2022年二轮复习高考圆锥曲线解答题专题八(长度为定值)

1、2022年二轮复习高考圆锥曲线解答题专题八长度为定值1 .已知椭圆C:当 +马=1（。60）的左、右焦点分别为耳，K是椭圆上一动点（与左、 a b右顶点不重合）已知PEK的内切圆半径的最大值为»三，椭圆的离心率为5.（1）求椭圆c的方程；（2）过尸2的直线/交椭圆。于AB两点，过A作*轴的垂线交椭圆C与另一点Q （。不与48重合）.设4人8。的外心为6,AB t ，+求证 （尸|为定值.2 .已知圆C：/ + y2=2,圆G：/ + y2=4,如图，G，G分别交X轴正半轴于点瓦4射线0。分别交G，02于点&。，动点p满足直线bp与y轴垂直，直线op与x轴垂直.(1)求动点P的

2、轨迹。的方程；(2)过点E作直线/交曲线C与点M,N,射线0”_U与点，且交曲线。于点。.问：1 1即| +质的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.22/T3.如图，椭圆C:餐+方=1（。人0）的离心率为学，以椭圆。的上顶点T为圆心作圆丁：/+（卜一1）2=/（厂0）,圆丁与椭圆（？在第一象限交于点4，在第二象限交于点8.（0）求椭圆C的方程;（0）求瓦.丽的最小值，并求出此时圆丁的方程；5）设点P是椭圆C上异于A，B的一点，且直线以，依分别与y轴交于点M，N , o的坐标原点，求证：|。0卜|0可|为定值.4.22已知椭圆c：l +马a2 b21（。力0）的长轴

3、长为4,上顶点为A ,左、右焦点分别为6，工，且/耳4鸟=60°,。为坐标原点.（H）求椭圆C的方程；（回）设点M，N为椭圆。上的两个动点，丽.丽=0,问：点。到直线MN的距离d 是否为定值？若是，求出d的值；若不是.请说明理由.5 .已知椭圆C：+2r = 1 (a>6>c)上的点M到。的两焦点的距离之和为6,。的 a2 b2离心率为述.3(1)求C的标准方程；UUU UUU UUUI(2)设坐标原点为。，点N在。上，点P满足OP = OM + ON，且直线OM，QV的斜率之积为，证明：mn + op为定值. 92276 .已知椭圆C: = +当= l(a>b&g

4、t;0)的上顶点为E，左焦点为尸，离心率为上，直线 a2 b22(2)设过点F且斜率存在的直线/与椭圆C相交于A 8两点，线段A, B的垂直平分线交xPF轴于点尸，试判断上得是否为定值？并说明理由.AB7 .已知尸仁,0),(p>0),点M在X轴上，点L在y轴上，且丽=2碗，LM ±LF 当点L在y轴上运动时，动点N的轨迹为曲线。.过X轴上一点K的宜线交曲线C于尸，QTT > 两点.(1)求曲线C的轨迹方程;(2)证明：存在唯一的一点K，使得并确定K点的坐标.228 .已知耳（一1,0）,鸟（1,0）为椭圆:0+ 1 = l（a>bO）的左右焦点，过人的直线交 椭圆

5、于A，B两点,的周长为8.（1）求椭圆r的标准方程；（2）已知？，%）（% #0）是直线/:x = 4上一动点，若R4，依与X轴分别交于点M（x”,0）, N（Xn，0）,则一二 +是否为定值，若是，求出该定值，若不是,请说明理由.9 .如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆。：=+二=1（4占0）的离心率为也 a- b2以椭圆c左顶点丁为圆心作圆T:（X+ 2）2 + / = rr > 0）,设圆7与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求加.病的最小值，并求此时圆丁的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M, N的任意一点，且直线/MP, NP分别与x轴交于点/?, 5, 。

6、为坐标原点，求证：为定值.10 .已知椭圆C：£ + £ = l(a>8>0)的左右焦点是匕，工，且G的离心率为也.抛物线 a b2G : V = 2px (p > 0)的焦点为玲，过。工的中点Q垂直于*轴的直线截G所得的弦长为2瓜(1)求椭圆孰的标准方程；(2)设椭圆G上一动点丁满足：OT = AOA + 2OB,其中A8是椭圆G上的点，且直 线OA,OB的斜率之积为-若N(ZM为一动点，点P满足PQ =耳玛.试探究 |八叼+|阁是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.11 .点尸(1,1)为抛物线2 =x上一定点，斜率为一;的直线与抛物

7、线交于AB两点.yk()求弦中点M的纵坐标;(加点Q是线段P3上任意一点(异于端点)，过。作24的平行线交抛物线于旦尸两点, 求证：IQEHQ用-IQPHQBI为定值.12 .在平面直角坐标系中，动点M在抛物线丁= 36尤上运动，点M在x轴上的射影一 1为N ,动点、P满足PN = MN.3(1)求动点P的轨迹。的方程；(2)过点尸(1,0)作互相垂直的直线AB, OE，分别交曲线。于点4,8和O, E,记ODE的面积分别为5，邑，问:S；+S；是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.13.已知耳，居分别是椭圆C：=1 (。人0)的左、右焦点，其焦距为6,过6的直线与。交于A

8、，3两点，且aABK的周长是12&.(1)求。的方程；(2)若知(占,为)是C上的动点，从点0(。是坐标系原点)向圆(x-/y+(y-%)2 = 6作两条切线，分别交。于尸，Q两点.已知直线0P,。的斜率存在，并分别记为人，k2.(0)求证:为定值;(0)试问|O/f+Qq是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.2022年二轮复习高考圆锥曲线解答题专题八长度为定值（解析）221.已知椭圆C:2 + 4 = 1（。>60）的左、右焦点分别为耳，?2是椭圆上一动点（与左、 a b右顶点不重合）已知PEK的内切圆半径的最大值为»三，椭圆的离心率为5.（1）求椭圆c的方

9、程；（2）过尸2的直线/交椭圆。于AB两点，过A作*轴的垂线交椭圆C与另一点Q （。不与48重合）.设4人8。的外心为6,AB t ，+求证 （尸|为定值.22【答案】（1）+ - = 1 （2）见解析43c （1）由题意知：一=:，a = 2c,b2 =a2 -c2, ®b = & .a 2设耳片的内切圆半径为r,则 S.L：（|P用+ 归用 +内用）" = g（2a + 2c）-r = （a + c）",故当尸耳工面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时厂=走, 3所以-（a + c） = be，把a = 2c,Z> =石。代入，解得：a =

10、 2,h = >/3 .X2 y 所以椭圆方程为二+ 2 = 1.43（2）由题意知，直线A6的斜率存在，且不为0，设直线48为=加> + 1，代入椭圆方程得（3m2 + 4）丁 + 6g，_ 9 = 0 .设4（内,必）,8（毛，），贝匹+ % =-6m-9所以A3的中点坐标为4-3m 3m2 + 4'3m2 + 4 上3trr + 4 3nr + 4所以|AB = JF+ 22 | 3 _ G |= Jl + 力 X因为G是的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段AQ的垂直平分线的交点的垂直平分线方程为y+不*=-加令尸°,得"藐匕即G（藐匕q所以

11、陵卜1_3m2 +43r +33m2 +412（/n2 + l）所以陷=3m：+4 =乜=4,所以为定值，定值为4.GF2 3m2+ 33口日3m +42.已知圆G：V + y2=2,圆。2：/ + 丫2=4,如图，G,C2分别交x轴正半轴于点£A.射线8分别交储,。2于点民。，动点P满足直线与y轴垂直，直线。P与X轴垂直.（1）求动点P的轨迹。的方程；（2）过点E作直线/交曲线C与点M,N,射线0"_L/与点H,且交曲线。于点。.问：1 1河| +灰的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）+ - = 1 （2）是定值，为3.424

12、（1）如图设 N8OE = a，则 B（V2cosa,V2sin«z）£（2cosa,2sina）,所以与=2cosc, % =Qsina.所以动点尸的轨迹C的方程为三十二=1.42方法二：（1）当射线on的斜率存在时，设斜率为攵，8方程为 > =日，fy = Ax ,2 74, 一由:， c得次=-K，同理得说=-万，所以芯+ 2次=4即有动点尸的轨迹Cx +y =2 + k + k的方程为三+匕=1 .当射线8的斜率不存在时, 42点（0, 土血）也满足.（2）由（1）可知E为C的焦点，设直线/的方程为x = my +正（斜率不为。时）且设点X,- /“）+ 及得

13、（利2 +2）,2 + 2y2my-2 = 0 x2 + 2y =4 ''ly/lm y+%=-T-T m +22心一门1 1所"|MN| y/l + m2 -必|in + 24（M +1）,4又射线OQ方程为y = 一式,带入椭圆C的方程得x2 + 2（，孙）一 =4 ,即=2 _ 4m2 _ 1 + 2/Ve - 1 + 2/n2 'OQ 4"+l）一 1 i m2 + 2 l + 2m2 _3“'以 |QQF 4（/ + l） 4（/ + l） 4又当直线/的斜率为0时，也符合条件.综上,1 丽+函3为定值，且为“3.如图,22椭圆C

14、：5+ -r a2 b-=1 （a > 0）的离心率为券以椭圆。的上顶点丁为圆心作圆T: Y +（y I7 = / （厂> o）,圆丁与椭圆C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B .（0）求椭圆。的方程;（S）求容.无的最小值，并求出此时圆丁的方程;工0%Mv= 一网xj -玉2_勺4_即得|。/|。叫=|%|=1为定值.1(回)设点P是椭圆。上异于A，B的一点，且直线Q4,依分别与y轴交于点M，N , o的坐标原点，求证：为定值.丫 2. 1|2【答案】(1)Fy2 = 1 ； (2) x +(y 1) = ； (3)详见解析.4v 725n2 0(1)由题意知，。=1,6 =

15、 £ =中，./一/=1,二=±,得。2=442=3.a 2a2 4故椭圆。的方程为二+ y2=i.4(2),.点A与点8关于y轴对称，设由点A椭圆C上，则石 2=44乂2,：7(0,1),得7X = (x1,y1-l),ra = (-x1,y1-l),.-.7%TO = -x12 + (y1- )2 = fy2-4+y yx+ .= 51,-。 -3.由题意知,。弘1,，当y =：时,7%屈取得最小值一.此时,5)553Xl2=4-,X= ,故A竺,又点A在圆T上，代入圆的方程，得产=小125 15 I 5 5J25- 1 17故圆丁的方程为/ +(y-l)=.(3)设P

16、(x。,%),则%的方程为y一%=21&一%).令=0,得兀0 x%=%_g22凶=也曰应同理可得，如=卫达.故 X()-X| x0 -X而+西2 22 2%以°七一'义 X。 X,、 /r 2丫2. P(% ), A(占,y )都在椭圆。上，婕=1 _,短=_工，代入得, 44.已知椭圆c：+ay b2= l（ab>0）的长轴长为4,上顶点为A，左、右焦点分别为目，尸2,且/耳46=60°,。为坐标原点.（S）求椭圆C的方程；（的设点M，N为椭圆。上的两个动点，OM ON = 0>问：点。到直线MN的距离d 是否为定值？若是，求出d的值；若不是

17、.请说明理由.【答案】（0）+ = 1： （0）点。到直线MN的距离d是汉史，是定值.437（0）设椭圆。的半焦距为c.由已知可得2。= 4,解得。=2.因为N耳46=60。，易得在RtZOA6中，ZOAF2=30°t OA=bf OF2 = cf| AF21 = 4 = 2.所以 cos NO4K = 2 = YE ,解得 6 = 6 .a 2所以椭圆。的方程为土+f=1. 43（0）当直线MN的斜率不存在时，MN_Lx轴.由丽丽 =0可得J_0河.结合椭圆的对称性，可设M（x,x）,22将点M（x,x）代入椭圆C的方程，得?+ ? = 1当直线MV的斜率存在时，设直线MV的方程为

18、卜="+加， 此时点0到直线MN的距离4 = -/上,即/Jl + 二l + k2设N(w，yj,y = kx + mx2 y2 f 可得（3 + 4左，/+8Qnx + 4机工- 12 二。，F _= 1.43则/ = 64fcW -4（3+4fc2）（4m2 -12）>0,得4 <4左2 + 3 .Rkm4m2-12GF，x=374F所以卒之 十）：% =百& +（3 +m）（kx2+m） （1+ 左2）可芍 + km% +/） + ？4m2-12 Sk2m-3 + 4女23 +北加7疗12修+1)=0，解得加2 =£（1 + &）.7 m2

19、12（左之+1） +4k2 又因为亦.两=0，所以百/+凹为二°，所以辟若,得人率 综上所述，点。到宜线M/V的距离d是豆红,是定值.7225.已知椭圆C：二十】=| (。力C)上的点/到C的两焦点的距离之和为6,。的 a2 b2离心率为逑. 3(1)求。的标准方程;UUU UUll UUU1(2)设坐标原点为。，点N在C上，点尸满足OP = OM + ON，且直线OM, ON的斜率之积为一：,证明：丽?+而a为定值. 9Y【答案】（1） +y2 =1； （2）证明见解析.9 -2 2解：（1）因为椭圆C： + 4 = 1 （a>6>c）上的点M到C的两焦点的距离之和为6

20、, a- b所以2a = 6,解得a = 3,又。的离心率为逑，所以£=2也，c=2&，3 a 32又。2=。2-2,所以b = l,所以。的标准方程为工+ y2 =1；9 ' 法一：设当直线MN的斜率不存在时，N&,y）,因为直线OM, ON的斜率之积为-L 所以"= ，即x；=9y；,9Xj Xj 9丫2o 1又M，N在椭圆互+ >2 =1上，所以芍=,UUU UUU UUU1»2»2/ .2/ »2因为OP = OM + ON，所以MN +OP = （ON-OM I + （ON + OM j= ON2 +OM

21、"-2ONOM +ON2 +OM2 +2ONOM= 20；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丫 =履+小（mwO）,y-kx-m,联立方程得2_消去>，得（1+9公）/ + 18去7+9，2-9 = 0,-I- y =1, 9 /A = （18Aw）2 -4（l + 9Ar2）（9/n2 -9）=36（92-m2 + l）>0,设'（与,必），则砧=注 因为直线OM, ON的斜率之积为一1,所以x % =（如+"）（仇+加）1 .（%+.）+裙 X X2XyXaXX,-18攵2落 +1即公+ ._ = _得2疝-9公=1，满足>（）.9 m

22、 -991 + 9公UUU UUll UUUi 因为 OP = OM+ON，所以丽？+而2=（丽-丽+（丽+两y 21 ,2 - ,221 *1 =ON +OM -2ON OM +ON +OM +2ON OM=2（|西 * + 阿）=2（x： + 犬 + * + 贡）=4 + £（x； + x；）_4 + 6 <-18? 2（W-9） 一 +91+9k2 ） -1+9公_4 + _16 （_8.丫 2（9裙_9）一 +§ I 2m1 ） 2nr=4 += x9 = 20. 9综上，丽2+3声为定值.法二：设/V（x2,y2）,因为直线OM , ON的斜率之积为-1，

23、y所以:, 一 = ：,即无|电=一9%旷2.2因为 MM（X1,yJ, '（孙必）在椭圆C： + y2 =l-t>所以再2+9.y；=9, x；+9货=9,可得x；-9 = -94，后-9 = 一翊（2）,由x得（片一9乂4-9）= 81y；£,所以储一9）（4-9）=片考,即片+宕=9.由 + 得 %；-9 + *-9=9（才 + £）,得 y； + y； =1.UUU UUU UUIU因为 OP = QM+ON，所以旃2 +而2 =(丽两/+(丽+两)2 - 2 222ON + OM 2ON , OM + ON + OM + 2ON , OM=2(网+画

24、)= 2(x：+、：+¥ + £)= 2x(9 + l) = 20,因此丽2 +而2为定值.2276.已知椭圆。：与+=1（。人°）的上顶点为石，左焦点为尸，离心率为在，直线E/与圆2+产=；相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点F且斜率存在的直线I与椭圆C相交于A B两点，线段A, B的垂直平分线交XIff轴于点尸，试判断匕是否为定值？并说明理由.丫2F）【答案】（1）+ /=1; （2）存在，定值注，理由见解析 2 .4(1)如图，,/ e = => :,a- >/2c» b = c,直线 £F 的方程为 x-y + c

25、=。,a 2直线斯与圆f+y2=g相切, .椭圆C的标准方程为y + y2=l.(2)设 A(X1,yJ, B(x2,y2), P(xa,0),y =氏(%+ 1)设直线/：>=依N + 1）,联立f ,消去 y 得(2Z? + l)d + 4女，+ 2-2 = 0 ,+ y =1I 2 ，-4K2k2 2/J AB = "1 + 左£ J(K + /)* - 4NX2 = Jl + / .、卜-4d 2 2/-2 2回d+1)2r+1 一 - 2jt2+l _ 2k1法一、P在线段AB的垂直平分线上，|胡| =|必卜 .（者一%） + 乂 =（三%）+为CD22；凡

26、旨在椭圆C上，y2=l Z,=1 2222 2i代人得（一+i-+=o2-/）2+i一字，化简得飞=-（3+2） 当点£在>轴上运动时，动点N的轨迹为曲线C过工轴上一点K的直线交曲线。于P，Q 两点.，俨用=民+1|刁；（药+三）+曰1+1 -4k2法二：线段AB的中点为（一2k2），二线段A5的垂直平分线为，, k 、-ky) = # +,2k2+1令y 二 o,得/2k22人工+1'k22k?+1k2+I二,|叩=氏+=|1-k2fe2+l 2丘+T, _L= 2+1 = 0-AB 20(小+ 1)4，2A2+17.已知FP_ 2,0 ,（>o）,点m在1轴上

27、，点工在y轴上，且诉=2位，刀71,赤，（1）求曲线C的轨迹方程;（2）证明：存在唯一的一点K,1 1使得加"+欣产为常数，并确定K点的坐标，【答案】（1）2=2孔（>0）（2）证明见解析；K（，0）.（1）根据题意可知，FP_2,0 L（p>0）,点M在工轴上，点£在轴上，且丽=2诙,LM ±LF画出几何关系如下图所示:设L为MV中点,因为l在y轴上，所以点”的横坐标为一工，由等腰三角形三线合一可知|尸根=卜入1即史+冗= 2+ y1 ，展开化简可得y" =2尤,所以曲线C的轨迹方程为2=2%（>0）.（2）证明：点K为工轴上一点，设

28、K（a。），则过点K的直线方程为y = M”一"），交抛物线）2 =2羽（"0）于p（小弘），y = k(x-a y1 2pxQ（巧,）两点.，化简变形可得££ 一（2ak2 +左2/ = 0 ,2g、i2ak +22P?所以jq +%2 =5 = 2tz +,xi2 -a，kzkz由两点间距离公式可得|PK =(%1-a)(1)求椭圆的标准方程；(2)已知产(%,%)(% #0)是直线/:x = 4上一动点，若Q4, P3与x轴分别交于点"(如,0), n(Xn，o),则+二7是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请 + * =(X -+ 2

