稳态误差=0。积分控制积分控制受控对象受控对象检测环节检测环节给定信号给定信号扰动扰动反馈信号反馈信号控控制制

20、量量误差误差被控量被控量比例控制比例控制284、微分环节、微分环节理想微分理想微分sK)s(U)s(Ydt)t (duK)t (ydd 一阶微分一阶微分二阶微分环节二阶微分环节012201222KsKsK)s(U)s(Y)t (uKdt)t (duKdt)t (udK)t (y 0101KsK)s(U)s(Yu(t)Kdtdu(t)Ky(t) uouiR+CRbRCs(s)U(s)Uio 特点：反映输入的变化率，有超特点：反映输入的变化率，有超前作用，常用来改善动态性能前作用，常用来改善动态性能注：微分对信号的高频噪声很敏注：微分对信号的高频噪声很敏感，实际使用时通常加惯性环节感，实际使用时通

21、常加惯性环节 , 1Ts1sT1TssTdd 如如29比例比例+积分积分+微分（微分（PID） 控制作用控制作用Proportional-Integrel-Derivative Control 比例控制提供最基本的控制作用；比例控制提供最基本的控制作用；积分控制用来消除稳态误差积分控制用来消除稳态误差；微分控制反应误差变化率，具有微分控制反应误差变化率，具有“超前超前”或或“预预测测”作用，可抑制被控量的变化。作用，可抑制被控量的变化。积分控制积分控制受控对象受控对象检测环节检测环节给定信号给定信号扰动扰动反馈信号反馈信号控控制制量量误差误差被控量被控量比例控制比例控制微分控制微分控制30)t

22、 (Ku)t (ydt)t (dyT2dt)t (ydT222 1Ts2sTK)s(U)s(Y22 5、振荡环节、振荡环节称为阻尼比，称为阻尼比，1 时传递函数有一时传递函数有一对共轭复数极点，响对共轭复数极点，响应为衰减振荡型。应为衰减振荡型。 ：决定振荡幅度：决定振荡幅度 T：决定响应快慢：决定响应快慢uiuoRLCRLCRLC串联电路串联电路单位阶跃响应单位阶跃响应0 tK例：例：1RCsLCs1(s)U(s)UCs1LsR)s(UCs1)s(U2ioio （复阻抗法）（复阻抗法）LCR5 . 0,LCT 对应对应继续继续仿真图仿真图31MATLAB 仿真结构图仿真结构图）固定为固定为（

23、）或改变）或改变固定为固定为（，改变，改变6011.TTK 32振荡环节的单位阶跃响应（振荡环节的单位阶跃响应（K=1, T=1）ytime=0.1=0.4=0.6=133振荡环节的单位阶跃响应（振荡环节的单位阶跃响应（K=1,=0.6）ytimeT=0.5T=1T=2返回返回346 6、纯滞后环节、纯滞后环节滞后时间滞后时间: ),t (u)t (y se)s(U)s(Y u(t) y(t)t滞后环节滞后环节u(t)y(t)例：例：温控温控开关开关期望期望温度温度测温测温元件元件冷冷水水热水热水电加热器电加热器水箱水箱水温控制系统电水温控制系统电功率与温度检测功率与温度检测此外如计算机控制、

24、测控卫星、网络控制、过程控制等。此外如计算机控制、测控卫星、网络控制、过程控制等。滞后时间滞后时间越大，越大，控制难度越大控制难度越大轧辊轧辊 厚度检测厚度检测钢板轧制过程钢板轧制过程燃气热水器进气与水温燃气热水器进气与水温冷水冷水热水热水进气进气35练习：练习：B2.9B2.9（2 2），（），（3 3）；）；B2.12B2.12；B2.14 (c)B2.14 (c)36实验实验1：典型环节的电模拟（：典型环节的电模拟（3学时）学时）联系：李亚力老师联系：李亚力老师 电气信息学院专业实验楼电气信息学院专业实验楼403 854662888216， 1333096180237例：例：RCRC电路

