【解析版】2019年高考全国Ⅰ卷文数试题

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3-intt1 .设z=，则z=1 +2iA.2B.,3C.,12D.1【答案】C先由复数的除法运算（分母实数化），求得z,再求z所以z-

2、,(12i)(1-2i)55复数模的计算.本题也可以运用复数模的运算性质3-i【详解】因为z=312iz=©+（千=",故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，直接求解.2 .已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=12,3,4,5),B=12,3,6,7,则bDCuAA. ：1,6)B. 11,7)C. ：6,7)D.1,6,7:，【答案】C【解析】【分析】先求QA,再求BeaA.【详解】由已知得CuA=*,6,7,所以BCuA=6,7,故选C.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算.渗透了直观想象素养.使用补集思想得出答案.02033 .已知a=log20.2,b

3、=2,c=0.2，则A.a:b:二cB.a二c二bC.c:二a:二bD.b二c二a【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比较a,c,运用中间量1比较b,c【详解】a=logz0.2<logz1=0,b=2°.>2=0<,00.200则20<c<1,a<c<b,故选B.【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.5-14 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是125-1（江=0.618称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体

4、25-1的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割2比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A. 165cmB. 175cmC. 185cmD.190cm理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解.【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm,肚脐至腿根的长为ycm,则2626xxy105二立之，1得x%42.07cmy收15cm,又其腿长为105cm,头顶至脖子下2端的长度为26cm,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故选B.【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素

5、养.采取类比法，利用转化思想解题.sinxx图像大致为5.函数f(x)=A.cosxxC.0先判断函数的奇偶性，得f(x)是奇函数，排林B.0页的区另L.f殊值得确答案.sin(x)(x)-sinx-x【详解】由f(x)=-2r=f(x),得f(x)是奇函数，其图象关cos(x)(x)cosxx1+,42二，二于原点对称.又f()=-2=L>1,f(n)=>0.故选D.2(£)2二2一1二2【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题.6 .某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,

6、，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质.渗透了数据分析素养.使用统计思想，逐个选项判断得出答案.【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列an,公差d=10,所以an=6+10n(nWN"),1若8=6+10n,则n=一,不合题意；若200=6+10n,则n=19.4,不合题意；5若616=6+10n,

7、则n=60,符合题意；若815=6+10n,则n=80.9,不合题意.故选C.【点睛】本题主要考查系统抽样.7 .tan255°=A.2石B.2+73C.2-V3D.2+Q【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式tan2550=tan(180°计算求解.题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查.750)=tan75°-tan(45°30°)tan450tan3001Tan450tan3001招3=2.3.3【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能

8、力.8.已知非零向量a,b满足=2b,且(a-b)_Lb,则a与b的夹角为兀A.一6TtB.一3C.5冗D.6本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由（a-b）_Lb得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.【详解】因为（ab）_Lb,所以（ab）b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以COSU=b2|b|21所以a与b的夹角为一，故选B.【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0川.9.如图是求211的程序

9、框图，图中空白框中应填入2 -21A. A=2A1A=1-2A【答案】A-1B. A=2一A1C. A=12AD.【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择.【详解】执行第1次，A=1k=1W2是，因为第一次应该计算T=',k=k+1=2,22-2A循环，执行第2次，k=2M2,是，因为第二次应该计算2+循环，执行第3次，k=2£2,否，输出，故循环体为A=112-211,k=k+1=3,2A1【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A=2A2210.双曲线C:x24=1A

10、0,bA0）的一条渐近线的倾斜角为130。，则C的离心率为abA.2sin40B.2cos401C.sin50D.cos50由双曲线渐近线定义可得b=tan130o,.b=tan50'再利用e=-aaa1+-)求双曲a线的离心率.【详解】由已知可得-夕=tan130，二b=tan50°,a，=1tan250sin250sin250cos250cos250cos250cos50故选D.【点睛】对于双曲线:b2=1(a>0,b>0),有1b2a对于椭圆22防止记混.冬+yy=1(aAb>0),有ab11/ABC的内角A,B,C的对边分别为1a,b,c,已知asi