29、师，|QK'=(x2 -a)2 + y22 =(2 -«)2 + 2P*2 '1 1所以而十函1 1=1(% ay +2pjq (x2 _q)" +2px21 1=- -+ - X： +(2-2)丹 +/ x22 +(2一2)X2 +。2xJ + x +(2p 2。)(芭 + 工2) + 2。-xj +(2p-2a)x +/毛2 +(2p-2a)x2 +/(王+9)-2%工2+(2p24Z)(X|+42)+2°2说明理由.X?v22【答案】(1)- = 1(2)是定值；定值为彳433(1)依题意c = l,由椭圆的定义可得的周长为4a = 8,即a

30、 = 2,所以人=5故椭圆的方程为工+匕=1. 43(2)设直线A8的方程为x = " + l，A(x，yJ, 8(9,功)，P(4,y0), fx = ry + l由 I- >2 得(3/+4/2+6。，9 = 0,F- = 1143显然/>0，则 M + % = 3言4，%=3r;：4，直线出：y一>0=上?(%-4),令y = 0得"=以二竺匕 玉-4即M加。一电人 M -1 为一乂为一）同理：x,_=.M/O, %一%于是：+=%-1 T y-316t= _J_ 3d±4.2 =_L_%-3 一9ty0-3_3/2+4_112所以i i=

31、2为定值.与-1 xN- 39.如图，在平面直角坐标系xOy中,-11（% + %）为2乂% J %-3|_ y%.（3-V"-2）-3已知椭圆。：1 + £ = 1（。0）的离心率为止 a b2v I _ x%4y -%(%-1)-3乂 _ %”|-3弘 _ 乂(乂-3),同理N以椭圆C左顶点厂为圆心作圆T: （x+ 2）2 + / =/（厂 >（）,设圆T与椭圆c交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；（2）求而,7N的最小值，并求此时圆7的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M, N的任意一点，且直线MP, NP分别与x轴交于点R, S, 。为坐标原点，求证：|OR|

32、QS|为定值.2 1 o【答案】（1） + y2=l； （2） （x + 2）2 + /-； （3） |QR|,|OS| = 4425（1）依题意，得a = 2, e = - = ， a 2/. c = 3,b = J4- 3 = 1,故椭圆c的方程为工+y2=i.4点M与点N关于x轴对称，设%（石,一,），设耳>0,由于点在椭圆C上，所以凶2=1一，由 T（-2,0）,则加=（司 + 2,y）,而=（百 + 2,->-1）,1- 7717-777 = （+2,）-（+2,->0=（斗+2）2-短=（为+2）2一（1 一十5 24 o=-x, + 4x, + 3 =4 所以|

33、。叫 31 = M卜%I =阮, % I = 4io.已知椭圆百：二+W = i(a>b>o)的左右焦点是耳，E,且G的离心率为虫.抛物线 a- h2C2:)2 = 2px (p >0)的焦点为F2,过。工的中点Q垂直于x轴的直线截G所得的弦长为2瓜(1)求椭圆G的标准方程；(2)设椭圆G上一动点丁满足：OT = AOA + 2/jOB ,其中A8是椭圆C1上的点，且直 一 1线04,05的斜率之积为-一.若N(Z)为动点，点P满足PQ = £6.试探究421由于一2<XI <2, o3( 8故当王=-不时，寿河的最小值为一§,所以故M-二又点

34、M在圆7上，代入圆的方程得到/=石.故圆7的方程为：(x+2)+y|人叫+|/是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.=|设P(的%),则直线MP的方程为：y-y0=A(x-x0),xy（）- x（）y.xy0 + xny.令y = 0,得4=3,同理：/ =3以又点M与点。在椭圆匕4(1_%2),%2=4(1_弘,，代入上式得:40 短）为2 40/2）姬 _4（%2一凹2【答案】亍+产曰；(2)为定值；|必+闪。=2.解：(1)抛物线C/y2=2px的焦点为玛(5,0), 00(,0)过。垂宜于x轴的宜线截y2 =2px所得的弦长为26所以(、?=2pxg 解得p = 26

35、所以g(g,0)又用椭圆G的离心率为立，13a = 2,6 = 122.椭圆G的方程为三+V = i,.4 .(2)设7(x,y), 4x，y), Bl/,%)，则由方=丸况+ 2砺，得 =+ 2M%，y =+ 2/y2团点T,A,B在椭圆工+丁 =1上，团所以x；+4y； =4 , x；+4y；=4, %2 +4y2 =4故厂 + 4)L=(%X1 + 2/x2)- + 4(Ayt + 2)3)(Xj + 4y；) + 4- (x； + 4y：) + 4A/(X|X? + 4y y2)= 4 .设koA,koB分别为直线OA,OB的斜率，由题意知，kOA - kOB =一；因此王+4%=0所

36、以；2+42=l.分片_所以N点是椭圆上丁 一上的点，.4C 一 1 ( J3 、0Q(一,0), yPQ = -FiF2 ,0P ,0 .2，I Z /色P,Q恰为椭圆 十丁一|的左、右焦点，由椭圆的定义，|NP|+|NQ| = 2为定值. 411.点P（1,D为抛物线丁=上一定点，斜率为的直线与抛物线交于AB两点.（国）求弦中点M的纵坐标；（0）点Q是线段依上任意一点（异于端点），过。作FA的平行线交抛物线于E,F两点,求证：1。切1。尸1-1。尸1105|为定值.【答案】（0） -1； （0）证明见解析., yA-yK 11试题解析：（1）kAB = = -（*）XAf yA + yB

37、2所以%+%=-2,加=丛产=一1设。（为,%）,直线EF：彳一/=4（一%），联立方程组卜一 X。?（ y 一 % ） n y2 fy + f_ / = 0 , y =x所以 4 + %=4, % , yF = 4% 一面，QE-QF = 71 +yE -y0| + t； yF -y0| = （1 + r,2 ）|y02 -|,HS|e-|GB| = （l + r22）|y02-x0|.1 1 1由（*）可知：乙=1=1=> + », f2 = r = yB + yp Kef kpAkpB所以4 +，2 =（y4 + 丫8）+ 2,2=-2+2 = 0,即，=t2 =>

38、 t 12 所以QE-QF=QF-QB,即QE-QF-QP-QB=Q.12.在平面直角坐标系xOy中，动点M在抛物线V=36x上运动，点M在x轴上的射影为N,动点P满足丽河.3（1）求动点P的轨迹。的方程； （2）过点尸（1,0）作互相垂直的直线AB, OE,分别交曲线。丁点4,8和。，E，记aQAB,S2 .S2ODE的面积分别为S，S,问：得言是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】丁=4；（2）为定值，4.解：（1）设点尸（x,y）, M （玉j,”）， 则 y： = 36x0,且 N （占,0）,一 1由 PN = - MN ,得3x0 =x,.，代入 % = 36% , y0 =3y得 9y2=36x,即 y2=4x.所以曲线。的方程为V=4x.（2）由（1）知曲线C为抛物线，点F（l,0）为抛物线C的焦点，当直线AB的斜率为。或不存在时，均不适合题意.当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线 AB:x = my + l（m#。），与产=4%联立消 x 得，y2-4/wy-4 = 0.由/>0得"2£R,且2。0，设A（X,y）, 3（工2,必），则凶 +/2=42，=-4.所以 =% + +2 =冲+my2 +2 + 2 = 4/772 +4., 1原点到直线AB的距离d= I +&qu