专题八：初中数学数形结合思想

1、专题八：初中数学数形结合思想九年级数学集备组组员：郑步群、张彩霞、方国财知识梳理通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的.华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家

2、万事休.”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想.典型例题-一、在数与式中的应用【例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简Va2+|a-b=.【例2】如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，则搭n条“金鱼需要火柴根.二、在方程、不等式中的应用,x,x-a0一，条之条3条【例3】已知关于x的不等式组X的整数2-x0解共有2个，则a的取值范围是.【例4】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）xy-2=02x-y-1=0.13x-2y-1=0.'3x-2y-1=02x-

3、y-1=0xy-2=0C.D.3x2y-5=02x-y-1=0【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A.k>3B.k=3C.k<3D.无法确定三、在函数中的应用【例6】如图为二次函数y=ax2+bx+C的图象，在下列说法中：ac<0方程ax2+bx+c=0的根是xi=1,x2=3a+b+c>0当x>1时，y随x的增大而增大。正确的说法有.（把正确的答案的序号都填在横线上）【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点

4、0的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).要跳某个规定动作,一，2,(2,-10),最高点的纵点标时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面102米，3入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，(1)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点0(0,0),入水点为限(2)求出抛物线

5、的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距333池边水平距离为3-米，x=3-2=1时，该运动员距水面高度与5米的关系.555四、在概率统计中的应用【例8】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调统计图：(1)请写出从条形统计图中获得的一条信查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议.综合训练1 .“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）P所

6、表示的数是垃”,这种A.代入法B.数形结合2 .如图，两温度计读数分别为我国某地今年么这天的最高气温比最低气温高（）A.5cC.换元法D.分类讨论2月份某天的最低气温与最高气温，那B.7CC.12CD.12C3.某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费,3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费f仃IVI!-，y1y，一,y2I2J44212y1,y2,y3的大小关系为（）y（元）与通话时间（分）之间的关系的图象正A.y2>y3>y1B.5 .关于x的一元二次方程y2>y1>y3C.y3>y1>y2x2-x-n=0没有实数根，则应物

7、线D.y3>y2>y1y=x2-x-n的顶点在（C.第三象限D.第四象限-I0I（第l鹿（第2题）3xa：06 .若不等式组2x74x-1的解集为x<0,则a的取值范围为（b.a=0c.a>4d.a=47.福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x2-x+m（m为常数）的图象如图所示,函数值（）y<0B.0<y<mC.y>m下面是福娃们的讨论，请你解答该题.贝贝：我注意到当x=0时，y=m>0.1晶晶：我发现图象的对称轴为x=2欢欢：我判断出x1<a<x2.如果x=a时，y<0；那么x=a-1时,迎迎：我认为关键要判断a-

8、1的符号妮妮：m可以取一个特殊的值.8 .如图，在平面直角坐标系中，/AOB=150°,OA=OB=2,则点A、B的坐标分别是和9 .在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)如图1,把余下的部分剪拼成一个矩形如图2,通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是(第w题)(第11题)10 .如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P,则不等式x+b>ax+3的解集为y=2x-1一口11 .方程组r的解是y=-x-112 .如图，为实数a、b在数轴上的位置，化简4af-(a-b2.?-1oI13.(1)阅读下面材料：点A、B在数

9、轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB.当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,|AB=OB=b=ab;当A、B两点都不在原点时，如图2,点A、B都在原点的右边AB=OB-OA=b-a=b-a=|a-b；如图3,点A、B都在原点的左边，AB=OB-OA=b-a=-b-(-a户a-b；如图4,点A、B在原点的两边，AB|=|OB+OA=|a+b=a+(b尸ab."iW2一'AOBOA“皿，小卜;r-or-酊图3图之图4(2)回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是,数轴上表示1和一3的两点之间的距离

10、是;数轴上表示x和一1的两点A和B之间的距离是,如果AB=2,那么x为当代数式x+1+x-2取最小值时，相应的x的取值范围是14.某厂生产一种产品，图是该厂第一季度三个月产量的统计图，图是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图、图时漏填了部分数据.?(写出解答过程)根据上述信息，回答下列问题：(1)该厂第一季度月份的产量最高.(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的%.(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品B、D作ABBD,EDLBD,连接15 .如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8;设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式Jx2+4+7(12-x2+9的最小值.16 .如图，已知