[理学]2011张量ppt课件

1、张量分析张量分析 Tensor第 2 课vzyx能源与动力工程学院2指标一致性法则指标一致性法则 表达式中各项（指标项）的自由标个数(为表达式展开的个数)、指标符号必须一致，各项指标的符号可同时替换。各项中哑标必须成对出现（不能有两个以上相同的哑标符号），符号可任换，各项的展开项数由哑标数决定。在指标符号不变的情况下指标式的代数运算规则与常规代数式运算规则 相同(这是由代数运算的交换律、结合律、分配律等代数运算规则所保证的。).3i i332211aaaa,iii333222111aaaa伴随标伴随标随其余指标随其余指标变化，但不参加求变化，但不参加求和运算和运算指标一致性法则指标一致性法则k

2、iijjkxxxxjjikix xx xkiijjikixxxxkijjikix xx xijkijkixxx x问题问题2 2？4例例1 1已知，自然基下已知，自然基下,j123jai另有任意标准正另有任意标准正交基交基eieieiei11112131k k22122232k kjjk k33132333k keeeeeeeeeeeeeaaeiiijj有有试证试证aiijijea e1.2 点积与欧氏空间e1e2e3x3x2x1i1i3i25证：证： 又又eiiijmjk kmjkjmeeekmeijjk keeijkjkeaaamiimjjmijm jmjm jeea eeeieimaae

3、iiijjaiijijea eaa e ea e ea e ea e eii1122331.2 点积与欧氏空间6aiijjeaaa111112213311121312211222233212223233113223333132332eeeeeeeeeeeeeeeeee a e1.2 点积与欧氏空间7第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 1.1 向量与向量空向量与向量空间间1.2 1.2 点积与欧氏空间点积与欧氏空间1.3 1.3 叉积与轴向量叉积与轴向量1.4 1.4 混合积与坐标系转向混合积与坐标系转向1.5 1.5 并积与向量诱导空间并积与向量诱导空间1.6 1.6 坐标系与坐标变换坐

4、标系与坐标变换1.3 叉积与轴向量8叉积与轴向量叉积与轴向量roPflmnsin( ,)rfr fr fnl m 标准正交基（右手系）标准正交基（右手系） 轴向量：方向与向量组转向有关（力矩、角转速,等） 极向量：方向直接由物理意义确定（力、速度等）由向量代数知，叉积有如下运算法则成立由向量代数知，叉积有如下运算法则成立(下一页下一页)1.3 叉积与轴向量9 babaabbacbcacbajjiibagg ba 332211332211bbbaaaggggggjijibagg 由此 任意基向量任意基向量 为标准正交基时为标准正交基时( )可引入可引入 置换符号置换符号 简化简化 igbakjk

5、jbaee 适用右手系适用右手系 ieikjijkbae321321321ikjkj,i,ijkbbbaaaba1-eeee iijkkjeee适用直适用直角系角系1.3 叉积与轴向量10置换符号置换符号ijke1e2e3ijk 的偶排列 123 ,231, 312 正循环排列ijk 的奇排列 132 ,321, 213 逆循环排列ijk 的重复排列011ijk不重复排列逆序数不重复排列逆序数等价于等价于kj,i,1对于右手系对于右手系 iijkkjeee133232223112332eeeeee133322232113223eeeeee033222222112222eeeee1.4 混合积与

6、坐标系转向11混合积与坐标系转向混合积与坐标系转向bcaba321321321cccbbbaaacbacba,kkjjiicbaeeekjikjicbaeeekmmijkjicbaeemkmijkjicbakjiijkcbacba,iijkkjeee右手系右手系利用置换特性得利用置换特性得混合积可用来表示行列混合积可用来表示行列式以及式以及判断坐标系转向判断坐标系转向1.4 混合积与坐标系转向12坐标系转向坐标系转向e1e2e3e2e1e3 右手系右手系 左左手系手系,gggGV12300VG1g2g3g21gg ,VeeeE12311 右手系右手系 左左手系手系1.4 混合积与坐标系转向13

7、直角坐标系（左右手）直角坐标系（左右手）e1e2e3e2e1e3iabeEj kVa bijk, ,a b cEijkVab cijk,eeeeee i1i2i31m1n1ijkmnj1j2j3m2n2k1k2k3m3n3eeeeeeeeeeeeeeeeeeijklmn1.4 混合积与坐标系转向14 与与 的关系的关系ijkijiijkkjeee由 右手系右手系设由矩阵乘法的行列式性质由矩阵乘法的行列式性质,i1i2i3eeeeieeeeejkmijkimijkimmjkjkm,eeeijkijke ee ee eeeeeeeeeeeeeirrir mrir nriiminjrrjr mrjr

8、 nrjjmjnkrrkr mrkr nrkkmkne ee ee ee ee ee ee ee ee e iimikijklmkjjmjkkkijmimjkkmkkjkikmimkikkmjkjmijmimjijmimjijmimj1.4 混合积与坐标系转向153按第三列展开按第三列展开 iiminijkmnjjmjnkkmkn ijklmkijmimj16例例2 2证明证： ab ca c ba b cab c jmmmjmijmjjiiab ca b ca b ca c ba b cijkkijkkijmimj ab cea cea beiiiiiibc ab ca c ba b c问题

9、问题4 4？17例例3 3j3jj2jj1jBABABA3k32k21k1BABABA333232131323222121313212111BABABABABABA BABABA jkjBA展开jkjBA18练习一练习一j ji ii ii ij ji ijjuuuftxxijijS SijijklklC 1.1 将指标式展开为分量式1.2 将分量式写为指标式321321333231232221131211bbbxxxaaaaaaaaa19dzzudyyudxxududzzudyyudxxududzzudyyudxxuduzzzzyyyyxxxx201.3 利用 特性简化下式jA Bijik jkB C Ailjkiij ijij ijikjk ijkkij21cabacba1.5利用点积基本特性（见公理化定义）证明： baba baba 1.4利用指标法证明 a bc da cb da db c221.6利用向量基本特性（见公理化定义）及叉积基本运算特性:kjkjbagg bacabacba证明： babaabbacbcacbababa baba 1.1 向量与向量空间23问题问题1e1e2e3x3x2i1i3i2若基向量为非自然基若基向量为非自然基，向量能否写为，向量能否写为? ?,aeee1 12233123aaaaaax12 2 判