向量值函数的导数与积分

1、第九章第九章 向量值函数的导数与积分向量值函数的导数与积分 9.1 向量值函数及其极限与连续向量值函数及其极限与连续 9.2 向量值函数的导数与微分向量值函数的导数与微分 9.3 向量值函数的不定积分与定积分向量值函数的不定积分与定积分9.2.1 向量值函数的导数与微分向量值函数的导数与微分内容小结与作业内容小结与作业9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程空间曲线的切线及法平面方程 高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件1向量值函数导数与微分的概念向量值函数导数与微分的概念义，如果极限( ) trr定义定义9.2.1 设向量值函数在 t 的某邻域内有定00()( )limli

2、mttttttt rrr存在， 则称向量值函数 r(t) 在 t 处可导， 并称极限值为向量值函数 r(t) 在 t 处的导数， ( ) t rd.dtr记为或者明显地， ( ) t r也是一个向量值函数如果向量值函数 r(t) 在 t 处可导，则r(t) 在 t 处连续. 9.2.1 向量值函数的导数与微分向量值函数的导数与微分高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件( ) t r( )( ( )ttrr与一元数量函数类似，可以进一步定义向量值函数的高阶导数，如 r(t)的二阶导数定义为的导数, 即:向量值函数的导数的几何解释向量值函数的导数的几何解释（a）二维向量值函数的情

3、形）二维向量值函数的情形（b）三维向量值函数的情形）三维向量值函数的情形高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件()( )PQttt rr 如果点 P 和 Q 的位置向量为 r(t) 与 r(t+t), 那么这个向量可以看作是割线向量 ( ) tr0,0t 当时, 割线向量( ) t r如果存在，且趋于曲线在点 P 处的切线向量线这样, 曲线r(t) 在点 P处的切向量为( )( ).ttTr则称为曲线r(t) 在点 P 处的切向量, 过 P( ) t r点且以为方向向量的直线为曲线 r(t) 在点P处的切( ) t r高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件向

4、量值函数的导数的物理意义向量值函数的导数的物理意义:r(t)表示在平面上与空间中运动的质点在 t 时刻的位置,对应的几何曲线为质点的运动轨迹, ()( )ttt rrr是质点在时间段 t, t + t 上的位移,tr是质点在这段时间内的平均速度，( ) t r是质点在时刻 t 的瞬时速度 v(t)，即( )( ),ttvr 速度的方向或质点运动的方向是运动轨迹的切线方向,( )( )ttvr是质点在时刻 t 的瞬时加速度 a (t).高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件( )( )( )( ) ,tf tg th trijk( )( )( )( ) .tftg th tri

5、jk( )( )( )( ) .tftg th trijk向量值函数的导数可通过计算其分量函数的导数得到.其中各分量函数在点 t 处可导, 则 r(t) 在点 t 处可导, 且定理定理9.2.2 设三维向量值函数 同样，对于可导的二维向量值函数有类似的结论.的二阶导数为三维向量值函数( )( )( )( )tf tg th trijk高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件(1)( ) cos , sin ;tat btr(2)( ) cos , sin ,.tat bt ctr(1)( )sin , cos ,tat bt r( )(cos ,sin ).tatbt r(2)

6、( )sin , cos , ,tat bt c r( )(cos ,sin ,0).tatbt r例例1 计算下列向量值函数的一阶及二阶导数：解解这里, (1)中的二维向量值函数对应的图形是二维平面上的椭圆曲线; (2)中的三维向量值函数对应的图形是三维空间上的螺旋曲线高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件( ) tr0,且在区间 I 内光滑的( ) trI( ) t r 如果一个向量值函数在区间上满足连续， 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都是光滑的I我们就称在区间上是( ) tr 一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这条曲线为分段光滑曲线高等数学分级教学高等数学分

7、级教学A2班教学课件班教学课件2( )(3 ,2 ),tttr(0)(0,0),r解解 因为 光滑的曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向，在曲线上出现了尖点的特征所以，该曲线不是32( )1, tt tr是否为光滑曲线？ 例例2 判断曲线xyo 尖点1高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件( )(1,2 , 2sin2 ),tttr22( )144sin 2 ,tttr( )(0,2, 4cos2 ).ttr解解 质点的速度为 质点的速率为质点的加速度为 2( )( ,cos2 ),tt ttr例例3 一个质点的位置向量为 求质点的速度、加速度与速率高等数学

8、分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件d( )d .t trr可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为dd ( )d ( )( )d( )d.f tg tfttg ttrijijdd ( )d ( )d ( )( )d( )d( )d.f tg th tf ttg tth ttrijkijk( )( )( ) ,tf tg trij对于可导的二维向量值函数( )( )( )( ) ,tf tg th trijk对于可导的三维向量值函数对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与( ) t r与切向量同向；( )( )ttTr平行的向量，曲线的切向量当 dt 0 时,

9、dr与反向.当dt 0 时, dr与切向量( ) t r高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件数值函数，设u(t), v(t)为可导的向量值函数，常数，则有定理定理9.2.1 C 为常向量 (即 C的各分量都为常数), k 为f (t)为可导2向量值函数的求导法则向量值函数的求导法则d(1)dtC0;d(2)( )( )( )( )dtttttuvuv;d(3)( )( )dktkttuu;高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件 ( 7 ) 链式法则：设 u (s)为可导的向量值函数，s = f (t)为可导的数值函数，则d(4)( )( )( )( )(

10、)( )dfttfttftttuuu;d(5)( )( )( )( )( )( )dtttttttuvuvuv;d(6)( )( )( )( )( )( )dtttttttuvuvuv;ddd( )( )( )( ).dddssftftfttstuuuu高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件例例4 ( ) tr0,设 r(t) 是可导的向量值函数，且如果| ( )|,tCr( ) tr( ) t r(C为常数)，证明：与垂直22( )( ) | ( )|,tttCrrrd0 ( )( )( )( )( )( )2 ( )( ).dtttttttttrrrrrrrr证证 因为则

11、由求导法则 (5) 知( )( )0,ttrr 因此，几何意义几何意义: 如果一条曲线位于一个以原点为球心的也就是说( ) tr( ) t r与垂直垂直于位置向量球面上, 那么它的切向量( ) t r( ).tr高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件( )( )( ),tmttLrv( )( )( ),tmttMra 例例5 如果质量为 m 的质点的位置向量为r(t), 角动量转动力矩为 证明：( )( ),( )( ),ttttvrav( )( ( )( )( )( )( )( )( ),tmttttmtttLvvraraM( ),tL0证证 由求导法则（6），知注意到 则

12、特别，当 M(t) = 0 时,从而L(t)为常向量.这就是物理学中的角动量守恒定律角动量守恒定律( )( ).ttLM( )( ( )( )( )( ),tmttttLrvrv高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件0000( )( ),( ),( ),tf tg th tT000000()()(),()()()xftyg tzh tftgtht:( ),( ),( )xf tyg tzh t空间曲线在点 t0 处的切线向量为000(),(), ()P f tg th t空间曲线 在点的切线方程为000000( )( )( )( )( )( )0.f txf tg tyg th tzh t称过点 P 且与向量 T (t) 垂直的平面为空间曲线 的法平面，其方程为9.2.2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件切线方程与法平面方程且点(1,1,1) 与 t = 1对应,( )(1,2,3),t T所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为因此，所求切线方程为23:,xt ytzt例例6 求空间曲线在点(1, 1, 1)处的21,2 ,3 ,xyt zt解解 因为111,123xyz(1)2(1)3(