11、nAbsinB=4csinC,cosA=,4则2=cA.6【答案】A【解析】【分析】B.5C.4D.3利用余弦定理推论得出a,b,c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果【详解】详解：由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得222221bc-ac14c-=cosA=,42bc2bc13c1b3一，1,二=一，二一=一父4=6,故选A.42b4c2【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.C交于A,B两点.若12 .已知椭圆C的焦点为(-1,0),以1,0),过F2的直线与IAF2=2|F2BI,|AB|=|BF1,则C的方程为xyB.L=1C.二工二1D.54【答

12、案】B可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2B=n,则AF2=2n,BF1|=AB=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2=4n,二AF1|=2a-|AF2=2n.在AEF2和BF1F2中，由余弦定理得广224n2+4-22n2cos/AF2F1=4n22_2n+42n2cos/BF2F1=9n，又NAF2FJ/BF2F1互补,COS/AF2F1+cos/BF2F=0,两式消去COS/AF2F1,cosNBF2Fi,得3n2+6=11n2,解得n.二2a=4n=2氏，二a=6：.b2=a2-c2=31=2,，所求椭圆方程为2左+匕=1,故选B.32【详解】如图，由已知可设F2B=n

13、,则AF2=2n,BF1=|AB=3n,由椭圆的定义有2a=BFj十|BF21=4n,，AF|=2aAF2=2n.在AAFiB中，由余弦定理推论得cosF1AB二,2224n9n-9n22n3n在AEF2中，由余弦定理得.2.21.一4n+4n-22n2n一=4,解得3_22:2a=4n=2石，,a=石，b2=a2-c2=3-1=2,二所求椭圆方程为+=1,故32【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.【

14、答案】3x-y=0.【解析】【分析】本题根据导数几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：y/=3(2x1)ex3(x2x)ex=3(x23x1)ex,所以，k=y/|x.0=3所以，曲线y=3(x2'x)ex在点【点睛】准确求导数是进算错误.求导要“慢”，14.记Sn为等比数列an本题根据已知条件,列出准，是解答北屋不熟,题易因问题的4q的方程,求和公式,处的切线方程为要求.二导致计计算得到S4.题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】详解：设等比数列的公比为q,由已知2/2321cS3=a1+a1q+a1q=1+q+

15、q=，即q+q十一=044m1解得q=,241_(_1)4所以s4/y-q：2)1 _q1_(_!)82【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及哥的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误.一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算33135S4=&+a4=S3+aq3=一+()3=一,避免繁分式计算.42815.函数f(x)=sin(2x+-)-3cosx的最小值为.【答案】-4.【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于16.已知/ACB=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,点P至1J/

16、ACB两边AC,BC的距离均为J3,那么P到平面ABC的距离为.【答案】,2.【解析】【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决.【详解】作PD,PE分别垂直于AC,BC,PQ1平面ABC,连CO,知CD_LPD,CD_LPO,PDpOD=P,CDA平面PDO,QDu平面PDQ,CD_OD3.PD=PE=石，PC=2.sin/PCE=sin/PCD=，2PCB=PCA=60,-PO_LCO,CO为ZACB平分线，OCD=45OD=CD=1,OC=2，又PC=2,PO=42"；2【点睛】画图视角选择不当，线

17、面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?i/2n(

18、ad-bc)2附:K工(ab)(cd)(ac)(bd)-2、P(K柒)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82843【答案】(1)4,3；55(2)能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【解析】【分析】(1)从题中所给的2m2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；(2)利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【详解】(1)由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人,一一一一一.404所以男顾客对商场服务满意率估计为P1=-0=-,50550名女

19、顾客对商场满意的有30人，303所以女顾客对商场服务满意率估计为P2=30=3,505(2)由列联表可知K2100(4020-3010)27030505010021为4.762>3.841，所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算K2的值，独立性检验，属于简单题目.18.记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式；(2)若a1>0,求使得Sn冷n的n的取值范围.【答案】(1)an=2n+10；(2) 1<n<10(nwN

