二次函数典型例题

1、二次函数典型例题例1某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？点拨:我们知道，销售商品有一些基本数量关系，如：销售额=单价送肖售件数，销售利润=销售收入一销售成本(销售成本包括产品本身的成本和销售过程中增

2、加的成本，而在我们的学习研究中，一般不计算销售过程中增加的成本)等.根据题意，以50元/千克时，月销售量为500千克(此时销售收入为50X500=25000元)为标准，单价每增加1元，月销售量就减少10千克，利用上面的基本数量关系，可以解决本题中的问题.解：(1)月销售量为5005X10=450(千克)，月销售利润为(55-40)(5005X10)=6750(元)(2)yx500-10(x50)4050010(x50)即，y10x21400x40000(3)800010x21400x40000解得x60或x80,当x80时，月销售量为50030X10=200.此时成本为40>200=80

3、00元，合题意.当x60时，月销售量为50010X10=400.此时成本为40M00=16000>10000,不合题意.答：当销售价格为55元/千克时，月销售量为450千克，月销售利润为6750元；函数解析式为y10x21400x40000;当销售成本不超过10000元，月销售利润达8000元时，销售价应定为80元/千克.例2若一抛物线yax2与四条直线，x1,x2,y1,y2围成的正方形有公共点.求a的取值范围.点拨:对于二次函数yax2有，若|a超大，抛物线开口越小(反之|a超小,则开口越大)因此我们需要先作出由直线x1,x2,y1,y2所围成的正方形，由它的位置决定抛物线的开口方向

4、，再用动态的观点来看，抛物线与正方形有公共点时，开口最大的情况与开口最小的情况，以求a的取值范围.解：作出由x1,x2,y1,y2所围成的正方形ABCD,则A(1,2),B(1,1),C(2,1),D(2,2).易知，抛物线yax2必开口向上，即a>0.当yax2经过c1点时开口最大，此时1=a.2,a.当抛物线yax经过点A(1,2)时开口最小，41此时2=a.12,a2.a的取值范围是1a2.4例3如图所示，有一抛物线形涵洞，其函数解析式为yax2(a0),涵洞跨度AB=12m,内部高度h4m,为了安全，汽车经过涵洞时，载货最高处与顶部之间的距离不能小于0.5m.现有一辆运货车卡车欲

5、通过涵洞，经测量该车宽度为4m,载货最高处距地面2.5m.问该车能否通过，为什么？点拨:这是一道实际应用题，解题的时候要把实际生活中的问题抽象出来，找到或建立相应的数学模型，再加以解决.解：如图所示，AB=12m,h4m./.A(-6,-4),B(6,-4).把点A(-6,-4)代、一O11O入函数yax得a(6)=-4,a-,y-x,依题息：二,车范4m,载货99最高处距地面2.5m,C(2,1.5),D的横坐标为2,纵坐标为y1x21224.；D(2,-),CD-1.519>0.5,能通过涵洞.9999918例4如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从A出发，沿A

6、B边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时Q从点B出发沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒钟时，PBQ的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第T秒钟时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围；(3)T为何值时，S最小？求出S的最小值.点拨:观察图形有两点是显然但绝不能忽视的，一个是PBQ的面积与五边形PQCDA的面积之和为定值(矩形ABCD的面积)，另一个是PBQ在变化过程中始终为直角三角形，即SPBQ=1PBBQ为不变函数关系.2解：设P,Q两点的运动时间为t秒，

7、依题意PB=AB-AP=6-t,BQ=2t.Sapbq=1(6-t)2t=t(6-t).t(6-t)=8,解得t=2,t=4;2(2)S=AB-BC-SPBQ=72-t(6-t)=t2-6t+72(0t6);一、，-2，一，(3)配万，得S=t3+63.当t=3时，S最小=63答(1)运动开始2秒和4秒时，Sapbq=8.(2)S与t的函数关系为S=t2-6t+72,0t6.(3)当t=3时，S最小，最小为63.例5某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的的信息，如图甲、乙.注

8、：甲，乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，乙图的图象是抛物线.甲图乙图请你根据图象提供的信息说明：(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(收益=售价-成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由.点拨(1)由图甲可知，3月份出售这种蔬菜，每千克价格为5元，由图乙可知，3月份这种蔬菜的成本价为每千克4元.故可轻松解决；在中可借助图甲、图乙确定出售价、成本价与月份x的关系式，将两表达式相减，即为每千克这种蔬菜的收益是多少，再借助二次函数最值求法，则可解决问题.解：(1)由图甲知，3月份这种蔬菜的售价为5元，由图乙知，3月份这

9、种蔬菜的成本价为4元，故3月份这种蔬菜的收益为每千克1元；(3) 设图甲中线段的表达式为Y甲二卜乂+0由图象可知，点(3,5)和(6,3)在y甲=kx+b上，故有53kb36kb故y甲2X7.又图乙中图象是一条抛物线段，故，可设3其表达式为y乙ax2bxc.由图乙知，其顶点坐标为(6,1),且点(3,4)在抛物线段上49a3bc故有62a4acb234a1解彳3a-,b4,c13.3一1c故y乙-x24x13.从而每千克这种蔬菜的收益为27/12yy甲y乙-x7(-x334x3)10一x312-(x210x)61(x5)2373.当x=5时,y值最大，且最大值为7元.3即5月份出售这种蔬菜，每

10、千克的收益最大，最大值为7元.3例6如图甲所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,。恰好在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向处喷水，水流在各个方向形状相同的抛物线路线落下，为了使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.一.甲r1J(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？(2)若水流喷出的抛物线的形状与相同，水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米(精确到0.1m)(提示:可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴，点O为原点.)点拨:此题的解题关键在于如何建立合适的坐标系，使得我们要求的数据在坐标系内成为一些特殊点，而不是抛物线上的任意三点.解:(1)如图乙以OA所在的直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x,点O为原点建立坐标系，设最高点为B,抛物线状水流在水面上的点为点C,则依题意，O(0,0),A(0,1.25),顶点B(1,2.25),C(x,0).设抛物线为Ya(x1)22.25(a0,2把A点坐标代入得:1.25=A01225,A1水流所经历的路线解22析式为YX1225(X>0)则C点坐标为:0=X1225,Xi25X205舍去C(2.5,0)为水池边