1.2极值与最值(2)ppt课件

1、 第八章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值(极小值极小值). 极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf ),(),(00yxfyxf 或),(),(00yxyxfz在在点点 的某邻域内有的某邻域内有xyz例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,

2、0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.2243yxz22yxzyxz xyzxyz定理定理1 (必要条件必要条件)证证:0),(,0),(0000 yxfyxfyx且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有函数函数),(),(00yxyxfz在在点点 存在偏导数存在偏导数, ),(yx),(00yx从几何上看：定理的第一条件说明曲面从几何上看：定理的第一条件说明曲面),(),(000zyxyxfz在在 处有切平面处有切平面)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 由结论由结论说明，在极值点处曲面的切平面平行于说明，在极值点处曲面的切平面平行于xoy平

3、面。平面。 0),(00 yxfx; 0),(00 yxfy. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点均称为函数的驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令若函数若函数的的在点在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000 yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 时时, 具有极值具有极值

4、那么那么: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.02 BAC02 BAC02 BAC（证略）（证略）例例1.1.求函数求函数解解: : 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , 3, 0) , ( (3, 2) .3, 2) .解方程组解方程组 ),(yxfx09632 xx ),(yxfy0632 yy的极值的极值. .xyxyxyxf933),(2233 第二步第二步 判别判别.在点在点(1

5、,0) (1,0) 处处为极小值为极小值; ;ABC求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC5)0,1( f,0 A在点在点( (3,0) 3,0) 处处不是极值不是极值; ;,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 A,0 B,6 C,06122 BAC)0,3( f在点在点(1,2) (1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12 CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC在点在点( (3,2) 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),

6、( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy6,0,12 CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0 AABC例例2. 讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,33yxz 222)(yxz 在点在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 02 BAC, 因而 z(0,0) 不是极值.因而因而,022时时当当 yx222)(yxz 0)0 ,0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz 在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222 yxz,

7、 0),( yxfx0),( yxfy二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点根据根据求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值为最小值. .特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, )(Pf为

8、极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )例例3.3.解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx 2 Ayxyxy2 yxx2 yxyx222 00yx3m令令得驻点得驻点根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,0)(222 xxyA0)(222 yyxA因此可断

9、定此唯一因此可断定此唯一驻点就是最小值点驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.)2,2(33323222233 例例4. 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板 ,把它折起来做成一个断面为把它折起来做成一个断面为解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积为则断面面积为x24等腰梯形的水槽等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 , A cos2224xx x224 (21 sin) x sincossin2sin2422xxx x224 x)0,120:(2 xD问怎样折法才能使断面面积最大？问怎样折法才能使断面

10、面积最大？ cos24x cos22x 0)sin(cos222 x令令 xA sin24 sin4x 0cossin2 x A,0sin 0 x sincossin2sin2422xxxA )0,120:(2 xD0cos212 xx0)sin(coscos2cos2422 xx解得解得: :由题意知由题意知, ,最大值在定义域最大值在定义域D D 内达到内达到, , 而在域而在域D D 内只有内只有一个驻点一个驻点, , 故此点即为所求故此点即为所求. .(cm)8,603 x 三、条件极值三、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :对自变量只有定义域限制对

11、自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题例如例如 ,转化转化,0),(下下在在条条件件 yx 的极值的极值求函数求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中中解解出出从从条条件件)(,(xxfz 条件极值的求法条件极值的求法: ,0),(下下在在条条件件 yx 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 .),(的的

12、极极值值求求函函数数yxfz 0),( yx , )(xy )(,(xxfz 例如例如,故故 0dddd xyffxzyx记记,ddyxxy 因因0 yxyxff yyxxff 故有故有 极值点必满足极值点必满足0 xxf 0 yyf 0),( yx 引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.利用拉格朗日函数利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法求极值的方法称为拉格朗日乘数法. .),(),(yxyxfF 上式的前两式恰为上式的前两式恰为 辅助函数辅助函数F F 的两个偏导数。的两个偏导数。推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自

13、变量和多个约束拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形条件的情形. 设设例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),( zyx 0),( zyx ),(),(),(21zyxzyxzyxfF 解方程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 021 xxxxfF 021 yyyyfF 021 zzzzfF 01 F01 F),(),(),(21zyxzyxzyxfF 例例5.解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,最小最小.要设计一个容量为要设计一个容量为0V水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水

14、箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 下水箱表面积下水箱表面积使在条件使在条件0Vzyx yxzyzxS )(2则问题为求则问题为求,zyx令令解方程组解方程组 xF02 zyyz yF02 zxxz zF0)(2 yxyx F00 Vzyx)()(20VzyxyxzyzxF xyz得唯一驻点得唯一驻点,2230Vzyx 3024V 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因而因而 , 当高为当高为,340Vxyz考虑考虑:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、

15、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,30Vzyx 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF 2长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .解解xyo6 yxDD如图如图, , 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx, 2|64 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yxD内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步第一

16、步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 ., ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数如对二元函数2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数设拉格朗日函数如求二元函数如求二元函数下的极值下的极值,解方程组解方程组在条件在条件求驻点求驻点 . ),(yxfz 0),( yx ),(),(yxyxfF 0 xxxfF 0 yyyfF 0 F第二步第

17、二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题已知平面上两定点已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习)0, 0(14922 yxyx 21 031013 yxkji)103, 0,0(21

18、yx那么那么 ACABS 21 10321 yx设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组)491()103(222yxyxF 092)103(2 xyx 042)103(6 yyx 049122 yxDEAB得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合时重合时, 三角形三角形面积最大面积最大.646. 1 S,54,53 yx,5 . 3,2 EDSS思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题xoy0, 0 yx0162 yx二、在平面二、在平面上求一点上求一点, ,使它到使它到及及三直线的距离平方之和为最小三直线的距离平方之和为最小2244xy2360 xy22448zxyxy 22425xya五、求内接于半径为五、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体的球且有最大体积的长方体.一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ),