2015级研究生有限元课程理论作业

1、2011级研究生“有限元法”课程理论作业仲健林3110121191.已知平面应力问题下三节点三角形单元的节点坐标i(6,0卜j(8,5)和m(3,4);单元的节点位移分量u=1、vi=vj=um=vm=0;材料弹性模量E,泊松比Ro试求:A解：(1)单元的形函数Ni,Nj和Nm；(2)单元内应变和应力分量?054683鲤=Vn<Xm=8X4-3X5=17力二又小力一看了皿=3x0-6x4=-242二%力一*=4-0=4c.=-x|n=6-3=3am=乂%一x.yi=6x5-8x0=30%=*一*=0-5=-5电=二单元的形函数为Nj=+邛+中)1,Njh=2A(am+b1X+c%1i+阴

2、+qy)=何(17+x-5y)(2)=-(-24+x+3y)、1my)=TT(30-5x+2y)u-口rbj0bj0IB=BiBjBm。0cj'AqbtCj斗%00cm%i%.11040-500-S030223-51342-5'd2产=%UjVjUmvmT=fl01000T由二四向得1(5123040-5-503013420T2|101000-5j氐=由biEHbj可得|S|E23(1-J)1P5(1-R)Sr4-S4p1：R3(1-M-z-F3p-53-5p2(1-H)1-k2H25(1-R)E23(1-n2)5(1-M)r-5p454|i1-M3(1-H)即-53-5p2(

3、1-H)1-P23(l-p2)k-1.5E%=；27即23(1-p)5E|1Etl=T=一723(1-n2)号23(1+u)CJQI?QLQL”u1=c寸丁u2=qu3=c!+2.图示为一个三个节点的杆单元，O为坐标原点，其位移模式取为U=C1+C2x+C3x-20设其E八为常数，试求其单元的刚度矩阵k】。解:%-UhZu1-4u7+2u.,J1JL占Jci=u2G=-r-G=可求得：上述三式代入u=CI+qx+C/2并整理得：2x2x4x2Ni=-7N2=1-N则I.I2x2TU二NNj电口1%叼=Nddurd由dx：dKNd=BdA单元的刚度矩阵1.4x1L2L4x1一+L2LBTEBdV

4、=L28x,24x18xEA3L-81681-874x15+i：3.已知图示正方形薄板的边长为厚度为t,弹性模量为E,泊松比N。现将其分成两个三角形单元，设节点2、3和4为不动点，在节点1处受到向上的集中载荷Po试求节点位移，支座反力以及单元A和单元B内的应力?y解：如图建立坐标系。A=1a2对于单元A：i(0,a),j(0,0),m(a,0),b川=0-。=。%=ym-。-a=-ac.=-xm=0-a=-aEt4(1-J)AbA+丁昌Et%+1hrb可得()2(1-k2)23-k对于单元B：i(a,0),j(a,a)m(0,a),匕二ym-yj=a-O=a%=*-*=。-a=-a同理可得Et

5、2(1-R2整体刚阵-P1-R12A*Xj=0-a=at)|K|Et03-NT1-N23-R21+p-p1-u-21+H23-jiT1+U1-|J1-|.io上zi+m-|U-121.00-2001-p"220一R-10i+r23-pl+u1-|i-£_2221 +H3-p1-i-iV"'I。6=uivi(QJ=K61=0，可得.000004P(1-m2一口2)V1=Et(3-n)n=oP(p-1)2nP2P3=Vq=3-p3-p3-|133-plsJ=由可得1p10'-1I01|j1-|i1|i单元A:=阿'Ea(l-d)r001-24P

6、(1-)0Et(3-p)-1-P1-P2iT-U-112001-P2a(lJ)同理，单元B:Mr-oO1oOoO4.已知集中载荷P,试求图示六节点三角形单元的等效节点载荷列阵。265falBuyyyjAAis1111-2-yyy.nn"XXTX1q"niiA-2VmViVaAjinAL.=与巾”巧SiniA>4ijA5'm-£3）ijin1JN=Lj（2Ll）%=4（231）N=4LjLm18N.1169120N1=旃PJ=TpN2=4LjL6N,J1694015P169N3N3二4LL：15=16948169Min"R；=N0N.00N.

7、N.012P181690018169616915?690I）15169012016940169004016948169°400IS?）12P1338p|-isiL-6/-15-1512012。/4040ijmp单元的形函数K11和K22。5、已知材料的弹性模量E和泊松比N。计算图示四面体Ni,Nj,Nm和Np;单元的刚度矩阵中的元素0002003103122-c)6-o-a得可理同3-md6-mco-mbo-maapdp=-916-002031Nj=为(%+Mx+qy+d=(18-6x-4y-z)%+bnix+Cri1mV+dmz)=而(6y-3z)“而&+呼+<7+峪

8、=1+bpx+cpy+dpz>-z可q+a式cq+qdj%他+A2brcsA1dbg+A2brds人也占+A2c.bg%+A式bh+dRJaMq+A2crdsAtbrds+A2dTbeAlCrdS+A2drCSdd+A2(bb+cc)P1-2u2.=a?1A?LJ=同136+17A224(A+A/6(A1+Aj)24科+A2)6(A4-A2)116+37A24(A+AJ4(A+Aj)1+52A2-6x+2y+5z)lo%=A3wiT36+29Az-12(A1+AQ-30(A1+A2)-12眄+A?)4+61AZ10(At+A?)-30(A+AJ10(A+A2)254-40A96、图示四边

