03第三章第3节泰勒公式ppt课件

1、一、问题的提出一、问题的提出用多项式近似表示函数的作用理论分析近似计算一一. . 泰勒公式的建立泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp令)()(000 xxxfxf以直代曲以直代曲0 x)(1xp特点:)(01xp)(01xp在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x)(0 xf)(0 xf xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例例如如, , 当当x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln(缺乏缺乏:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计、误差不能估计.设函数设函数)(xf

2、在含有在含有0 x的开区间的开区间),(ba内具有直到内具有直到 )1( n阶导数阶导数, ,能否找一个能否找一个 n n 次的多项式次的多项式： nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 ?)(0 xfxx附附近近来来近近似似在在 )()(, )()(, )()(0)(0)(0000 xfxpxfxpxfxpnnnnn满满足足二二、nP的的确确定定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相

3、交点相交0 xnnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010由由那么)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf)(01xpan, )(0 xf )(02xpan , )(0 xf ,)(0)(xpannn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann!21!21!1n!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理记记 nkkknxxkxfxP000)()(!)()( 称为称

4、为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 次近似多项式次近似多项式 nknkknnxRxxkxfxRxPxf000)()(!)()()()()( 称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即1例

5、例处处三三阶阶泰泰勒勒展展式式。在在写写出出函函数数1ln)(3xxxxf解：解：,ln)(3xxxf; 0) 1 (f,ln3)(22xxxxf; 1) 1 ( f,5ln6)(xxxxf ; 5) 1 ( f,11ln6)( xxf;11) 1 ( f,6)()4(xxf;6)()4( fxx ln3303)()() 1(!) 1 (kkkxRxkf432) 1(! 46) 1(! 311) 1(! 25) 1(xxxx 注意注意: :1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之之间间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取0

6、0 x, , 在在0与与x之间之间, ,令令)10( x 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR ( )2(0)(0)( )(0)(0)2!()nnnfff xffxxxno x麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式四四. . 几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (因,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfk故xe的 n 阶麦克劳林公式为xe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( nxe ) 10( 1nxxxfsin)()2(因)()(xfk故xsin的 n 阶麦克劳林公

7、式为xsinx!33x!55x!) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm!) 12(m)sin(212mx) 10()sin( x2kkfksin)0()(2mk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m12mx)cos() 1(xmxxfcos)()3(类似可得xcos的 n 阶麦克劳林公式为xcos1!22x!44x!)2(2mxm)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22 mx) 1()1 ()()4(xxxf 因)()(xfk故)1 (x的 n 阶麦克劳林公式为)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)

8、1 (!) 1()() 1(nnxxnn ) 10(kxk )1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk ),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n ) 1()1ln()()5(xxxf类似可得)1ln(x的 n 阶麦克劳林公式为)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn ) 10(1) 1(n三三. . 泰勒公式的应用泰勒公式的应用1. 1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用)(xf误差1!) 1()(nnxnMxR)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(M 为 包含在)() 1(xfnxx ,0的某

9、区间上的上界.例例2. 2. 计算无理数计算无理数 e e 的近似值的近似值 , , 使误差不超过使误差不超过.106解解: :知 的麦克劳林公式为xexe1x!33x!nxn!22x!) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(!) 1(!1!2111 nen) 10(由于,30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因而e!91!2111718281. 2例例 3 3 计计算算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(!4422112xoxxex)(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos244

10、2xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限用洛必塔法则不方便 !)(!22211xoxxex2x11)1 (!) 1()() 1(nnxxnn) 10(!2 )1 (x1xnx) 1(! n) 1() 1(n例例4.43443lim20 xxxx解解: 用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子展到 项项 ,2x由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo2x3421)1 (243x220 limxx原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox x4

11、3)(2216941xox 3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式5( )( , )( )0,f xa bfx例设在内存在二阶导数，且点点有有个个内内任任意意证证明明：对对于于nxxxnba,),(21)()()()(12121nxxxfxfxfxfnnn.2121nxxxxxxnnn且且证证：证证明明：,110niixnx记记由由泰泰勒勒公公式式20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf 20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxfiiii ni, 2 , 1, 0)( if 000()()()()iif xf xfxxxniiniixxxfxnfx

12、f10001)()()()(即有即有0)()(02110nxxxxxxnnii而而)()(01xnfxfnii)1()(111niiniixnfxfn( )ln(0)f xxx 令012 xxf)(由由上上结结论论得得)1ln()ln(111niiniixnxnnxxxxxxnnn2121nxxxxxxnnn2121ln)ln(1例例6 证明证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx2x11)1 (!) 1()() 1(nnxxnn) 10(!2 )1 (x1xnx) 1(! n) 1() 1(n) 10

13、(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxxxy xysin 五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;11433P习习题题4 , 3 , 2),3)(1 ( 1A组B组3 , 1播放播放2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限3)1(sinlimxxxxexx 思思考考题题解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 3)1(sinlimxxxxexx333332)1()(!

14、3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 3333)(! 3! 2limxxoxxx 61 一、一、 当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)( 的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 . .二、二、 求函数求函数xxexf )(的的n阶麦格劳林公式阶麦格劳林公式 . .三、三、 验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01 . .四、四、 应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差.

15、 .五、五、 利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .练练 习习 题题一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .练习题答案练习题答案xy xysin 五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式

16、式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xy xysin ! 33xxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xysin !11! 9!7! 5!

17、3119753xxxxxxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