高中数学立体几何常考证明题汇总

1、新课标立体几何常考证明题汇总1已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点(1)求证：EFGH是平行四边形(2)若BD=2.3，AC=2EG=2求异面直线ACBD所成的角和EGBD所成的角。AA中，E,H分别是AB,AD的中点二EH/BD,EH=1BD2证明：在同理,D考点：证形中位线)，异面直线所成的角2、如图,G/BD,30°亍(利用=bDEH/FG,EH二FG二四边形EFGH是平行四边形。2已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD,E是AB的中点。求证：(1)AB_平面CDE;(2)平面CDE_平面ABCBC=AC1证明：（1）=C

2、E_ABAE=BEAD=BD1同理，=DE_ABAE=BE又CE-DE=EAB_平面CDE(2)由(1)有AB_平面CDE又AB平面ABC，平面CDE_平面ABC考点：线面垂直，面面垂直的判定3、如图，在正方体ABCD-ABQD中，E是AA1的中点,求证：AC/平面BDE。证明：连接AC交BD于0,连接EO，E为AA1的中点，0为AC的中点E0为三角形A1AC的中位线EO/AC又E0在平面BDE内，AC在平面BDE外BC二AC/平面BDE考点：线面平行的判定4、已知.ABC中.ACB=90SA_面ABC,AD_SC,求证：AD_面SBC.证明：IACB=90°BC_AC又SA_面AB

3、C.SA_BC二BC丄面SAC又SC_AD,SC一BC二CAD_面SBC考点：线面垂直的判定5、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：(1)Go/面AB1D1；(2)AC_面AB1D1.证明：(1)连结A1C1，设AC1BQ二。1，连结AO1ABCD-A1B1C1D1是正方体.AACC!是平行四边形A1C1/ac且g=AC又01,0分别是AC1,AC的中点，O1C1/AO且O1C1二AO.AOC1O1是平行四边形C1。/ASA。1面ab1d1,GO二面AB1D1C1O/面AB1D1(2)；CC1丄面AB1C1D1CC丄BD又AGBp,b1d1_面AGC即AC_

4、BD同理可证AC丄AD1,又D1B1CAD1=D1AC_面AB1D1考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定6、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）AC丄平面B'D'DB；（2）BD'丄平面ACB'考点：线面垂直的判定7、正方体ABCDA1B1C1D1中.求证：平面A1BD/平面B1D1C;若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1/平面FBD.证明：（1）由B1B/DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1/BD，又BD平面B1D1C，B1D平面B1D1C，BD/平面B1D1C.同理

5、A1D/平面B1D1C.而A1DQBD=D，平面A1BD/平面B1CD.由BD/B1D1，得BD/平面EB1D1.取BB1中点G，AE/BQ.从而得B1E/AG,同理GF/AD.AG/DF.B1E/DF.DF/平面EB1D1.平面EB1D1/平面考点：线面平行的判定(利用平行四边形)8四面体ABCD中，AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EFAC,2ZBDC=90；，求证：BD_平面ACD证明：取CD的中点G,连结EG,FG，丁E,F分别为AD,BC的中点，二EG/-AC2FG/1BD，又AC=BD,.F1AC，在EFG中，EG2FG2二AC2=EF2222EG_FG，二BD_AC，又

6、BDC=90：，即BD_CD，AC一CD二CBD_平面ACD考点：线面垂直的判定，三角形中位线，构造直角三角形N是AB上的点,pA9、如图P是.ABC所在平面外一点，PA二PB,CB_平面PAB，M是PC的中点，AN=3NB(1)求证：MN_AB;(2)当.APB=90：，AB=2BC=4时，求MN的长。证明：(1)取PA的中点Q，连结MQ,NQ，丁M是PB的中点， MQ/BC，:CB_平面PAB，MQ_平面PABQN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，丁PA二PB,PD_AB，又AN=3NB，BN=ND QN/PD,QN_AB，由三垂线定理得MN_AB(2)tAPB=90“

7、，PA=PB,PD二1AB=2，QN=1，:MQ_平面PABrMQ_NQ，2且MQ中MN“2考点：三垂线定理10、如图，在正方体ABCD-ABQiDi中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF/平面BDG.证明：E、F分别是AB、AD的中点，.EF/BD又EF二平面BDG，BD二平面BDGEF/平面BDGD1GEB四边形DGBE为平行四边形，D1E/GB又二平面BDG，GB平面BDGD1E/平面BDGEF一D,E=EED1EE，平面d1EF/平面BDG考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)11、如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E是AR的中点.(1) 求证：A

8、1C/平面BDE；GFCa/T774r/p./U5-(2) 求证：平面RAC平面BDE.证明：（1）设AC-BD=O,-E、O分别是AA1、AC的中点，.ACIIEO又AC二平面BDE,EO二平面BDE,A1CI平面BDE(2)丁AA_平面ABCD,BD平面ABCD,AA_BD又BD_AC,AC一AA=A,bd_平面AAC,BD平面BDE,平面BDE_平面AAC考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定D12、已知ABCD是矩形，PA_平面ABCD,AB=2,PA二AD=4,E为BC的中点.(1) 求证：DE_平面PAE；(2)求直线DP与平面PAE所成的角.证明：在ADE中，A

9、D2二AE2DE2,.AE_DEPA_平面ABCD,DE二平面ABCD,PA_DE又PA一AE二A,.DE_平面PAE(2) .DPE为DP与平面PAE所成的角在RtPAD,PD=4.2,在RtDCE中，DE=22在RtDEP中，PD=2DE,DPE=30°考点：线面垂直的判定，构造直角三角形13、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是.DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD.(1) 若G为AD的中点，求证：BG_平面PAD；(2) 求证：AD_PB;(3) 求二面角A-BC-P的大小.证明：(1)厶ABD为等边三角形且

10、G为AD的中点，.BG_AD又平面PAD平面ABCD,.BG_平面PAD(2) PAD是等边三角形且G为AD的中点，.AD_PG且AD_BG,PG一BG二G,AD_平面PBG,PB平面PBG,-AD_PB(3) 由AD_PB,ADIIBC,.BC_PB又BG_AD,ADIIBC,BG_BC-PBG为二面角A-BC-P的平面角在RtPBG中，PG=BG,-/PBG=45°考点：线面垂直的判定，构造直角三角形，面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图1,在正方体ABCD-ABjGD中，M为CC1的中点，AC交BD于点O,求证：A1O-平面MBD.证明：连结MO,AM，丁DB丄

11、AA,DB丄AC,A1AAC=A,-db丄平面AACCi，而A°二平面AACCidb_LA|O.设正方体棱长为a，则A°2=3a2,M°-a2.24在RtA1C1M中，AM2=9a2./A°2M°2二AM4A°_°M°MnDB=O,.A°丄平面mbd.考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图2,在三棱锥ABCD中,BC=ACAD=BD作BELCDE为垂足，作AHLBE于H.求证：AH丄平面BCD证明：取AB的中点F,连结CF,DF.AC=BC,.CF_AB.AD=BD,DF_AB.又CF门DF二F,AB_平面CDFCD匸平面CDF-CD丄AB.又CD_BE,BE一AB=B,CD丄平面ABECD丄AH./AH_CD,AH_BE,CD-BE=E,AH平面BCD考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体ABCDAiBiCiDi中，AQ丄平面证明：连结AC1 BD丄AC.AC为AiC在平面AC上的射影考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、证：平面ABC丄平面BSC.证明SB=SA=SC，/ASB=/ASC=60°AB=SA=ACA°丄BC,S°丄BC,/A°S为二