20、*).【解析】【分析】(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于a/Dd的方程组，求得a1和d的值，利用等差数列的通项公式求得结果；(2)根据题意有a5=0,根据a1>0,可知d<0,根据Sn>an,得到关于n的不等式，从而求得结果.【详解】设等差数列an的首项为a1，公差为d,98、9ald=-(a4d)根据题意有2,©+2d=4a=8解答,所以an=8+(n1)x(/)=/n+10,d=-2所以等差数列an的通项公式为an=-2n+10；(2)由条件Sg=a§,得9a5=_a§,即a5=0,因为31A0,所以d<0,并且

21、有a5=a+4d=0,所以有a1=Md,n(n-1)2由Sn之an得na1+、2d之日+(n1)d,整理得(n-9n)d>(2n-10)d,因为d<0,所以有n2-9n<2n-10,即n211n+10<0,解得1<n<10,所以n的取值范围是：1<n<10(nwN")【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.19.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=60°,E,

22、M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明：MN/平面CDE；(2)求点C到平面CDE的距离.【答案】(1)见解析；小17【解析】【分析】(1)利用三角形中位线和AD&B1c可证得ME”ND,证得四边形MNDE为平行四边形,进而证得MN/DE,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)根据题意求得三棱锥Ci-CDE的体积，再求出ACiDE的面积，利用Vgde=Vc*de求得点C到平面CiDE的距离，得到结果【详解】(1)连接ME,BiC:M,E分别为BBi,BC中点1,ME/BC且ME=2BiC又N为AiD中点，且ADqBCJ.ME为&BBC的中位线.1二ND/RC且ND=

23、1B1C,ME/ND，四边形MNDE为平行四边形，MN/DE,又MN0平面CQE,DEi平面CDE.MN/平面CiDE(2)在菱形ABCD中，E为BC中点，所以DE_LBC,根据题意有DE=.3,GE彳7,因为棱柱为直棱柱，所以有DE_L平面BCGB,所以DE_LECi,所以S而eg=i黑J3黑Ji7,设点C到平面GDE的距离为d,根据题意有Vg_CDE=Vc_CiDE,则有1M°MJ3MJi7Md=<<i"<343232所以点C到平面GDE的距离为仝反.i7【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解

24、题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容20.已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f'(x)为f(x)的导数.(1)证明：f'(x)在区间(0,Tt)存在唯一零点；(2)若xC0,兀时，f(x)*x,求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)aw(-,0.【解析】【分析】(1)求导得到导函数后，设为g(x)进行再次求导，可判断出当x西?0,p百寸，g'(x)>0,当xw：土,n时，g'(x)<0,从而得到g(x)单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位

25、置，证得结论；(2)构造函数h(x)=f(用-ax通过二次求导可判断出h'(xL=h'(n)=-2-a,h'(xKx=h'u-2-a;分力1J在a<-2,2-2：a<0,-2-20<a<和a>的情况下根据导函数的符号判断hx单调性，从而确定22八(乂)之0恒成立时a的取值范围.【详解】(1)f'(x)=2cosxcosx+xsinx1=cosx+xsinx1令g(x)=cosx+xsinx1,贝Ug'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx当日0I闪，令g'(x)=0,解得：x=：g'(x

26、)A0；当xW|2,nI时,2gx<0g(x)在10,-上单调递增;在.一,江上单调递减2又g(0)=11=0,g.-=-1>0,g(n)=_1_1=_2即当X西?0，2京时，g（x）A0,此时g（x）无零点，即f'（x）无零点*6vn.g.-g5)<0l2J(jix0-，7：，使得gxo=0又g（x庇，冗j上单调递减,x=x0为g（x）,即f1x户,兀|上的唯一零点综上所述：f'（x在区间（0,n）存在唯一零点(2)若xw10,n时，f(x卢ax,即f(x)-axto恒成立令hx=fx-ax=2sinx-xcosx-a1x贝Uh'(x)=cosx+x

