届北京东城区高三数学模拟试卷及答案

1、届北京东城区高三数学模拟试卷及答案2018届北京东城区高三数学模拟试卷题目一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D.2.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则复数 的虚部为 ( )A.1 B. C. D.3. 指数函数 且 在 上是减函数，则函数 在R上的 单调性为 ( )A.单调递增 B.单调递减C.在 上递增，在 上递减 D .在 上递减，在 上递增4.已知命题p: ;命题q： ， 则下列命题中的真命题是 ( )A. B. C. D.5.在下列区间中，函数 的零点所在的区间为( )A.

2、( ，0) B.(0， ) C.( ， ) D.( ， )6.设 ，则 ( )A. B. C. D.7.已知函数 的图像关于 对称，则函数 的图像的一条对称轴是( )A. B. C. D.8. 函数 的部分图象大致为 ( )9.函数 的单调增区间与值域相同，则实数 的取值为 ( )A. B. C. D.10.在整数集 中，被7除所得余数为 的所有整数组成的一个“类”，记作 ，即，其中 .给出如下五个结论： ; ; ; ;“整数 属于同一“类”的充要条件是“ ”。其中，正确结论的个数是 ( )A.5 B.4 C.3 D.211.已知 是定义在 上的偶函数，对于 ,都有 ,当 时， ，若 在-1,

3、5上有五个根，则此五个根的和是 ( )A.7 B.8 C.10 D.1212.奇函数 定义域是 ， ，当 0时，总有2 成立，则不等式 0的解集为A. B.C. D.第卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.函数 在点 处切线的斜率为 .14.由抛物线 ，直线 =0， =2及 轴围成的图形面积为 .15. 点 是边 上的一点， 则 的长为_.16.已知函数 则关于 的不等式 的解集为 .三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)设 、 ， ， 。若对于一切实数 ， ”是

4、“对于一切实数 ， ”的充分条件，求实数 的取值范围。18.(本小题满分12分)函数 过点 ，且当 时，函数 取得最大值1.(1) 将函数 的图 象向右平移 个单位得到函数 ，求函数 的表达式;(2) 在(1)的条件下，函数 ，如果对于 ，都有 ，求 的最小值.19.(本小题满分12分)已知三棱柱ABCA1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，(1)若E为棱CC1的中点，求证：DEA1C;(2)若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为，求满足 时,求CE的长.20. (本小题满分12分)在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种

5、趋势，假设育才网校的套题每日的销售 量 (单位：千套)与销售价格 (单位：元/套)满足的关系式 ( )，其中 与 成反比， 与 的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.(1) 求 的表达式;(2) 假设该网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出 的套数)，试确定销售价格 的值，使育才网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)21. (本小题满分12分)已知直线 与椭圆 相交于 、 两点.(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 ，求椭圆的方程;(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 为坐标原点)，当椭圆

6、的离心率 时，求椭圆长轴长的最大值.22. (本小题满分12分)已知函数 R .(1)当 时，求函数 的最小值;(2)若 时, ,求实数 的取值范围;(3)求证：2018届北京东城区高三数学模拟试卷答案选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 ( D )A. B. C. D.3.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则复数 的虚部为 (A )A.1 B. C. D.3. 指数函数 且 在 上是减函数，则函数 在R上的 单调性为 ( B)A.单调递增 B.单调递减C.在 上递增，在 上递减 D .在 上递减，在 上递增4.已

7、知命题p: ;命题q： ， 则下列命题中的真命题是 ( D )A. B. C. D.5.在下列区间中，函数 的零点所在的区间为(C )A.( ，0) B.(0， ) C.( ， ) D.( ， )6.设 ，则 (D )A. B. C. D.7.已知函数 的图像关于 对称，则函数 的图像的一条对称轴是( D )A. B. C. D.8. 函 数 的部分图象大致为 ( D )9.函数 的单调增区间与值域相同，则实数 的取值为 ( B )A. B. C. D.10.在整数集 中，被7除所得余数为 的所有整数组成的一个“类”，记作 ，即，其中 .给出如下五个结论： ; ; ; ;“整数 属于同一“类”