9、形单元受到均匀的重力载荷g（单位体积载荷，沿y轴负方向）作用，已知单元的厚度t为常量，材料的弹性模量E和泊松比人试用2X2阶高斯积分计算节点1处的等效节点载荷和单元刚度矩阵中的元素Kuyx解:由/口n同；=££阳川(弼rIs-InnPyG，Wtill可得:rJ口=££hhm)r=s-1tillpy&q)j=l-gj1N-d-Od-n)iN3=-(i-Q(i+n)iN2=(i+(i-n)N4=|(i+Od+n)9ix=NX+N2x2+N/m+N4x4=-ti-3n13911y=niYi+n汹+$V3+n4y4=彳+1”-卢ON.II=我ON1.如诋

10、ON-ON3荏劭'X1X21-q)i3)y/y2y?1-W(1+n)1'5<1+n)2871fa11165Ii-I(i+mI。-R%町川e1业务=11=宝1Hi=1当2时，耳Hh=H7=1"3时，1=0,1057|J|=4.527roRii=HHt|J|-gNj=0.4783t1当布二-n广下时,H1=HR12If=0J667HI=.o=H/zt|J|gN=-0.5685tIf-5(1+2%11=-0QIR13=H1H2t|J|_gN=0.6102tJ1当玄=飞时，出二】=0.6220|=4.277I,c-2/3)R14=H2H£t|J|_gN-2.6

11、601A凡广R1+R12+R13+R14=_2,14tgk=fbJ|d|b|“氓dn由T可得:klll=1又由高斯积分公式可得:r1T1|J|Et同间bM=hn口%=，2h闻8仙3回地i=】j二】1一HNVNtx+NlyNly1-U州1*'1温+2'1.户1v1p1tKNly+NlyN1-NNl.yNy+2LxLx其中吵1dxON11的,dydNi为而加法商drf=jf|加加|d/N而近十届而,r511i1-/2”+萨ml533寸记十贷-小Et-0.01541-0.03875-0.02444+0,02444-'广眄川"J/1-M0.02444p+0.02444

12、-0,03875-0.01541-=1当羽时，|=3.411口Tr1Ei葭勺=艮I-I1-I10.2076+0.1425-一。,1720禹0.1720m0.172040.17200.1425+0,2076-1当务=一"1=一4时，H】二H1UI=-3.661Et-0.04558-0.08347-0.06169+0,06169-产怛J回怛刖心J1-M0.06169p+0.06169-r-0.08347-0.0+5581%=切=一方H?=1HI=4.277当W时，2|J|l<4=lBLTDllBL|r|JI=-1-10.2272+0,3194-1一卜I(12695|i+0J6950

13、.2695”氏2695L一U0.3194+C.2272riEt“kJ=%+/+与+k4=71-I0.3738+0.3397-0.1836p+0.1B36-0.1836|j+0,183号1-I0.3397+037387.写出线性动力学有限元方程，并说明方程中各个符号的力学含义。简介线性动力学有限元方程的求解方法，并且说明Newmark方法的思想和分析步骤。解：|M+|C的+|KH=P(t)其中：IMI为质量矩阵，|C|为阻尼矩阵，|K|为刚度矩阵，P(t)为外载荷向，分别为加速度、速度和位移向量。总的来说，有两种求解方法：直接积分法和振型叠加法。(1)直接积分法在直接积分中对方程(a)是逐步地进

14、行数值积分的，进行数值积分前没有进行把方程变为另一种形式的变换。实质上，直接积分是基于下面的两个想法，第一个想法是只在相隔At的一些离散的时间区间上而不是试图在任一时刻t上满足方程(a)即包含有惯性力和阻尼力作用的(静力)平衡是在求解区间上的一些离散时刻点上获得的。因此，似乎在静力分析中使用过的所有求解方法，在直接积分法中或许也能有效地使用；第二个想法是假定位移、速度和加速度在每一时间区问，t内变化。直接积分法又分为中心差分法，Houbolt法，Wilson8法和Newmark法。(2)振型叠加法振型叠加法是对各矩阵进行适当的变换，变换的目的是要得到新的系统刚度、质量和阻尼矩阵，使它们的带宽比

15、原来系统矩阵的小，以达到减小计算量的目的。振型叠加法又分为忽略阻尼和考虑阻尼两种情况。Newmark法Newmark积分格式也可以认为是线性加速度法的推广，它所用的假定如下&+趾=4+(1-6-+6&+人一(IaUt+aUt+AtAt其中1s和值是参数，根据积分的精度和稳定性的要求来确定这两个参数。当116=不和a=£,一、，。、，一一一一一一6时，式相应于线性加速度法。Newmark初提出以恒止一平均一加速度法作为无条件稳定的格式，在这种情形下,要得到在时刻t+.的位移、速度和加速度的解，就只需考虑在时刻t+a的平衡方程(a),具体步骤如下：a初始计算1,形成刚度矩

16、阵凶、质量矩阵M和阻尼矩阵四。2 .计算初始值u(A”。3 .选取时间步长如，参数§和仪。计算积分系数：716d>0,5a>025(0.5+6)aG=-a1-岫必163 2a4aAt/87a-2日山=At(l-5)沏=5At4 .形成有效刚度矩阵的=的+%网+电四o5.对阅作三角分解：向=回回因b每一时间步长内的计算1,计算在时刻t+M的有效荷载:直i+At=%+配+M丁+%4+C国5+%4+-UJT八2 .计算时刻t+趾的位移：|L"D1L*+$=埒+架3 .计算时刻t十丛的速度和加速度：®t+it=M-UJ-潢24-a也4 +址=a+37®t+At8.图示两个三角形单元的集合体，边长为a,厚度为t,材料的密度为P,弹性模量为E,泊松比并且已知Rayleigh阻尼的常数a和P。写出单元集合体的整体集中质量矩阵M