25、的结构图电路的结构图Cs1Uo(s)相加点相加点或综合点或综合点引出点引出点2.3.1 2.3.1 结构图（方块图）及其等效变换结构图（方块图）及其等效变换Cs1)s(I)s(UR)s(U)s(U)s(Iooi uiuoCiRR1Ui(s)I(s)Uo(s)38i1R1U1R2C1C2uouii2例：两级例：两级RCRC网络的结构图网络的结构图 )s(U)s(UR1)s(I1i11 1. )s(I)s(IsC1)s(U2111 2. )s(U)s(UR1)s(Io122 3.)s(IsC1)s(U22o 4. Uo-Ui2 2R R1 11 1R R1 1sC12s1 1C C1 1U1I1I

26、2注意：注意：两级两级RC2RC2个单级个单级RCRC的串联，的串联，有有“负载效应负载效应”39串联连接串联连接并联连接并联连接结构图的等效变换结构图的等效变换G1(s)+G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)RUYYRRGGUGY122 证明：证明：40反馈连接（重要，很常用）反馈连接（重要，很常用）前向通道传递函数前向通道传递函数开环传递函数开环传递函数G (s)H (s) REYGHGY)HYR(GYGEY,HYRE1 证明：证明：)s(H)s(G)s(G1RY41综合点前移后移综合点前移后移引出点后移前移引出点后移前移相邻引出点的移动相邻引出点的移动交

27、换或合并相加点交换或合并相加点相邻引出点之间相邻引出点之间或综合点之间可或综合点之间可任意交换或合并任意交换或合并42注意注意例：化简下面结构图例：化简下面结构图引出点和综合点引出点和综合点之间不能交换之间不能交换!G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A43A A点后移点后移G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A1/G4G1G2G3G4Y(s)G6-G5G7-R(s)-A44Y(s)G1G2G3G41+G3G4G5G6/G4-G7-R(s)Y(s)G1G2G3G41+G3G4G51+G6G3G4G2G4(1+G3G4G5)-G7Y(s)R(s)反馈公式反馈公式反馈公

28、式反馈公式反馈公式反馈公式Y(s)G1G2G3G4G6/G4-G5-G7-R(s)45课堂练习：通过结构图化简求两级课堂练习：通过结构图化简求两级RCRC网络的输入网络的输入输出传递函数，并与单级输出传递函数，并与单级RCRC网络进行比较。网络进行比较。7 74 43 32 21 16 63 32 25 54 43 34 43 32 21 1G GG GG GG GG GG GG GG GG GG GG G1 1G GG GG GG GR R( (s s) )Y Y( (s s) )1R1sC112R1sC12iUoU46解：解：1R1sC112R1sC12iUoU1R1sC112R1sC12

29、iUoUsCR211sCR111 iUoUsCR211sCR122 471s )CRCRCR(sCRCR121221122211 iUoU比较：单级比较：单级RCRC网络的传递函数为网络的传递函数为1RCs1)s(U)s(Uio R1Cs1iUoU1sCR11sCR1RC2211 网络串联网络串联两级两级练习：练习：B2.15 B2.15 (a), (c)482.3.4 2.3.4 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数R(s)：参考输入：参考输入Y(s)：输出信号：输出信号B(s)：反馈信号：反馈信号E(s)：跟踪误差：跟踪误差G(s)=G1(s)G2(s)：前向通道传递函数：前向通道

30、传递函数闭环传递函数闭环传递函数: Y(s)/R(s), Y(s)/D(s)， E(s)/R(s) 等等H(s)：反馈支路的传递函数：反馈支路的传递函数G(s)H(s)：开环传递函数：开环传递函数G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-E(s)B(s)术语介绍：术语介绍：D(s)：扰动输入：扰动输入49输入信号作用下的闭环传递函数：输入信号作用下的闭环传递函数：)s(H)s(G)s(G1)s(G)s(G)s(R)s(Y)s(2121r 2.3.4 2.3.4 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数运用反馈公式运用反馈公式分母为分母为 1+开环传递函数开环传递函数G1(s)G2(s)H(s)D(s)Y(s)R(s)-50扰动作用下的闭环传递函数：扰动作用下的闭环传递函数：(s)H(s)(s)GG1(s)GD(s)Y(s)(s)212d R(s)(s)D(s)(s)Y(s)rd 为为出出系系统统时时，系系统统输输与与参参考考输输入入同同时时作作用用于于当当扰扰动动G1(s)G 2(s)H(s)D(