8、的充要条件是“ ”。其中，正确结论的个数是 ( B )A.5 B.4 C.3 D.211.已知 是定义在 上的偶函数，对于 ,都有 ,当 时， ，若 在-1,5上有五个根，则此五个根的和是 ( C )A.7 B.8 C.10 D.1212.奇函数 定义域是 ， ，当 0时，总有 2 成立，则不等式 0的解集为 AA. B.C. D.第卷 (非选择题 共90分)填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.函数 在点 处切线的斜率为 .14.由抛物线 ，直线 =0， =2及 轴围成的图形面积为 2 .15. 点 是边 上的一点， 则 的长为_7_.16.已知函数 则关

9、于 的不等式 的解集为 .解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)设 、 ， ， 。若对于对一切实数 ， ”是“对于一切实数 ， ”的充分条件，求实数 的取值范围。解：如果对于一切实数 ， ，那么 2分解得 即 的取值范围为 3分如果对于一切实数 ， ，那么有 。5分得 ，即 的取值范围为 。 6分因为对于对一切实数 ， 是“对于一切实数 ， ”的充分条件，所以 且 ， 8分则有 。即 的取值范围是 。 10分19.(本小题满分12分)函数 过点 ，且当 时，函数 取得最大值1.(3) 将函数 的图 象向右平移 个单位得到函数 ，求函

10、数 的表达式;(4) 在(1)的条件下，函数 ，如果对于 ，都有 ，求 的最小值.解(I)由题意 1分将点 代 入解得 ， 2分且因为 所以 ，4分).5分 7分(II) ，9分周期 10分 所 以 的最小值为 12分20.(本小题满分12分)已知三棱柱ABCA1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点.(1)若E为棱CC1的中点，求证：DEA1C;(3)若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为，求满足 时CE的长.解：(1)以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，2分AB=BC=AA1=4，D

11、为BC的中点，E为棱CC1的中点，D(2，0，0)，E(4，0，2)，A1(0，4，4)，C(4，0，0)，=(2，0，2)， =(4，-4，-4)，=0+88=0，DEA1C. 5分(2)设E(4，0，t)，0t4， =(0，0，t)，A(0，4，0)，=(2，-4，0)， =(4，-4，t)，设平面ADE的法向量 =(x，y，z)，则,，取x=2，得 =(2，1， )， 8分设CE与平面ADE所成角为，满足sin= ， = = ，解得t=3或t=3(舍)，CE=3 12分23. (本小题满分12分)在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种趋势，假设北京育才网校的套题每日的销售量 (单

12、位：千套)与销售价格 (单位：元/套)满足的关系式 ( )，其中 与 成反比， 与 的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格 为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.(1) 求 的表达式;(2) 假设此网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)解： (1) 因为 与 成反比， 与 的平方成正比，所以可设： ， ，则 则 2分因 为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套 ，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套所以， ，即 ，解得： ， 4分所以

13、， 5分(2) 由(1)可知，套题每日的销售量 ，设每日销售套题所获得的利润 为则8分从而时， ，所以函数 在 上单调递增时， ，所以函数 在 上单调递减10分所以 时，函数 取得最大值答：当销售价格为 元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大 .12分24. (本小题满分12分)已知直线 与椭圆 相交于 、 两点.(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 ，求椭圆的方程;(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 为坐标原点)，当椭圆的离心率 时，求椭圆长轴长的最大值.解：(1) ，即 ，又 ， ，则 ，椭圆的方程为 4分(2)设 ， ，即 5分由 ，消去 得：由 ，整理得： (*)又 ，由 ，得：，整理得： 9分代入上式得： ， 10分，条件适合由此得： ，故长轴长的最大值为 . 12分22.(本小题满分12分)已知函数 R .(1)当 时，求函数 的最小值;(2)若 时, ,求实数 的取值范围;(3)求证： .解:(1)当 时， ,则 . 1分令 ，得 .当 时, ; 当 时, . 2分函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.当 时,函数 取得最小值,其值为 .