专题训练一证明三角形全等四种添加辅助线的方法-教学文档

1、专题训练（一）证明三角形全等四种添加辅助线的方法?方法一直接连线构造全等三角形1 .如图1ZT1,AB=AD,BC=DC.求证：/ABC=ZADC.图1ZT12 .如图1ZT2,AB=AE,/ABC=/AED,BC=ED,AFCD.求证：F是CD的中点.图1ZT23 .如图1ZT3,AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=DB.求证：/ABO=/DCO.图1ZT3?方法二倍长中线构造全等三角形4 .如图1ZT4,AD是4ABC的边BC上的中线，AB=4,AC=8,求中线AD的取值范围.图1ZT45 .已知：如图1ZT5,在4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长B

2、E交AC于点F.求证：/BED=ZCAD.（提示：等腰三角形的两底角相等）图1ZT5?方法三作垂直构造全等三角形6 .如图1ZT6所示，四边形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分/ABC,求证：ZA+ZC=180°.图1ZT67 .如图1ZT7,ZAOB=90°,OM平分/AOB,将三角尺的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA,OB相交于点C,D,则PC与PD相等吗？并说明理由.图1ZT7?方法四翻折构造全等三角形8 .如图1ZT8所示，BE平分/ABC,E为AD的中点，且BC=BA+CD.求证：CE平分/BCD.图1ZT89 .如图1ZT9，OP是/M

3、ON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点.请你利用该图形在ON上找一点C,使COBAOB.参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：10 )如图，在4ABC中，ZACB是直角，/B=60°,AD,CE分别是/BAC,/BCA的平分线，AD,CE相交于点F.请你判断并写出EF与DF的数量关系.11 )如图，在4ABC中，如果/ACB不是直角，而(2)中的其他条件不变，那么(2)中所得结论是否仍然成立？请说明理由.图1ZT9详解详析<AB=AD,1 .证明：连接AC.在4ABC与4ADC中，彳BC=DC,/.ABCAADC(SSS),-AC=AC,./ABC=ZADC.2.

4、证明：如图，连接AC,AD.在ABC和AED中，AB=AE,彳ZABC=ZAED,-BC=ED,ABCAAED(SAS),.AC=AD.AFXCD,AFC=ZAFD=90°.AC=AD,在RtAACF和RtAADF中,'、AF=AF,RtAACFRtAADF(HL),.CF=DF,F是CD的中点.3.证明：连接BC.在ABC和DCB中,<AB=DC,AAC=DB,、BC=CB,ABCADCB(SSS),，/A=/D.<ZA=ZD,在AOB和DOC中，j/AOB=/DOC,-AB=DC,AOBADOC(AAS),./ABO=/DCO.4.解析通过作辅助线，把AB,A

5、D,AC转化到同一个三角形中，如图，证ADBAEDC,推出EC=AB,在ACE中，利用三角形的三边关系求解.解：如图，延长AD到点E,使AD=ED,连接CE.D是BC的中点，BD=CD.，AD=ED,在4ADB和4EDC中，彳/ADB=/EDC,、BD=CD,ADBAEDC(SAS),，EC=AB=4,AC-EC=AC-AB=84=4,AC+CE=AC+AB=12.根据三角形的三边关系，得4VAEV12.AE=2AD,.,.2<AD<6.5 .证明：如图，延长AD到点G,使得AD=GD,连接BG.AD是BC边上的中线，DC=DB.在ADC和GDB中，AD=GD,AAADC=/GDB

6、,Idc=db,ADCAGDB(SAS),./CAD=ZG,BG=AC.又.BE=AC,.1.BE=BG,，/BED=/G,.BED=/CAD.6 .证明：如图，过点D作DEBA,DF±BC,垂足分别为E,F. DEXBA,DF±BC, ./DEB=ZDFB=90°. BD平分/ABC,./DBE=/DBF.,/DEB=ZDFB,在DEB和DFB中，/DBE=/DBF,-BD=BD,DEBADFB,，DE=DF.'AD=CD,在RtADEA和RtADFC中,，QE=DF, RtADEARtADFC(HL),./C=/EAD. .ZBAD+ZEAD=180&

7、#176;, ./BAD+ZC=180°.7.解：PC与PD相等.理由如下：过点P作PEOA于点E,PFLOB于点F. .OM平分/AOB, ./POE=ZPOF./OEP=/OFP,在OPE与OPF中，</POE=/POF,Iop=op,OPEAOPF(AAS),PE=PF. ./AOB=90°,ZPEO=ZPFO=90°,，/EPF=90°,./EPC+ZCPF=90°.又./CPD=90°, .ZCPF+ZFPD=90°,，/EPC=/FPD.</PEC=ZPFD,在APCE与APDF中，/PE=PF,l/

8、EPC=ZFPD,PCEAPDF(ASA),.PC=PD.8.解析在BC上截取BF=BA.根据SAS证明BAEABFE,再证明CEFACED即可.证明：如图，在BC上截取BF=BA,连接EF.BE平分/ABC,/ABE=/FBE.<BA=BF,在4BAE和4BFE中，/ABE=/FBE,、BE=BE,.BAEABFE,，AE=FE.,.E是AD的中点,DE=AE=FE.,.BC=BA+CD,BA=BF,，CD=CF.<CD=CF,在ACED和CEF中，<DE=FE,-CE=CE,CEDACEF(SSS),9.解：(1)如图所示，COBAAOB,点C即为所求.(2)如图，在CA

9、上截取CG=CD,连接FG.CE是/BCA的平分线，DCF=ZGCF.<CG=CD,在CFG和CFD中，彳/GCF=/DCF,CF=CF,CFGACFD(SAS),，DF=GF./B=60°,AD,CE分别是/BAC,/BCA的平分线，,_1,_，_1,_-./FAC=2/BAC,/FCA=2/ACB,且/eaf=/gaf,/FAC+/FCA=2(/BAC+/BCA)=2><(180。-60),，/AFC=120°,./CFD=60°=ZCFG,，/AFG=60°.又./AFE=/CFD=60°,.AFE=/AFG.</AFG=/AFE,在AFG和AFE中，,AF=AF,l/GAF=/EAF,AFGAAFE(ASA),.GF=EF,.1.EF=DF.(3)EF=DF仍然成立.理由：如图，在AC上截取AG=AE,连接FG.同(2)可得EAFAGAF(SAS),EF=GF,ZEFA=ZGFA.又由题意可知/FAC=1/BAC,/FCA=1/ACB,2'2，11 ZF7C+ZFCA=-(ZBAC+ZACB)=2X(180°-60