27、sinx-1-a,h"(x)=xcosx=g'(x)fji、fji由(1)可知，h'(x)在0,-I上单调递增；在-,jri上单调递减.22二二-2且h'0=-a,h=-a,h'n=-2-a22.fn)n-2二h(xLn=h(n)=-2a,h(xKx=h=-aI2，2当aW-2时，h'(xin=hV)=-2-a>0,即hx)>0在b,n】上恒成立二h(x旃b产上单调递增h(x)?h(0)0,即f(x)ax>0,此时f(xaax恒成立当2<aE0时，h'(0卢0,h->0,h'(n)<02一x1

28、.一,江,使得h(x)=02，h（x胜0,x1）上单调递增，在（x3】上单调递减又h0=0,h二=2sin；：wcosT-ia1二=a二一0二h(x心0在10,n上恒成立，即f(x)2ax恒成立二-2-a02ji.,.3x2=10,I2J,使得hX2=0二h(x昨0,x2)上单调递减，在.12,(I上单调递增当0<a<时，h(0)<0,h'"2"J.xw(0,x2)时，h(x)<h(0)=0,可知f(x)*ax不恒成立二一2二二-2当a>时，h(xKx=h=-a<02max22二h(x近.0,-|上单调递减h(x)<h(0)

29、=0可知fx_ax不恒成立综上所述：a-i-,0.1【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.21.已知点A,B关于坐标原点O对称，AB=A,OM过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时，MAI-|MP为定值？并说明理由.【答案】(1)2或6;(2)见解析.【解析】【分析】(1)设A(t,-t),B(-t,t),根据|A

30、B=4,可知t=J2；由圆的性质可知圆心M必在直线y=x上，可设圆心M(a,a)；利用圆心到x+2=0的距离为半径和MA=MB=构造方程，从而解出r；(2)当直线AB斜率存在时，设AB方程为：y=kx,由圆的性质可一1,_知圆心M必在直线y=x上；假设圆心坐标，利用圆心到x+2=0的距离为半径和kr=MA|=J|OA十|OM构造方程，解出M坐标，可知M轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知P(1,0)为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB斜率不存在时，求解出M坐标,验证此时P(1,0)依然满足定值，从而可得到结论.【详解】(1)：A在直线C5+C：f上，设A(t,-1),则B(-t,t)又AB=4，8

31、t2=16,解得：t=后'.'UM过点A,B二圆心M必在直线y=x上设M(a,a),圆的半径为r','UM与x+2=0相切二r=|a+2又MA=MB=r,即(a_V2)+(a+&)=r2_2_2o(a-42)+(a+亚)=(a+2),解得：2=0或2=4当a=0时，r=2;当a=4时，r=6二1_M的半径为：2或6存在定点P(1.0)，使得|MAMP=1说明如下：:'A,B关于原点对称且|AB=4二直线AB必为过原点O的直线，且|OA=2当直线AB斜率存在时，设AB方程为：y=kx1则M的圆心M必在直线y=x上k设M(km,m),M的半径为r&#

32、39;.'UM与x+2=0相切,r=-kmq又r=|MA=J|oa|2+|OM|2="+k2m2+m2二km+2=，4+k2m2+m2,整理可得：m2=-4km即M点轨迹方程为：y2=4x,准线方程为：x=1,焦点F(1,0)'JMA=r,即抛物线上点到a=1的距离,|MA=|MF+1:MA-MF|=1二当P与F重合，即P点坐标为(1,0)时，|MAMP=1当直线AB斜率不存在时，则直线AB方程为：x=0Mx轴上，设M(n,0),n+2=J7T4,解得：也，即M(0,0)2若P(1,0),则|MAMP=21=1综上所述，存在定点P(1,0)，使得|MA-MP|为定值【

33、点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分22.选彳4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为_1-t21t2'4t(t为参数)，以坐标原点一1t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2Pcos8十向Psin9+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.2【答案】(1)C:x2+上=1;l:2x+V3y+1