高二数学利用向量解决空间角问题

1、3.2利用向量解决 空间角问题 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。量的办法解决空间角问题。异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D, 与 的关系？CD AB思考

2、：思考：, 与 的关系？DC AB结论：结论：coscos, CD AB|题型一：线线角题型一：线线角例一：090 ,中，现将沿着Rt ABCBCAABC111平面的法向量平移到位置，已知ABCABC1，BCCACC111111取、的中点、 ，ABACDF11求与所成的角的余弦值.BDAFA1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2 A

3、F111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010题型一：线线角题型一：线线角练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA1112,为上的一点,且MBCBM1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4), AM1(0,8, 4), AD10 AM AD1.ADAM（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M题型二：线面角题型二：线面角直线与平

4、面所成角的范围： 0,2ABO, 与 的关系？n BA思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB|题型二：线面角题型二：线面角例二：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA112,为上的一点,且MBCB M1点 在线段上，NAD1.ADAN1.(1)求证：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD1(0,8, 4), AD（2）求与平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos, AD AD2 55与平面所成角的正弦值是ADANM2 55练习： 1111ABCDABC

5、 D的棱长为1.111.B CAB C求与面所成的角题型二：线面角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0, 1n2 n2 n1ncos12|cos,| n ncos12|cos,| n nABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围题型三：二面角题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， A B C D 是一直角梯形，A B C = 90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0, 1)22 CDSDC ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1) n任取1212126cos,3| n nn nnn63即所求二面角得余弦值是小结：小结：1.异面直线所成角： coscos, CD AB|2.直线与平面所